1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. + F n ,L e== [гj, F J + [r2, F J + . • - + [r n, F n]н показали, что главный момент относительно всякой точки Сбыть вычислен по формулеможетL. = L 0— [г«, R],где хе— радиус-вектор точки С.Геометрическое место таких точек С, для которых главный моментпараллелен главному вектору, называется центральной, осью системы.Поставим задачу отыскать ее.По условию, для точек центральной оси[Le, R] = 0 ,т. е.[Lo, R] — [[г., R ] , R] = 0 ,откуда(L0 , R] — R (r„, R) + r e(R , R ) = 0.Предположим, что (г,, R) = p, тогда можем решить уравнение относительно гвr « ° ° | tR ~^ 0’ —•(з°)Величина ц остается неопределенной, поэтому конец радиуса-вектора Те лежит на прямой линии, параллельной главному вектору.
Значит,центральная ось есть прямая, параллельная главному вектору. Формулаг _[ЯL 0]дает возможность построить одну ее точку, зная R и L 0. Нужно отложить по перпендикуляру к плоскости, содержащей R и L 0, в ту сто-76В ек торная а лгебрарону, откуда вращение от R к L0 кажется совершающимся по часовой/лчстрелке (для левой системы координат),Z.0sin(L0, R).отрезок длины —-—-— -,Кполученная точка будет одной из точек центральной оси.Так как для точек центральной оси главный момент параллелен главному вектору, то для этих точек главный момент достигает своего минимума. В самом деле, в § 6 была доказана инвариантность (L0, R) =>= I 0/?cos(L 0, R), а, следовательно, неизменность проекции главногомомента на главный вектор. Поэтому величина главного момента L0обратно пропорциональна cos (L0, R) и, следовательно, достигает своего минимума тогда, когда cos(L0, R) достигает своего максимумат.
е. тогда Lo параллельно R.Разберем еще несколько задач.Задача 66. Найти точку пересечения плоскости(г, а) = /га.1,(31)и прямой[г, Ь ] = в{(В, Ь) = о } ,(32)не параллельной плоскости. Так как плоскость перпендикулярна вектору а, а прямая параллельна вектору Ь, то условие параллельностиплоскости и прямой есть (а, Ь) == 0 , значит у нас (а, Ь) ф 0.Составим двойное векторное произведение[а, [г, Ь]] = [а, В].Раскроем егог(а, Ь) — Ь(г, а) = [а, В].Решаем относительно г, воспользовавшись данным выражением дляr = (^ 3 + w irМожно проверить, что это действительно есть решениеединственное, но геометрически это совершенно ясно.Задача 67.
Найти условие, при котором три плоскости(г, а) = а,(г, Ь) = р,(г, С) = f<33)и притом(34)параллельны одной прямой.Чтобы плоскость (г, а) = а была параллельна вектору d, необходимо и достаточно, чтобы а было перпендикулярно к d. Если все грдвектора а, Ь и с перпендикулярны к d, то они компланарны, ибо онивсе параллельны плоскости, перпендикулярной к d. Обратно, если а,Ь, с компланарны и если плоскость, которой все они параллелБны, перпендикулярна вектору d, то и а, Ь, С перпендикулярны к d, следова-77В ек торны е уравненияТвльно, плоскости (34) параллельны d.
Поэтому искомое условие совпа*дает с условием компланарности векторов а, Ь, с, т. е.(а,[Ь, с]) =0.(35)Задача 68. Найти уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М^Гх), Ж2(г2), Ма[Т3), предполагая три вектора гг, г2, г3некомпланарными.Допустим, что искомое уравнение есть(а, г) = тп,тогда, раз точки Мг, М2, М3 лежат в плоскости, мы имеем следующиетри уравнения:(а, г!> = /»,(а, Гг) — т,(а, г8) = т.Если векторы г*, г2, г3 не компланарны,решить по формуле (20 ):то эти уравнения можноа = т г* + /лга* + тг3* = т^ 1,Г^ ,\*1# l r 2i *8J/так что искомое уравнение будет([Г2, Г33+ [**3, r j -f [г„ г2], г) — (г* [г2, г3]).(36)Задача 69. Найти кратчайшее расстояние между двумя непараллельными прямыми,[г, а] = А[г, Ь ] = В{(А, а) =0.1'{(В, Ь) = о ) .(37)Возьмем какую-нибудь точку М\, на первой прямой и пусть ее радиус-вектор есть 111 другую точку М2 с радиусом-вектором г2 возьмем навторой прямой.Тогда[Г1, а] = А[г2, Ь] = В,умножим первое уравнение скалярно на Ь, второе уравнение скалярнона а:([г„ а], Ь) = (А, Ь) или (гг, [а, Ь]) = (А, Ь)([г2, Ь], а) = (В, а)или(г2, [Ь, а ] )= (В , а).Сложим эти уравнения(г, — г2, [а, Ь]) = (А, Ь) + (В, а).Обозначим на время [а, Ь] = с, тогда(гх— Га, С) — (А, Ь)4- (В, а),В ек торная алгебрат.
