1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Такие векторы, связанныес направлением некоторого обхода, называются а к с и а л ь н ы м и , о с е в ым и или п с е в д о в е к т о р а м и . К числу их принадлежит, помимовектора, представляющего площадку, и помимо векторного произведениядвух обыкновенных или, как их обычно называют, п о л я р н ы х векторов, еще, например, угловая скорость вращения твердого тела, которуюможно представлять вектором, направленным по оси вращения в ту илидругую сторону в зависимости от наличия обхода вокруг оси в ту илидругую сторону (отсюда название аксиальный или осевой вектор).
Полярными же векторами являются, например, перемещение, скорость, ускорение, сила.Природу того или другого механического вектора можно узнать последующему правилу. Отразим явление в плоскости, перпенаикулярнойк рассматриваемому вектору, если при этом направление, в котором протекает явление, изменится на обратное, то вектор есть полярный} если же54В е к т о рн а яа л гебранаправление явления останется прежним, то мы имеем дело с аксиальным вектором. Так, отражая векторное произведение двух полярных векторов в плоскости составляющих вёкторов, мы последние очевидно неизменим, явление не изменится, следовательно векторное произведениедвух полярных векторов есть вектор аксиальный. Другой пример — рассмотрим вращение твердого тела вокруг оси.
Отражая явление вращенияв г,зскости, перпендикулярной к оси вращения, увидим, что вращениебудет происходить опять в ту же самую сторону, поэтому вектор угловой скорости мы должны считать вектором аксиальным. Напротив, отражая вектор скорости точки в перпендикулярной к нему плоскости, мыувидим, что точка будет двигаться в обратную сторону, следовательновектор скорости есть полярный вектор.Когда мы имеем дело с координатным представлением, то различиемежду полярными и аксиальными векторами сказывается в том, что призеркальном отображении в одной из координатных плоскостей, например y z , т.
е. при переходе от одной прямолинейной прямоугольнойсистемы к другой по формуламх — —X )у= уZ — Z, j(21)составляющие полярного вектора преобразуются, как координаты, поформулама X- — —а X(22)а у = ауаТ — аг,в то время как составляющие аксиального вектора меняют еще свойзнак; так например, вычислим составляющие векторного произведения[а, Ь] двух полярных векторов. По условиюау =а у' а 7 =а,Ь—х = — bх> Ь—у — bу' Ь—z = ье*поэтому[a, b ] - = а уЬ~а7 Ь - = ауЬг — аяЪу = [а, Ь]я,^X[а, Ь ] - = а 7 £ - — а -Ь 7 = - а г Ьх + а х Ьг = — [а, Ь)у> | (23)[а,а - Ь - - а -Ь £ = - ах Ьу + ау Ьх = - \ л , Ь ]„ jТочно также, если мы произведем инверсию координатных осейгт. е.преобразование_.X— —XУ_=— У |Z = — Z, ](24)то составляющие полярного вектора изменят свой знак на обратный, в товремя как составляющие аксиального вектора останутся без изменения.ВекторноеЗаметим, чтостема координатв области однихразличия междуиливнеш нееп ро и зв ед ен и едвухв екто ро в55при зеркальном отображении и при инверсии левая сипереходит в правую и обратно, так что пока мы остаемсялевых илй одних правых систем координат, никакогополярными и аксиальными векторами нет.Когда же мы переходим от левой системы, к правой или обратно, то а\сиальный вектор изменяет свое направление напрямо противоположное, в то время как полярны й векторостается без изменения.Это и вызывает то различнее поведении составляющих вектора, кото*рое было выше указано.Значение различия между аксиальными и полярными векторами состоит в том, что, подобно тому, как складывать, вычитать и приравнивать можно только величины одинаковой размерности, так точно векторыразного рода не могут быть складываемы или сравниваемы.
