1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Введем в рассмотрение длину вектора a[t) и его орт aj(/), такчтоа (0 — a(t) • а д(0,(13)тогда будем иметь:rfa(0=da.da.(14)Различим три случая.а) Пусть вектор a[t) меняется только по величине, не меняясь понаправлению; в этом случаеЭ] = constи, следовательно,dtа значитdadadt ~ dt 3l’^^таким образом производная имеет то же направление (или прямо противоположное), что и сам вектор.
Это ясно геометрически, ибо в рассматриваемом случае годографом служит прямая, проходящая через начало координат.б) Пусть вектор a (t) меняется только по направлению, не меняясьпо длине. В этом случае годографом служит кривая, лежащая на сферерадиуса а, и геометрически ясно, что производная вектора, будучи касательна к этой кривой, а следовательно и к сфере, будет перпендикулярна к самому вектору. Докажем это векторно.Имеема — const,следовательно,(a, a) — a2— const,(16)поэтому(£ ■ • )+ ('* )- ■ (* • $ )- « •а значит<17>— перпендикулярен к а, что и требовалось доказать.
В рас-84В ек торн ы й а нал изсматриваемом случаеda __ daxd t ~ a d t'(1 8 )dsiНайдем величину вектора j j . Отложим (черт. 40) значения ах(£)для двух соседних значений t и t-\-At и обозначим угол между нимичерез А?. Величина приращения Аах, представляющего основание равно*„л , Добедренного треугольника, равна 2 sin — , поэтому2 sinda.|Да,= lim A,dtо atД'о. Д?Jim -г- .it_>o Д*lim о и(19)Обозначая предел отношения угла поворота вектора к приращению аргументачерез ш= lim ■д7 , будем поэтому иметьД£-ЭОА*//аda.da= ш,— fld)dtdiИз черт.
40 видно также непосредственно, что(20 )перпендикулярно к alf ибо в силу равнобедренности треугольника ОАА', углы приего основании оба стремятся к прямому, когда At-*0.в) Пусть, наконец, a[t) меняется как по длине, так и по направлению. В этом случае формулаdada.da,(21)дает разложение производной вектора а на две составляющие, из которых первая направлена по вектору а и имеет значениеdaа вторая на-dа,=%а<в.правлена по перпендикуляру к а и имеет величину аdt5. Формула Тейлора, дающая разложение скалярной функции в рядпо возрастающим степеням приращения аргумента:А *о> + « • .+п1{FKt0)+*].(22)П е р е м е н н ы е в е к т о р ы , з а в и с я щ и е о т с к а л я р н о г о а р гу м е н т а85остается верной и для векторов:а(<) = а(У + 0 - < „ > '(« ++(<~ , 0,V«"<W + • •• +w + 4 .о® )Вывод формулы (23) совершенно аналогичен выводу формулы (22),почему мы на нем не останавливаемся.Можно доказать (23) еще иначе: написать ряды Тейлора для ajjk),аш(£)> умножить их на 1, j, к и сложить.Дадим теперь понятие об интеграле от вектора по скалярному аргументу.
Если^то a {f) называется н е о п р е д е л е н н ы м и н т е г р а л о м от b и обо*ЧНЯиЯАТГОa (0 = / b ( ^ - r const.(24)Определенный интегралt[ bdt= = a(t)- a(t0),(25)равный разности значений вектора а для границ интегрирования, можноеще рассматривать, как предел некоторой суммы векторовtiпf Ь dt Щ, Иш У Ь ( 0 V- /р,(26)/где — ряд значений аргумента/, вставленных между t0 и t — tn tu притом таким образом, что при стремлении п к бесконечности, все разности t(, j — ti стремятся к нулю.Доказательство формулы (26) совершенно такое же, как для скалярных функций, почему мы на нем не останавливаемся. Впрочем, можносразу доказать формулу (26), написав ее для bx, b , bt, умножив наi, j, к и сложив.6.Дадим теперь несколько приложений диференциального исчисления векторов.Пусть точка М с радиусом-вектором г описывает некоторую кривуюв пространстве (черт.
41). Будем определять положение на кривой всякой точки М длиной дуги s, отсчитываемой от некоторой определеннойточки А до точки М и считаемой положительной в одну сторону отточки А и отрицательной в другую. Таким образом г рассматриваетсянами как функция скалярного аргумента s. Выясним геометрическое знаdrd2r• .86В ек торны й анализ• <•Рассматриваемая кривая является, очевидно, годографом радиуса-вектора г, поэтому направлениеdxсовпадает с направлением касатель-ной к кривой в сторону возрастания дуги s.
Величина жеравнаdrДгединице, потому что — есть предел отношения — , величина жеДг1, равная отношению малой хорды к соответствующей дуге, приближается к единице при стремленииdvAs к нулю. Итак — есть единичныйвекюр, направленный по касательнойк кривой в точке М в сторону возрастающего аргумента s.Мы будем обозначать единичныйкасательный вектор через о:(27)Компонентами единичного вектора а, очевидно, являются косинуаыуглов, образуемых им с осями координат:dxcos (о, x ) = — ;= cos (o, y)djf' ds'/•\dzds■cos(o, 2) = ~ ,(28)DdTx d<3Вычислим= — ; так как 9 есть единичный вектор, то к немуполностью применимо рассуждение пункта 46,в котором йы должныположить t = s, al = o.
