1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Найти формулу для sin(<x-f-f3).В ек т орн о е или в н е ш н е е п р о и зв е д е н и е д вух век т о ро вРассмотрим векторноележащих в плоскости хуственно углы о и р.— sin (a -j- P)k: вычисляясоставляющие векторов а59произведение двух единичных векторов а и Ь,(черт. 25) и составляющих с осью х соответНепосредственное определение [а, Ь] даетс другой стороны z-ую координату [а, Ь] черези Ь, найдем[а, Ь], = ахЬу— ауЬх= — cos a sin р — sin а cos р == — (sin а cos р -}- cos о sin р).Сравнивая эти два выражения, найдем требуемую формулу:sin (а -j- р) = sin а cos рcos а sin р.Задача 49. Пусть вершины ABC треугольника заданы своими радиусами-векторамиВ{г2), С(г3).
Найти вектор S, представляющийтреугольную площадку ABC, на которой задано направление обходаконтура от А к В и от В к С.Так как Л 5 = г2 — r u В С — г3 — г2, то искомый вектор естьS « - у [га— гг, г3 — га] = - j [г2) г8] — 1- [г„ г3]-- - [iг„ г2] ++ ~2 frl* Г2] = 4 " {[Г2> Гз1 + [Г3. Гх1 + 1**1. Г2]}•Задача 50.
Найти уравнение прямой, проходящей через Ж1(Г1) ипараллельной данному вектору а.Если радиус-вектор какой-либо точки прямой есть г, то вектор г— r lfдолжен быть коллинеарен с а, т. е.г — гг= Ха,где X— переменный параметр (задача 5). Чтобы исключить последнийумножим обе части уравнения векторно на а, тогда получимГг — гр а] = 0или[г, а] = [г„ а],это и есть векторное уравнение прямой. Вводя компоненты вектора а,мы можем написать уравнения прямой в одном из следующих двухвидов:x— xl = y —yl ^ z —zxа,ауа,илиЯ /atx —= V i — а,уг,aaz — atxx— aazuа*У— avx = Wx — atxx.Задача 51. Найти уравнение кругового цилиндра радиуса р, оськоторого проходит через начало координат и имеет направление, заданное ортом ш60В е к т о р н а я а л гебр аНам нужно выразить, что расстояние точек цилиндра до оси равно р.Составим векторное произведение [и, г]; величина [этого вектораесть 1 • г • sin (и, г), т.
е как раз р, следовательно искомое уравнение«сть[и, г р = р».Проще всего взять такую систему координат, чтобы ось цилиндрапошла по оси z , тогда u = к и так как[к , г]х = - у , [к, г ] , = * , [к, г], = 0,уравнение цилиндра принимает простой видд;2 -{-у» = р9.Задача 52. Найти величину площади параллелограмма, сторонамикоторого являются векторы а = i — 2j — 4k и b = 3ij — 2k.О твет. 7 j / 5.Задача 53. Найти вектор, лежащий в плоскости yz, имеющий длину,равную 10 и перпендикулярный к вектору a== 2i — 4j-f~3k.О т в ет , r t ( 6j -}-8 k).Задача 54.
Найти длину р перпендикуляра, опущенного из началакоординат на прямую [г — ги а] = 0 .аЗадача 55. Найти главный вектор R и главный момент L 0 относительно начала координат О системы сил, представленных последовательными сторонами плоского многоугольника, если вектор площади этогомногоугольника есть S.О твет. R = 0, Lo = 2S.§ 7. Произведения трех векторов. Их сзойства.1.Перейдем к вопросу о перемножении трех векторов а, b и СВ силу двойственности понятия умножения, из векторов а, b и с можносоставить несколько произведений разного рода.
Чтобы составитьиз а, Ь, С произведение, мы должны сначала перемножить два вектора,а потом полученный результат помножить на третий вектор. Если мыперемножим первые два вектора, например b и с, скалярно, то произведение будет скаляром (Ь, С), который нужно затем умножить на вектор а, в результате получится вектор а(Ь, с), коллинеарный с а. Такого же типа будут произведения Ь(а, с) и с(а, Ь).Пусть b множится на с векторно; вектор а можно умножить наполученное произведение [Ь, с] или скалярно, или векторно. В результате получаются две величины (а, [Ь, с]) и [а, [Ь, с]), первая из которых есть скаляр и может быть названа векторно-скалярным произведением) вторая же величина есть вектор и называется двойным век•*торным произведением векторов а, b и с.П рои звед ен и я трех ве к т о ро в612.Начнем с выяснения геометрического значения векторно-скалярного произведения (а, [Ь, с]).
Выберем основную систему координатопределенного вида, например, левую. Применим формулу (4) § 5, покоторой скалярное произведение двух векторов равно произведению извеличины одного вектора на проекцию другого вектора на направлениепервого. В нашем случае величина вектора [Ь, С] равна площади параллелограмма, построенного на векторах b и с. Чтобы найти, чемуравна проекция вектора а на направление [Ь, с], построим на векторах а, Ь, С параллелепипед (черт.
