1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Рассматриваемая часть пространства называется тогда полем, с к а ­ля р ным или в е к т о р н ы м , смотря по тому, какая функция, скалярнаяили векторная, изучается. Так, например, мы имеем в атмосфере ска­лярное поле давления, ибо каждой точке атмосферы отвечает некотороезначение давления. В реке мы имеем векторное поле скорости частицводы и т. д.Так как каждую точку поля можно определять ее радиусом-вектором,то задать скалярное или векторное поле значит привести в соответствиекаждому радиусу-вектору г значение некоторой скалярной функции <р (г)или некоторой векторной функции а (г).

Таким образом, в рассматри­ваемом случае независимой переменной является радиус-вектор г.Аналитически задание скалярной функции <р(г) сводится к заданиюфункции <?(jt, у, г) от трех координат точки, задание векторной функцииа(г) равносильно заданию трех скалярных функций ax(x,y,z), ay{x,y,z),а,(х,у, z), дающих компоненты вектора а.

Очень часто приходится рас­сматривать скалярные или векторные функции, изменяющиеся с течениемвремени: <p(r, f), а(г, /). Соответствующие поля называются тогда п е р е ­ме н н ыми или н е с т а ц и о н а р н ы м и ; поля же, не меняющиеся с те­чением времени, называются п о с т о я н н ы м и или с т а ц и о н а р н ы м и .Мы всегда будем предполагать, если только не сделано особой ого­ворки, функции векторного аргумента непрерывными, т. е.

будем счи­тать, что разности <р(г + Дг)— <р(г) или а(г-|-Дг)— а(г) могут бытьсделаны по модулю сколь угодно малыми при достаточно малом Дг.2. Для наглядности представления имеет большое значение графиче­ское изображение полей. Пусть мы имеем дело со скалярным полем, такчто нам задана функция ср(г) или, что то же, функция <р(х, у, z). Еслинам задано нестационарное поле, то мы рассматриваем его в опреде-106В ек торны йанализпенный момент времени. Пусть в некоторой точке М0(г0) функция ©(г)принимает значение= <р(г0^. Огметим все точки, в которых значе­ние функции равно ©0.

Эти точки, вообще говоря, заполнят некоторуюповерхность или несколько раздельных поверхностей, которые называютсяп о в е р х н о с т я м и у р о в н я или и з о п о в е р х н о с т я м и (черт. 43).Их уравнение в декартовых координатах очевидно имеет вид:<?(*) У> z) = const.Напримрр, на синоптических картах, таким образом, наносятся изо­бары, т. е. линии уровня для скалярного поля давления (линии, потомучто здесь рассматривается двумерное пространство — поверхность земли).П ри этом изобары наносятся обычно через каждые5 миллибаров (единицы давления), так что ряд по­следовательно идущих изобар отвечает значениям1000, 1005, 1010, 1015 и т.

д. миллибаров.Если аналогичным образомпровести поверхности уровня1кции ср(г), отвечающие рав­функцноотстоящимзначениям функ­') II ' ноотстции, то получится картина, ука­зывающая уже ряд свойств изу­Черт. 43.Черт. ’ 44.чаемой функции. Так, напри­мер, места сближения двух по­следовательных изоповерхностей указывают на быстрое изменение здесьфункции, причем очевидно, что это изменение происходит в направле­нии, перпендикулярном к изоповерхности, в то время как при перемеще­нии вдоль самой поверхности значение функции совсем не меняется.3.

Рассмотрим теперь векторное поле. Введем для наглядного изоб­ражения его в е к т о р н ы е ли н и и , т. е. такие линии, во всякой точкекоторых вектор имеет направление касательной к линии. Приближенномы можем построить эти линии следующим образом.

Выберем какуюнибудь точку поля и отложим вдоль отвечающего этой точке вектораотрезок весьма малой длины е; с концом этого отрезка поступим совер­шенно таким же способом и будем продолжать таким образом дальше;з результате получится ломаная линия, которая тем ближе будет пред­ставлять нашу векторную линию, чем меньше взято а и при бесконечномалом е, т.

е. в пределе, перейдет в самое векторную линию (черт. 44).Возьмем на векторной линии какую-нибудь точку М(т), единичныйdrвектор касательной к векторной линии есть—— ,торано по условию век-в точке М тоже должен касаться векторной линии, следовательно, двавекторааdxи -т— коллинеарны, а значитdsdr_ds= 0,(§или, умножая на ds,[dr, а] == 0,(2)Г радиент.Его свойства.Л инейны йинтеграл.П отенциал107Это есть диференциальное уравнение векторных линий в векторнойформе.Если составляющие вектора а(г) суть ах (х,у, г), ау (х,у, г) и а г(х,у, г),то условие 12 ) параллельности касательной к векторной линии и самоговектора приводит к диференциальным уравнениям векторных линий;dx __ d y __ dz_аха~у ~ а , '.

