1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 12
Текст из файла (страница 12)
е. к перпендикулярук плоскости, определяемой векторами b и с, он должен быть компланарен векторам b и с. Итак, вектор [а, [Ь, с]] направлен по линии пересечения плоскости, перпендикулярной к а, с плоскостью, компланарной векторам b и с.В ек торная ал гебра64Вектор [а, [Ь, с]], компланарный векторампо этим векторам, так чтоb и с, можно разложить[a, [b, c]] = mb-f«c,(II)где т и п — подлежащие определению скаляры.Примем, что основная система координат есть левая система.
Дляопределения т мы исключим п, для чего умножим обе части уравненияскалярно на вектор с', лежащий в плоскости векторов b и с, перпендикулярный к С и направленный так, чтобы с', С и [Ь, С] образовалилевую систему. Черт. 37, выполненный в плоскостивекторов b и с, показывает, что вектор с' нужноуснаправлять в сторону вектора b (вектор [Ь, с]направлен от чертежа вперед). В результате умножения получается([а, [Ь, с]], cO = m(b, сО-( 12)Преобразуем векторно-скалярное произведениелевой части по формуле (2):(la, [Ь, с]], с') = ([[Ь, с], с-], а).Но двойное векторное произведение [[Ь, с], С']можно вычислить непосредственно.Вектор [Ь, С] имеет величину £ fs in (b , с) и направлен по перпендикуляру к черт.
37 вперед от чертежа. Поэтому [[Ь, с], с'] направленс и имеет длину be sin (b, с) • (f = cbc' sin (b, с) =*= cbc' cos (b, с') = с (Ь, с'), а значитповектору[[Ь, с], с'] = с (Ь, с'),([а, [Ь, с]], с ')= (а , с) (Ь, с'),подставляя это выражение в уравнение (12) и сокращая на (Ь, С'), величину неравную нулю, если только b не параллельно с, найдемт = (а, с).(13)Чтобы найти п, перепишем формулу (11) в виде[а, [с, b ] ] = — mb — пс,применяя только-что найденный результат, сразу найдем— л = (а, Ь),(14)так что окончательная формула будет[а, [Ь, с]] = Ь(а, с)с(а, Ь).(15)Эта формула остается справедливой и при коллинеарности b и.
С»так как тогда обе части равенства обращаются в нуль.П рои звед ен и я t p ixвекторов$5Отметим, что в двойном векторном произведении очень важно подчеркивать порядок перемножения. Так например, вычисляя [[а, Ь], с],мы получим совершенно другой вектор:[[а, Ь], с] = —[с, [а, Ь]] = [с, [Ь, а]] = Ь(а, с) — а(с, Ь). (16)Сопоставляя формулы (15 и 16), можно вывести следующее правилодля запоминания разложения двойного векторного произведения:скалярное произведение крайних векторов надо взять коэффициентом при среднем векторе и вычесть из полученного вектора произведение другого вектора, заключенного во внутренние скобки, на скалярное произведение двух остальных векторов.Формулу (15) очень легко вывести другим путем, если найти составляющие вектора [а, [Ь, с]]:[а, [Ь, с)1 Щ ау[Ь, с], — ая[Ъ, с]„ = ау(рхсу— Ьусх) — at{btcx— Ьхсш)Ц= Ья{авсш+ агсе) — сх(ауЬу+ вД),прибавим и вычтем по axbxcxt тогда получим:[a, [b, c]L = Ьх{ахсх -f-аусу -{-a,ct) — cx(axbx-f ayby+ atbt) == bx(а, с)— сх{г, Ь).Так как совершенно аналогичные формулы получаются для двух других составляющих, то имеем право написать векторное равенство[а, [Ь, с]] = Ь(а, с)— с(а, Ь),восстанавливающее формулу (15).5.При циклической перестановке векторов а, Ь, с формула (15)приводит к трем разным векторам:[а, [Ь, с]] = Ь(а, с) — с(а, Ь),[Ь, [с, а] ] = с(Ь, а) — а(Ь, с),[с, [а, Ь]] = а(с, Ь) — Ь(с, а).Складывая эти три равенства вместе, получаем тождество[a, [b, c]]-f [b, [с, a]]-f-[с, [а, Ь]] = 0(17)Наконец, важное применение формулы (15) состоит в выводе разложения данного вектора b на две составляющих, из которыходна параллельна, а другая перпендикулярна к заданному вектору а.А именно, положив в формуле (15) С = а , найдем[a, [b, a]] = b(a, а) — а(а, b) = ba2 — a(a, b),Н, X.
К о ч и н. — Векторио* исчисление566В е к т о р н а я а л ге б р ар еш аем э т о у р а в н е н и е отн оси тел ь н о Ь :ь = ^ г » + ^ - [ » . №.»]}•(18)Первый из слагаемых векторов правой части очевидно параллелен а,а второй перпендикулярен.Формула для разложения упрощается, если а будет единичныйвектор:b = (a, b)a-J-[а, [Ь, а]] (а = 1 ).(19)Разобранные нами случаи произведений трех векторов играют большую роль в векторной алгебре. Произведения четырех и большего числавекторов могут быть сведены к низшим произведениям; мы их рассмотрим в качестве примеров.Задача 56. Через точкупровести плоскость, параллельнуювекторам а и Ь.Если радиус-вектор какой-либо другой точки плоскости есть г, товектор г — Г, должен быть перпендикулярен к [а, Ь], т. е.