В самомделе, иначе при переходе от левой системы координат к правой составляющие некоторых членов суммы или равенства изменили бы свой знакна обратный, в то время как другие члены сохранили бы его, при этоманачение суммы изменилось бы, а равенство нарушилось.Оказывается, что и скаляры, подобно векторам, надо делить на двегруппы: с к а л я р ы п е р в о г о р о д а или просто с к а л я р ы и ска »л я р ы в т о р о г о р о д а или п с е в д о с к а л я р ы . Все величины скаляр*ного характера, получающиеся в результате измерения какого-либо физического объекта, например, масса, температура и т. д., являются скалярами первого рода; напротив некоторые из выражений, получающихсяв результате математических операций над векторами, могут изменять свойзнак на обратный при переходе от левой системы к правой или от правой системы к левой.Такие величины называются псевдоскалярами..
Так например, скалярное произведение полярного и аксиального векторов является псевдоскаляром.8.Мы указывали в самом начале этого параграфа, что момент силы Fотносительно начала координат О есть [г, F], где г есть радиус-векторточки приложения силы. Обозначая момент силыF относительно точки О символом т 0 (F), буFFдем поэтому иметьm .( F ) - [ г, F].(25) гВ статике доказывается, что силу, приложенную к твердому телу, можно, не изменяя еедействия на твердое тело, переносить вдоль линииее действия (иными словами, сила, приложеннаяк твердому телу, есть передвижной вектор). ДоЧерт. 34.кажем, что при таком переносе момент силы неменяется.
В самом деле, пусть радиус-вектор новой точки приложениясилы есть г ' (черт. 34), так как мы можем переносить точку приложениясилы только вдоль самой силы, то вектор г ' — г должен быть коллинеаренс F, так чтоК — г - X F , r'=»r + *F.36В екторн аяа лгебраВычислим новый момент[г', F] = [r + XF, F] = [г, F] + X[Ff F] = [r, Г].Видим, что момент не изменился.Докажем теорему Вариньона: момент относительно какой-нибудьточки О равнодействующей двух сил Fj и Fa, приложенных в однойи той же точке, равен сумме моментов этих сил.Если О выбрать за начало координат и обозначить радиус-векторточки приложения силы через г, то теорема явится непосредственнымследствием формулы[г, F, + F2] = [r, F,] + [r, FJ.(26)Рассмотрим систему сил Flt F2, ..., F„, приложенных к твердомутелу.
Геометрическая сумма этих сил называется главным вектором сил.R = F i + F2 + --. + F„.(27)Геометрическая сумма моментов данных сил относительно точки О называется главным моментом системы сил относительно точки О:К = tr„F J + Ir* FJ + . . . 4 [r„, F.1,(28)где Г], Г2, .. •» г п — радиусы-векторы точек приложения сил F j, F2, . . . F„относительно точки О.Изучим, как изменяется главный момент системы сил при различномвыборе точки О. Возьмем точку С, радиус-вектор которой есть г#,и вычислим главный момент системы относительно точки С; радиусы*векторы точек приложения сил относительно точки С суть очевидног ; = г ! — гс, г ; = г 9- г с, г ; = г „ — гс,поэтомуЦ — 1Г1> Fx]- f - .
.. - f - trn> F J = [r1— rc, F J 4 - . . . ++ K - r e, Fn] = [rj, F J - fF J — [rc, F,] — . . - [ r f, F J = Le — [re, Fx -j—. . . -f-F J = L0— [re, R].(29)Если R = 0, т. e. главный вектор системы сил равен нулю, тоLe = L0, т. е. главный момент системы в этом случае постоянен. Если же Rне равно нулю, то главный момент системы определяется для любойточки С по формуле (29).Докажем, что скалярное произведение (L „ R) есть величина постоянная. В самом деле.(L„ R) = (L„ R) — ([r„ R], R).но так как [re, R] перпендикулярно к R, а скалярное произведение двухперпендикулярных векторов равно нулю, то(L„ R) = (Lo, R),что к требовалось доказать.(30)fВ екто рно е57или в н е ш н е е про извед ен ие двух векто ро вГлавный вектор системы Rваются с т а т и ч е с к и м ии скалярное произведениеинвариантамине зависят от того, какая точкасистемы,(Lo.