.Интегрирование этих уравнений введет две произвольных постоянных,так что мы получим двупараметренную совокупность векторных линий.Однако задание векторных линий и ориентировка их дает нам тольконаправление вектора во всякой точке поля, величину же вектора мы дол­жны графически изобразить каким-либо другим способом. Можно, имеяв виду, чго величина вектора есть скаляр, рассматривать наше векторноеполе еще как скалярное поле модуля вектора и построить соответству­ющие изоповерхностиах2-j- a * -j- а ? — const. Но можно поступитьиным способом, а именно, характеризовать величину вектора густотойпроводимых линий. При этом густоту линий мы должны измерять, про­водя через каждую точку маленькую ортогональную к линии площадку,отсчитывая на ней число пересечений ее векторными линиями и относяэто число к единице площади. Нужно отметить, что, вообще говоря, при­дется часть линий заканчивать внутри поля, а часть начинать внутри его.Мы впоследствии укажем то условие, при котором этого явления не будет.Задача 85.

Найти векторные линии для случая векторного поляГО т в е т . Прямые линии, проходящие через начало координат.Задача 86. Найти векторные линии для случая векторного поляа = [с, г], где с — постоянный вектор.О т в е т . Окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к пря­мой, проходящей через качало координат и имеющей направление век­тора с ; центры этих окружностей лежат на этой прямой.§ 12. Градиент.

Его свойства. Линейный интеграл. Потенциал.1.Мы рассмотрели выше вопрос о диференцировании вектора поскалярному аргументу. Вопрос о диференцировании по векторному аргу­менту гораздо более сложен, особенно в случае векторного поля.Рассмотрим скалярное поле функции ®(г) =z). Выберем неко­торую точку поля Af(r); проведем через нее какую-либо прямую и обо­значим через s единичный вектор, направленный по этой прямой. Возь­мем на этой прямой соседнюю с М точку M '(r -\-eS), где г — М М ' —бесконечно малая величина; при переходе от М к Л1' функция © приоб­ретает приращение А<р = о (М ') — ср(Л?) = со(г -f- es) — ®(г).

Составим, какД'оЭто естественно сделать, отношение —- и перейдем к пределу, устремив108В ек торны й анализе к 0, полученный предел назовем п р о и з в о д н о й ? по направ*лению s в точке М и обозначим через- feds мм’->оММд'л:os= ,|ш^|>о+( 1)*дц>Знание производной — ■для любого направления s позволяет вычис­лить во всех точках, соседних с точкой М, значение функции <р с точ­ностью до членов второго порядка малости.пд®Для вычисления-^- введем систему координат х, у, z и заметим,что единичный вектор s имеет составляющими5* = cos (sTx)-, Sy = cos (s,_y/); St = cos(sT^),(2)поэтому<p(r-j-es) — <p(Г) = <f(x -J- e cos (S, X), У -J- e cos (s, y), Z—e COS (S, z) —y(x, у , z).Эту разность можно рассматривать, как сложную функцию в.

Разло­жим ее в ряд Тейлора по возрастающим степеням г, причем ограничимсячленом, содержащим первую степень е:<p(r + es) — <р(г) = зcos(Сх) - f- ^ - c o s (Су) -Ь j-z cos (sT«) -j- 1Г)jгде y]— бесконечно-малая величина (как мы условились уже раньше, мыбудем всегда считать все вводимые производные существующими и не­прерывными).По разделении на е и переходе к пределу, мы получим требуемуюформулу:cos(Сх) +Ц- 008(Су) + Ц со.

(Q) .(3)Заметим, что эту же самую формулу мы получили бы, если бы прид<оопределении производной-^- мы брали соседнюю с М точку Мнена луче, проходящем через точку М в направлении s, а на какой-либокривой ML, касательная к которой в точке М имеет направление S.Обозначая через s длину дуги, отсчитываемой по этой кривой от точкиМ, мы будем иметь, что функция <?(х, у, z) будет сложной функциейОт s через посредство х, у, z\ по правилу диференцированияГрад иент .Е го с в о й с т в а .Л инейны й и н теграл.109П отенциалсложных функций мы получимд<р __dcp dx .dy .

ду dzdsдх ds ' ду ds ' dz ds 'и так какdx—. dy= cos (s, х),ч dztUT"\= cos (s,у ), -jg = c°s (s, г),то опять получается соотношениедфд<?=. . <?<р, —* . ,cos(s,Jc) + 5 7 cos ( * • » + - J F cos (s' г,‘Но вспомним правило преобразования составляющих вектора а (фор­мула (1) § 4):а, — ахcos (s, х)-\-ауcos (s,.y) -f at cos (s, z).(4)Отсюда видно, что если мы определим вектор, составляющие кото-д<орого по основным ортам суть-— ,любому направлению s будетдудуто его составляющая по.Назовем этот вектор г р а д и е н т о м <э в точке М и обозначим сим­волом grad <р. Его составляющиеР * !.? -д?.д&ж: grad,<p = - f t ; g" 4 <p=дФ.д<?; grad.., = w.(6)Таким образомgrad < | , = i ^ + i ^ .

+ k - i .(6)Этот вектор, конечно, не зависит от выбора системы координат ху, z, так как его составляющие по любому направлению были нами оп­ределены непосредственно.Величина grad ср, очевидно, равна•(7)Производная по любому направлению s равна проекции grad <р на этонаправление, следовательноВ е к то рн ы й110Из этой формулы видно, чтоdsанализдостигает наибольшего значения длянаправления s, совпадающею как раз с направлением grad?, причем этонаибольшее значение равно величине grad у.

Характеристики

Список файлов книги