должно быть(г — г1} [а, Ь]) = 0 .(20)В декартовых координатах уравнение плоскости будет: — х\У — Ух z — z,+ ( « А — я А )(У — Ух) +• ( « А — aubx)[z — г,) = 0 .(21)Задача 57. Вычислить ([а, Ь], [с, d]).Обозначим на время [с, d] = e; в векторно-скалярном произведении([а, Ь], е) произведем перестановку([а, Ь], [с, d]) = ([a, b], е) = (а, [Ъ, е]) = (а, [Ь, [с, d]])^= (а, c(b, d) — d(b, с)) = (a, c)(b, d) — (a, d)(b, с) =1 (а, с)(a, d)I (b, c)(b, d)(22)В частном случае при d = а, найдем([а, Ь], [а, с]) = а2(Ь, с) — (а, Ь)(а, с).(23)Из этой формулы легко вывести основную формулу сферическойтригонометрии, для чего рассмотрим на сфере единичного радиуса сферический треугольник АБС, радиусы-векторы вершин которого относи-П р о и зв е д е н и я трех век торов67тельно начала координат пусть будут г„ г2, г8 (черт.
38). Из формулы (23) при а = гр Ь = г2, с = г3 получим:«г „ Г2], [ги г3]) = (г2, г3) — (Г„ r2) (rlf г3).(24)Но если обозначить стороны треугольника через а, (3, у, то(* 1. Г2) = cosy, (г2, r3) = cos а, (г3, rx) = cosp.Вектор [rx, г2]| по величине равный sinY, перпендикулярен к плоскостиОАВ, точно также вектор [гх, г3],по величине равный sin р, перпендикулярен к плоскости ОАС; угол междувекторами [г1? г2] и [rlf Г3] равенпоэтому углу между плоскостями ОАВи ОАС, т. е. равен двугранному углуА, а поэтому([Ги г2], [г„ г8]) = sin р sin y cos А.Подставляя все найденные выражения в формулу (24), найдемsin р sin y cos А =» cos а — cos р cos Yили, как эту формулу обычно пишут:cos а = cos р cos Tf—{—sin р sin y cos A.(25)Задача 58. Вычислить [[a, b], [c, d]].Этот вектор должен лежать как в плоскости векторов а и b (ибоон перпендикулярен к [а, Ь]), так и в плоскости векторов с и d; следовательно, он направлен по линии пересечения плоскости векторов а и bс плоскостью векторов с и d.ЧтоСы вычислить его, заменим в формуле[[а, Ь], с] = Ь(а, с) — а(Ь, с)вектор с на [с, d], тогда получим искомую формулу:[[а, Ь], [с, d]] = b(a, [с, d])— a(b, [£, d]).(26)Эта формула дает разложение произведения по векторам а и Ь; ноего можно разложить также и по векторам с и d:[[а, Ь], [с, d]] = — [[с, d], [a, b]] = — d(c, [a, b])-f c(d, [а, Ь]).
(27)Если мы сравним два найденных выражения для произведения четырех векторов, то получим следующую связь между четырьмя произвольными векторами а , Ь , С и d:a(d, [b, c]) + b(d, [с, a]) -f c(d, [a, b]) — d(a, [b, c]) = 0. (28)5*евВ ек торнаяалгебраЕсли а, Ь, с не компланарны, то можем решить это уравнение относительно d:d = a^-,-f ^ - К b(а, [b, с)) ‘(a, [b, с))“С ;d>(а, [Ь, с])(29)Эта формула дает в явной форме разложение вектора d по тремнекомпланарным векторам а, b и с.Особенно простой вид принимает формула (26), если положить d = а[[а, Ь], [а, с]] = а(а, [Ь, с]).(30)Что в этом случае произведение четырех векторов коллинеарно с а,ясно из того соображения, что плоскости векторов а и b и векторов аи с пересекаются очевидно по а.Задача 59. Вычислить ([Ь, с], [[с, а], [а, Ь]]).
Прежде всего вычисляем[[с, а], [а, Ь]] = [[а, Ь], [а, с]] = а(а, [Ь, с]).Поэтому([Ь, с], [[с, а], [а, Ь]]) = (а, [Ь, с])([Ь, с], а) = (а, [Ь, с])а. (31)Задача 60. Применить формулу (30) для вывода теоремы синусовсферической тригонометрии.Обращаемся к обозначениям и чертежу задачи 57. Полагая в ф ормуле (30) а = г j, b = Гг, с = г8) найдем[[ги г2], [ги г8]] = г1(г1, [Га, г3]).Мы уже выяснили, что величины векторов [r1} r2], [Tj, Г3] суть sin fи sin {3, а угол между ними равен Л, поэтому величина произведениячетырех векторов слева равна sin |3sin ? sin Л и мы получаем такимобразом интересную зависимостьsin р sin т sin Л = 1(14, [г2, г8])|,(32)выражающую объем параллелепипеда, построенного на трех единичныхвекторах, произведением синусов двух сторон сферического треугольникаи синуса угла между ними.Так как все равно какие стороны брать за р,мы можем написатьеще две формулы »sin y sin a sin 5 — |(гх, [г2, Г3])|,bin а sin р sin С = |(Г^ [Гй, Г„])|.Сравнивая эти три формулы, найдемsin р sin y sin Л = sin т sin a sin В — sin а sin 8 sin С,откуда и выведем теорему синусов делением на sin a sin р sin у.sin Лsin Вsin С69В ек торны е уравненияЗадача 61.
Выяснить, что векторно-скалярное произведение трехполярных векторов есть псевдоскаляр, а двойное векторное произведение трех полярных векторов тоже есть полярный вектор.Задача 62. Каким вектором р изображается перпендикуляр, опущенный из начала координат на прямую [г — г1( а] = О?_[а, [г., а]]Ответ: р — -ааЗадача 63. Найти линию пересечения двух плоскостей (г, а) = а и(г, b) = fi?О т вет : [г, [a, b]] = pa — ab.Задача 64.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