36). Направление [Ь, с] есть направление перпендикуляра к грани с ребрами b и с, поэтому проекция ана это направление равна высоте h параллелепипеда, опущенной награнь Ь, С и взятой со знаком плюс, если ребра а, b и с образуютлевую систему (потому что в этом случае угол между а и направлением [Ь, с]острый), и со знаком минус, если а,Ь и с образуют правую систему (в этомслучае угол между а и [Ь, с] тупой).Так как произведение площади гранис ребрами b и с на высоту, опущеннуюна эту грань, равно объему параллелепипеда v, то мы получаем замечательную формулу:(a, [b, C]) = ± tf,(1)где нужно брать знак плюс, если векторы а, Ь и с образуют левуюсистему и знак минус, если векторы а, b и с дают правую систему.Если бы мы взяли за основную — правую систему координат, тосовершенно аналогичными рассуждениями мы пришли бы к заключению,,что в формуле ( 1 ) надо брать знак плюс, если векторы а, b и с об разуют правую систему, и знак минус в противном случае.Поэтому получается общее заключение: если векторы а, b и с образуют систему, одноименную с основной, то в формуле ( 1 ) надо братьзнак плюс; если же система векторов а, Ь и с разноименна с основной,то в формуле ( 1 ) надо брать знак минус.Из этой формулы сразу вытекает следующее следствие:(а, [Ь, с]) = (Ь, [с, а]) = (с, [а, Ь]),(2)а на b, bна с, с на а) векторно-скалярное произведение не меняется.т.
е. при циклической перестановке векторов (,заменаВ самом деле, если а, Ь, С образуют, например, левую систему,то, как легко видеть, векторы Ь, с, а, тоже будут образовывать левуюсистему.При перестановке только двух векторов из числа трех левая системапереходит в правую или наоборот; поэтому векторно-скалярное произведение меняет знак:(а, [с, b]) = (b, [а, с]) = (с, [Ь, а]) = — (а, [Ь, с]).(3)В ек торная а л гебра62При компланарности трех векторов а, Ь, с объем параллелепипедаобращается в нуль, поэтому(а, [Ь, с]) = 0(4)(а компланарно с b и с).В частности, если два из векторов а, Ь, с равны между собойвекторно-скалярное произведение обращается в нуль.Обратно, при выполнении равенства (4), объем параллелепипедаравен нулю, а поэтому или один из векторов равен нулю, или два изних коллинеарны или же они компланарны.3.
Чтобы найти выражение (а, [Ь, с]) через составляющие векторова, Ь, С, заметим, что из свойств скалярного и векторного произведенийвытекает дистрибутивность векторно-скалярного произведения, выражающаяся формулами:(a t -f- а 2, [b, с]) = (а 1, [b, c])-f-(a2, [b, с]),(а, [Ь, С, + Са]) = (а, [Ь, с х])4- (а, [Ь, с 2]).Поэтому(а, [Ь, с]) = (ах\-f av\-f a,k, [bx\+ byj -f b,k, cs\-f <g+£,k])может быть представлено в виде суммы двадцати семи членов, олнакотолько шесть из них отличны от нуля, именно те, в которых комбинируются i, j и к, так как все члены вида(i, [j, j]), (i, [j, П).в которые входят два одинаковых орта, обращаются в нуль.
Поэтому(ибо эти произведения равны объему куба с ребрами длины единицы)и со знаком минус три коэффициента при(i, [k, j])=--- 1 , 0 . [i, k ] ) = — 1, (k, [j, i]) — — 1 .Выражение в правой части формулы (5) называется определителемтретьего порядка из составляющих векторов а, b и с и обозначаетсяследующим символом:ax CLy at(6)Правило для раскрытия определителя 3-го порядка состоит в том,что мы должны приписать справа и слева от определителя по однойколонне, составить произведения из трех элементов каждой из шестиполучающихся диагоналей и взять со знаком плюс произведения, отве-П р ои звед ен и я трех век торов63чающие диагоналям, идущим сверху слева вправо вниз, и со знакомминус три остальные произведения:с я' ' сь х сL у с 'Укажем еще, что определитель 2-го порядка раскрывается по формулеа.
а.,Ъ„ Ь.,ЙА “ а А -Итак(а, [Ь, с])=ьх Ьу ьг(8)Сх Су С гЭта формула, указывающая тесную связь векторно-скалярных произведений и определителей 3-го порядка, дает таким образом также выражение объема параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с.Как важное применение этой формулы, выведем соотношение междудевятью косинусами углов, составляемых осями двух координатныхтриэдров (черт.
20). Выбирая за векторы а, Ь, С соответственно векторы i, j и к мы получим, что«1 Pi Ti*2 Рг X?(9 )“з Рз Тзгде нужно взять знак плюс или минус, смотря по тому, имеют ли обатриэдра одинаковую ориентацию или разную.Попутно отметим, что векторное произведение двух векторов а и Ьтакже можно представить в форме определителя, а именно;[а, Ь]I jках ауat( 10)ь* ьи Ь,для доказательства достаточно раскрыть определитель правой частиэтой формулы, получится формула (17) § 6 .4.Перейдем к рассмотрению двойного векторного произведения[а, [Ь, с]]; этот вектор, с одной стороны, перпендикулярен к а, с другой стороны, будучи перпендикулярным к [Ь, с], т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