R)назыпотому что он.О выбирается за основную.Найдем составляющие главного вектора и главного момента:Rx=*X1-f-. •. +Ry= ^1 +••• + Yn/ ?Lox = (V i^ i —* =Zi-J-Z n- f - ... -f-(ytlZ n — z n Yn)(31)}U v — iz \ X l — XiZ \)+••• -f- (*nX n — x nZ n)^=(^ iYx — y i X J + - + (xn Yn — y nX n)(Lo, R) ==LqxRx”1“LoyRy4" LqzRz')9. Другое важное приложение векторного произведения связано с выражением для скорости точектвердого тела, вращающегося около некоторой оси.Пусть твердое тело вращается около оси ОА(черт. 35).
Возьмем какую-нибудь точку М твердоготела; при вращении твердого тела эта точка будетописывать круг, лежащий в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, и имеющий свой центр Рна оси вращения.За время А/, радиус РМ повернется на угол Ад иточка М опишет путь РМ • AQ; скорость же точки МРМ • АОбудет равна s = lim ---- Ц — = РМ • © и будетA t-x )направлена по перпендикуляру к РМ, ВеличинаАО<D= lim — называется угловой скоростью враще-Д£-»0 AtЧерт. 35.ния тела.Отложим от точки О вектор ю, равный по величине ш и направленный по прямой ОА в ту сторону, откуда вращение кажется совершающимся по часовой стрелке, если выбрана левая система координат, ипротив часовой стрелки, если выбрана правая система; назовем этотвектор вектором угловой скорости.
Обозначим да.,со через г радиус*вектор точки М относительно какой-нибудь точки О оси вращения исоставим векторное произведение [ « , г]. Величина его равна юг sin (АОМ)=•>= © •РМ == V, направление же перпендикулярно к ОА и ОМ и притомоно направлено так же, как V, так как, глядя с конца вектора V, мывидим м слева от г при выборе левой системы координат и справа от гпри выборе правой. Таким образом [о>, г] совпадает с V как по величине, так и по направлению, т. е.V = [о>, г1.(32)В ек т о р н а я а л г е б р а58Напишем составляющие скорости любой точкиVy= v>tx — <bxZМ:J(33)Vt = a>xy — ®yX.
jЕсли твердое тело принимает участие одновременно в несколькихвращениях около разных осей, проходящих через одну и ту же точку О,причем векторы угловых скоростей суть Wj, to2 • • •> ю» (пример — гироскоп), то составные скорости точки Л1 будутVj = I» !, г], va= [wa, г], . . vn = [в>„, г]..Так как скорость составного движения равна геометрической суммескоростей составляющих движений, тоV = V1-f-Va+ ... + v„ =[<*>!, Г ] + . . .
4 - К , Г]где положено= КГ] —Г],to = й>1 - f- .. .-}-ft>n.(34)Получили теорему сложения угловых скоростей: если твердое телопринимает участие в ряде вращ ний около точки О, то оно вращаетсяс угловой скоростью w, равно.1; геометрической сумме угловых скоростейданных вращений.Задача 46. Доказать, что([а, Ь], [а, Ь]) + (а, Ь)* = аЧКВ самом деле,([а, Ь ])9 == a 9#2 sin2 (a^b),(a, b)2 = a 2£ 2 cos2 (a,"b).Складывая эти два равенства, получим требуемый результат.ВЕедя составляющие векторов а и Ь, мы получим следующее алгебраическое тождество, часто встречающееся и известное под именемтождества Эйлера-Лагранжа:(а /, — а,6,)3+ (« А — а,Ь,)‘ + (“А ~ aА )3+ (“А + «Д, ++«Л)а= (4 +4+ 4X4+ 4 + 0-<35>Задача 47. Вычислить [a — Ь, а — Ь][a-f-b, а — Ь] = [а, а] + [Ь, а] — [а, Ь] — [Ь, Ь] =■ — 2 [а, Ь].Геометрический смысл этого равенства состоит в том, что площадьпараллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма, в двараза больше площади самого параллелограмма.Задача 48.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
