1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Это можно сделать различными способами, например, можно задать векторы i, j и к, как функции времени t. Каждыйвектор нужно задавать тремя числами; таким образом всего надо задатьдевять функций времени t, но из них только три можно задать по произволу, потому что между векторами i, j и к существует шесть зависимостей:О» *) — 1 * (j, j) = 1, (к, к) = 1,( i , j ) - 0 , (j, к) = 0 , (к, 1) = 0 .1Так как движение твердого тела, вращающегося около неподвижнойточки, определяется тремя независимыми функциями времени, то говорят, что имеющее неподвижную точку твердое тело обладает тремя степенями свободы.Отметим, что между первой формулой (45) и (47), несмотря на ихвнешнее сходство, существует огромное различие.
В формуле (45) X,у, z являются функциями времени, в то время как i, j, к постоянныеорты, значит в формуле (45) рассматривается движение точки, перемещающейся относительно неподвижной системы координат. В формуле же(47) х, у, Z постоянны, a i, j, к являются функциями времени, поэтомуздесь рассматривается движение точки, неизменно связанной с осями,перемещающимися в пространстве, т.
е. рассматривается движение точкитвердого тела, вращающегося околсС начала координат. В следующемпараграфе при изучении относительного движения мы рассмотрим общийслучай, когда меняться будут и координаты х, у, z и орты J, j, к.После этого отступления перейдем к нахождению скорости точкитела М с радиусом-вектором (47):d\ ,d] .dkПроекция на ось х будет« .= < ;, о = * ( - § . •)+->'( 4 г ' |) + 2 ( !§ - 1) ’В ек т орн ы й анал из92н о в силу (4 8 )dtпоэтомуЦиклической перестановкой (заменой х на у, у на z, z на х, I на j,j на к, к на i) получим:*•— (-§•’)* + (w - к) уПоэтому, если обозначить" '= ( # >“■ = ( ! • J )(49)и если ввести вектор«>(/) = a>xi -J- (oyj - | - о>,к,(50)V» = со,г — w,y, jVy = (otx — <Dxz, JV, = e>xy — °>vX, )(5 1)то будетили в векторной форме✓V = [», г].С46)Формулы (49) позволяют вычислять проекции вектора угловой скорости на оси х, у, Z, связанные с твердым телом.
Выберем неподвижную систему координат Oxyz и зададим векторы i, j , к их проекциямина оси Oxyz, т. е. девятью косинусами таблицы § 4. Так напримерпроекции j и к сутьh = cos ОТ *) = fa, jy = cos o G ) — h h = cos (у У ) = Рз.— Ti» by — Tf2> k—— Y3,dh _ d?id)y = dhdtdt * dtd t'dk _ dhdt ~~ dt 'поэтомуm =5=dtr 4-v 4rdt Ta+ dt Te'/524' 52)Циклическая перестановка о, p, 7 дает юу и ш§.Общий случай движения твердого тела приводится к только-что рассмотренному; если обозначить радиус-вектор начала О подвижнойП ерем ен н ы е век т о ры , за в и с я щ и е о т ск а л я рн о го аргум ента93системы координат относительно начала О неподвижной системы координат через г0, а радиус-вектор точки тела через г и сохранить обозначение г для радиуса-вектора точки тела относительно О, тоr = r 0 + x i + ^ j 4 -«k,при диференцировании прибавится лишний член, представляющий скорость v 0 точки О:dxQ-г—0dtХ dl JL.
у_| Z dk*-^+y-dt+zdt *dtпоэтому формула, дающая распределение скоростей различных точектвердого тела, будетили в координатахv = V0 -Hu>, г](53)(54)Для вычисления ускорения различных точек твердого тела диференцируем (53):dvd\a , ’ dtoЧГdr ‘Ю,[0),Г] .(55)dt = w 0+ K r]-i-г +Таким образом ускорение точек твердого тела состоит из трехчастей: ускорения точки О, вращательного ускорения [ш, г) и осестремительного ускорения [о>, [ш, г] ].Вектор последнего, с одной стороны, перпендикулярен к а>, с другой стороны, лежит в плоскости векторов ш и г, откуда и можно заключить о его осестремительности.9. Рассмотрим простейшие вопросы динамики материальной точки.Вектор mv, где т — масса материальной точки, называется количеством движения точки.
Закон Ньютона говорит, что производнаяпо времени количества движения точки равна действующей на эту точкусиле F:dm\_илиs i—F -m w = mv = m r = F.(56)Умножим обе части ур-ния (56) векторно на г:[г, mr] = [г, F].Преобразуем левую часть этого уравнения, воспользовавшись тождествомd•^-[Г, /яг] = [г, mr] + [г, mr] = [г, тг];первый член пропадает в силу коллинеарности г и mr.94В екторны й анализПоэтому~[г, жг] = [г, F].(57)Справа стоит момент силы относительно начала координат, слева жепроизводная от момента количества движения [г, т\). Получили законмоментов количеств движения: производная по времени момента количества движения точки относительно точки О равна моменту действующейна точку силы относительно той же точки О.Если сила центральная, т. е.