е.М ХМ 2cos ( Л у и х, с) =следовательно, проекция(А, Ь) + (В, а)на направление вектора с постоянна. А значит..М х/Мйбудет иметь наименьшую длину тогда, когда Ж Ж 2 будет совпадать по направлению с с = [а, Ь], т. е. будет общим перпендикуляромк обеим прямым.Величина же этого кратчайшего расстояния есть(А ,Ь ) + (В, а) |I [а, Ь] |(38)*Отсюда сразу получается условие того, чтобы две прямых (37) пересекались:(А, Ь )+ (В , а) = 0 ,(39)так как тогда кратчайшее расстояние должно равняться нулю.Задача 70. Возьмем шесть векторов а, Ь, с, d, е, f и докажем следующее тождество:(a, [b, c])(d, [е, f]) =(a, d)(а, е)(a, f)(b, d)(Ь, е)(b, f)(с, d)(с, е) .(с, f)(40)Предположим для простоты векторы а, Ь, С некомпланарными, тогдаможем разложить векторы d, е, f по а*, Ь*, с*d = (d, a)a*-f(d, b)b*-j-(d, c)c*,e = (e, a)a*-{-(e, b)b*-f-(e, c)c*,! = (f, a)a* -j~(t b)b* -J- (f, c)c*.Составим (d, [e, f]). При перемножении мы получим двадцать семьпроизведений, но только шесть из них не обратятся в нуль, так что мыполучим:(d, [е, f]) =(d, a) (d, b)(е, а) (е, Ь)(!, a) (f, b)(d, с)(е, с)(!, с)(а*, [Ь* с*]).Но мы доказали [формула (22)], что1(»*• 1Ь*- с *1) = 1 м ь 7 Ш Следовательно,(а, [Ь, с]) (d, [e,f)) =(a, d)(a, e)(a, f)(b, d)(b, e)(b, f)(с, d)(c, e)(c, !)79В е к т Ор Н ы ё у р а в н е н и яЕсли выразить это тождество через составляющие векторов, То получится теорема об умножении определителей 3 -го порядка.а,Каь.аd9 d 2aadt -\-aydy-\-a,dtе''у°х ех ~ Ь ауеу Ч " ашешел л /.« * Л + « » Л + а ./.М .
+ b9d94- b'd, cxdx + C9du -f-ctdtЬ щ + byey+ bte, cxex + c,e9 -f ct etbJx + byfy-\- btf t cxf x -j- c9f 9-f- c j %(41)Если в формуле (40) положить d = a, e = b, f = c, то получитсяформула, дающая квадрат объема параллелепипеда, построенного на ребрах а, Ь, с:а2 (а, Ь) (а, с)(а, Ь)Ь2 (Ь, с)(а, с) (Ь, с)са= а?ЬЧ* — аЦЬ, с)2— £2(с, а)2— с2(а, b)2-f(а, [Ь, с]2=~Ь2(а, Ь) (Ь, с) (с, а) = а2£2с2 11— cos2(b, с) — cosa(c7a)—— cos2 (a, b) -f 2 cos(afb) cos(bTc) cos(cTa)}(42)Г Л А В А II.ВЕКТОРНЫЙ АНА ЛИЗ.§ 9. Переменные векторы, зависящие от скалярного аргуме 1та.Годограф вектора. Дифференцирование вектора по скалярномуаргументу.
Формулы дифференцирования. Интегрирование поскалярному аргументу.1. Посвятим настоящую главу изучению вопросов, связанных с переменными векторами. Начнем с рассмотрения того случая, когда независимой переменной является скалярный аргумент t. Например, в механике, ча_це всего, таким скалярным аргументом является время.
Итак,пусть нам задан вектор а(/), изменяющийся вместе с t и представляющий некоторую функцию t. Отметим, что задание функции а(/) эквивалентно заданию трех скалярных функций от t :a jt) , aJt), at(t), ибоа ( 0 = ax(t) i -f at{t)i - f at{t)k.( 1)Мы будем всегда предполагать a (f) непрерывной функцией t, т. е.будем считать, что для двух соседних значений аргумента t иразность а (/ -j- At) — а(^) может быть сделана сколь угодно малой придостаточно малом At. В этом случае говорят также, что a (t) 'есть предел a(t-\-bt) при At, стремящемся к нулю, и записывают это следующим образом:а(/) = lim a(tit-* оД£).(2)Будем откладывать значения вектора a (f), при различных значенияхt, от общего начала О; изменяя t в некотором интервале, мы заставимконец вектора a (t) описать некоторую непрерывную кривую, котораяназывается г о д о г р а ф о м в е к т о р а а (£).Итак, годограф вектора есть геометрическое место концоввекторов а(/), откладываемых от общего начала О.2.