проходит через постоянную точку, которую мы возьмем за начало координат, то F будет направлено по гв ту или другую сторону, так что F = kr, поэтому [г, F] для центральной силы равно 0 и из [57] мы выводим[Г, г] = const = С.Найдем геометрическое значение этого равенства.умножая (58) скалярно на г, найдем, что(с, г) =(58)Преждевсего,0,следовательно, движение происходит в плоскости, перпендикулярнойк вектору с и проходящей через центр силы.
Величина [г, dr\ представляет площадь параллелограмма, построенного на г и dv, т. е.удвоенную площадь треугольного сектора, описанного радиусом-вектором г за время dt. Поэтому— [[г, г]| представляет величину секто-риальной скорости , и уравнение (58) говорит, что точка движетсяв постоянной плоскости с постоянной секториальной скоростью, так чторадиус-вектор точки описывает в равные времена равные площади, почему интеграл (58) называют еще интегралом сохранения площадей.Умножим, с другой стороны, основное уравнение (56) скалярно на\dt = dr.(тх, \dt) = (F, dv),но \dt— d\, следовательноm(v, dv) = (F, dr);замечая далее, чтоdv 2 = d(y, v) *= 2 (v, dv); (v, dv) — dполучим< * ^ f = ( F ,* ) .„mv2-(59)„Выражение —-— называется живои силои точки, скалярное же произведение (F, dr) представляет элементарную работу силы.
F наперемещении dr. Формула (59) выражает так называемый закон живойсилы в диференциальной форме:П ерем енны е в е к т о ры , за в и с я щ и еотск алярногоаргум ента95Приращение живой силы материальной точки за промежуток времени dt равно элементарной работе силы, действовавшей на точку, на перемещении точки dr за т о т ж е промежуток времени.Перепишем, наконец, закон Ньютона в следующей формеdmv — Fdt,проинтегрируем теперь обе части этого равенства в пределах от моментаtQ до момента t, тогда получим:ты — т\0—J ?dt.(60)г*•Интеграл от силы F по времени, т.
е. 1 = / F dt*{называется импульсом силы F за промежуток времени^/\ It*о*тмФормула (60) выражает закон количества движения:геометрическое приращение количества движения точкиЧерт. 42.за некоторый промежуток времени равно импульсу силы,действовавшей на точку, за тот же промежуток времени. Черт. 42 даетгеометрическое выражение формулы (60).Задача 71. Доказать, что если кривизна равна нулю, то криваяесть прямая.По условию -тг-= 0.
Из формулы (37) выводимКследовательно, интегрируя,dsdr„а——j — = а = const, а — 1,dsзначит, интегрируя еще раз,r = as-f-c, с = const,а это есть уравнение прямых линий.Задача 72. Доказать, что если кручение равно нулю, то криваяплоская.По условию — = 0. Из формулы (37) выводимЛds-о,следовательно,b = а = const, а — 1.Но так как b перпендикулярно к 9 , т. е.
(Ь, а) — 0, тоIdr\96В ек торны й анализоткуда, интегрируя(а, г) — т,а это есть уравнение плоскости, в которой и должна лежать кривая.Задача 73. Написать уравнение соприкасающейся плоскости в точкеЖ(г0).Обозначим переменный радиус-вектор точки плоскости через г;так как соприкасающаяся плоскость перпендикулярна к бинормали, тоее уравнение есть(г — Го, Ъ) =0или, так как Ь = [», п],(Г — Г0, [<г, П]) = 0,что можно записать в координатах в форме определителяX — XQ У — Уоdxdydsdsd?yd?xds*ds%г — z(dzdsd?zds3Задача 74.
Определить кривизну и кручение винтовой линии.Найдем сначала уравнение винтовой линии. Пусть винтовая линиянанесена на цилиндр радиуса а с осью z и пусть высота каждоговитка винта равна 2 тгА, тогда можно взять за уравнение винтовой линииг = a cos t\-}-лsin t\-J-htk.В самом деле, a (1 cos/-]-j sin/) представляет вектор длины a, лежащий в плоскости ху и составляющий с осью х угол t\ вектор же htk.параллелен оси z и тоже пропорционален t, поэтому при развертываниибоковой поверхности цилиндра в плоскость каждой абсциссе at будетотвечать ордината ht, так что мы получим прямую линию с углом наклона arctg — . Это есть угол подъема винта.аПрежде всего мы должны ввести в качестве независимой переменнойдлину дуги s. Если мы будем рассматривать параметр /, как время, тоскорость точки будетГ = — a sin /! — а cos t\hk,величина же ееv = s = y v2x+=У a2sin2/-}-a2cos2/-4-Aa =гдеоткудат — У а9 -}-Аа ,s = mt-\- const.т,П ерем енны е век торы , за в и с я щ и еотск алярного97аргум ентаМм выберем постоянную равной нулю:s = mt,t—ттеперь вводим вместо t параметр s :s , ,т.s .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