Чтобы установить понятие о производной вектора а(1), будем поступать как обычно: возьмем два соседних значения аргумента t и t -j- А/,найдем соответствующие им значения вектора a (t) и a (t -j- At), составим приращение вектора, т. е. разностьДа = а (/ 4- Л/) — а(0,(на черт. 39 эта разность представлпется вектором A.Y).П ерем енны е век т о ры , за в и с я щ и еотск алярногоаргум ента81Составим далее отношениеД а _ а (* 4 * д0— а (/)__и перейдем к пределу при Дt -*> 0 .Если этот предел существует, его называют п р о и з в о д н о й век■da, jтора a(t) и обозначаютили a (t). Имея в виду, что в механикевремя постоянно употребляется в качественезависимого скалярного переменного, выгодно производные а по времени обозначатьсокращенно символом а (/), ставя над вектором точку.
То же применимо конечно ик скалярам:«Лdtесли t — время.Итак,im, а. ( ' - + ^ . - аДД^Так например, если взять за ащейся точки Ж(г), а за t — время,. . Дгром перемещения за время Дг,(3)радиус-вектор г некоторой движуто Дг = г(^ —j—Д^)— г(0 будет векго,будет вектором средней скорости заэтот промежуток времени, и наконец,dr• _— г будет вектором скорости\(t) к моменту t. Таким образом с к о р о с т ь д в и ж у щ е й с я т о ч к ие с т ь п р о и з в о д н а я ее р а д и у с а - в е к т о р а по вр е ме ни:V(/) = r(*).(4)Если мы начертим годограф вектора а (черт. 39) и отметим концыА и А' векторов а(1) и a{t-\-bt),то частноеАА'— —— =— *•= -дТ- будет иметь то же направление, что и хорда годографа АА'. ПриAt-+0 это направление будет стремиться совпасть с направлением касательной к годографу, поэтому н а п р а в л е н и епроизводнойda-ггсовпадает с на пр а вле ние м касательной к г о д о г р а ф ув е к т о р а а(/).Очевидно, что производная вектора a (t) есть в свою очередь вектор, зависящий от t, поэтому от него можно взять производную; этапроизводная называется второй производной вектора а и обозначаетсяd?а-Гр и т.
д. Так, например, производная вектора скорости называетсяв е к т о р о м у с к о р е н и я w (f):w(/) = v ( 0 = г ( 0 ;Н. JE. К о ш . — Векторное исчисление(5)6'82В ек торны й анализзначит вектор ускорения есть вторая производная радиуса-вектора повремени.Отметим раз навсегда, что мы будем предполагать все производные,о которых идет речь, существующими и непрерывными.3.Докажем, что все основные свойства производных сохраняются идля производных векторов.П р о и з в о д н а я с уммы р а в н а с у м м е п р о и з в о д н ы х . Пустьимеем два вектора a(t) и Ь(/), тогда<j?[a(0 + b(0]dtАа-КДЬДа , ,. ДЬda , db /ал— lim -- -— = lim — 4- lim — = -тг 4- -тг.
(5)м->о Д/м->о Дtо ДtdtdtП о с т о я н н ый м н о ж и т е л ь м о ж н о в ы н о с и т ь и з-п о д з н а к апроизводной:d[ma{t)]da{t)— з г ^ = п -гг,л( « = const).,_ч<7)Если m есть тоже функция от t, то справедлива ф о р м у л а дифер е нц ир о в ан и я произведения:id(ma)dtda . dmт -мзтdt +1~dt/оч(*)Для доказательства составляем:dma__(т -{-Am) (a -f-Да) — т а ______ Дта-}-/яАа-}-д>гаДа _____dtAt-юДtдt-мДtdm.da= - Л а + т ЛТочно так же доказываются ф о р м у л ы д и ф е р е н ц и р о в а н и яскалярного и векторного произведения:rf(a' bWdtd[а, b]dt£ ,\dt *Г daI d t’ъ)) +и *\' \ * dt~hdb(9)( 10)Относительно последней формулы нужно заметить, что в ней порядок множителей в каждом члене имеет строго определенное значение ине может быть переставляем.П р а в и л о д и ф е р е н ц и р о в а н и я с л о ж н ы х функций приме*няется и к векторам, так что если t будет в свою очередь функциейдругого скалярного аргумента и, тоотП ерем енны е век торы , за в и с я щ и еск алярного83аргум ентаЕсли вектор a(t) разложен по постоянным ортам i, j, k:а (0 = ax(t)i + ay(t)j -f a,{t)k,то, по только-что выведенным формулам, найдем:__ ^ axt I day » | dci2 .dtdt+dt j ^dt.''откуда выводим, что к о м п о н е н т ы п р о и з в о д н о й в е к т о р ар а в н ы п р о и з в о д н ы м от к о м п о н е н т о в д а н н о г о в е к т о р а .4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