Поэтому |2 есть вектор, перпендикулярный к аАви по величине равный lim |р| где Д? означает угол между двумя соседДя->о Asними единичными касательными векторами а и <з-\-Аз, называемыйуглом смежности. Предел отношения угла смежности к элементу дуги Asназывается к р и в и з н о й к р и в о й в данной точке и обозначаетсяДа1lim —^ ==—дв->о AsЫК,(29)Для прямой линии, очевидно, кривизна равна нулю, так что кривизна есть некоторая мера отклонения кривой от прямой.
Дляокружности радиусаочевидно, As — RAy и кривизна постоянна пIравна.*\Величина /?, обратная кривизне кривой, называетсяк р и в и з н ы к р и в о й в рассматриваемой точке,радиусомП ерем ен н ы е в е к т о ры , з а в и с я щ и е о т ск а л я рн о го аргум ентаРазберемся в вопросе о направлении вектора ^87. Предельное положение плоскости, проходящей через касательную и параллельной соседней касательной, называется с о п р и к а с а ю щ е й с я п л о с к о с т ь ю .Так как вектор Аа, равный разности векторов а-}1-А? и а, лежит какраз в плоскости, проходящей через касательную и параллельной соседнейA®da iкасательной, то lim — = — будет лежать в соприкасающейся плоскости.л8-ю As dsd<3С другой стороны, мы видели, что вектор ^перпендикулярен к касательной в точке М. Прямые, проходящие через точку М и перпендикулярные к касательной в этой точке, называются н о р м а л я м и к к р и во й, а плоскость их содержащая, и очевидно, перпендикулярная к касательной, называется н о р м а л ь н о й п л о с к о с т ь ю к кривой в точкеМ.
Та нормаль к кривой, которая лежит в соприкасающейся плоскости,называется главной н о р м а л ь ю . Из сказанного выше следует, чтоd2r da1_e .вектор —— = — имеет величину -=г и направлен по главной нормали,ds2dsRочевидно, в сторону вогнутости кривой.Введем, аналогично единичному касательному вектору а, единичныйвектор п, направленный по главной нормали в ту же сторону, как иda~г, тогдаdsd?rds2dads,J1___//лсРтnR’R >~dсРтMds5» / '(30)Последняя формула, дающая R, получается скалярным умножениемобоих членов формулы (30) самих на себя.В компонентах мы будем иметь:0 d2xn d*yп d*zп‘ds*'ds2’ n%ds2 *d*z\* *n S )* + (3 )'+ ( ds*}(31)Та нормаль к кривой, которая перпендикулярна к соприкасающейсяплоскости, называется б и н о р м а л ь ю .
Введем третий единичный вектор Ь, направленный по бинормали в такую сторону, чтобы а, п и bобразовали систему того же рода, какая образована осями х, у, Z.ТогдаЬ = [<т, п],Найдем компоненты единичного бинормального вектора:(32)В ек торны й анализ88Изучение изменения направления единичного касательного векторапривело нас к понятию кривизны кривой. Рассмотрение изменения направления соприкасающейся плоскости или, что то же, бинормали при-daсоставимdsd\} \b, — | = o, такводит к понятию к р у ч е н и я кривой.Итак аналогично —(dbdsdb перпендикулярно к b;.
с другой стороны непосредственное вы—что —ds*числение дает:dbds' dad[a, n]dsn11 +4s*ftdn'__’ dsdaпно первая скобка пропадает, так как — = -=г и векторное произведеds/\ние двух коллинеарных векторов равно нулю, поэтому:dbdsоткуда следует, чтоdbdn'(34)перпендикулярно также и к с .Поэтомуdbколлинеарно с п, так что мы можем написатьdbdsnт(35)Величина Т называется радиусом кручения кривой в точке1тМ,кручением кривой. Так как Ь единичный вектор, то по пункту 46dbds1' дд_,lim -г1 , где Д^ есть угол между двумя соседнимиTд8-»о Asбинормалями. Если кривая плоская, то бинормаль не меняет своего направления, так что для плоской кривой кручение равно нулю; значит,хручение является мерой отклонения кривой от плоской кривой.Выведем, наконец, в дополнение к формулам (30) и (35), характеризующим изменение 7 и Ь, еще аналогичную формулу для п, для чеговычислимd n __d[b, g]ds ’dsdbds’b,_bdadsT>+aTпри преобразовании пришлось воспользоваться формуламиn = [b, or], [n, a] = — b, [b, n] = —a,(3 6 )П ерем е н н ы е в е к т о р ы , за в и с я щ и е о т с к а л я рн о го аргум ента89вытекающими из того, что а, п и b представляют систему трех единичных, взаимно перпендикулярных векторов, идущих в том же порядке,как оси х, у , г.Соберем вместе формулы (30), (35) и (36):d z __ пdsRd n _____ 9 I ЬT s~т_n^dbT*ds(37)Эти формулы называются формулами.
Френе..Выясним еще вопрос о вычислении Т и его знаке. Сравнивая формулы (34) и (35), иайдемп _ Г dn[ ds'Тумножим скалярно на п и переставим в получившемся векторно-скалярном произведении порядок произведений:Г dn 1 \ /Г rfnl\. ds' 9_ ) ~ (* ' П> ds )'/ТdvсРтмНо аг= — , далее по формуле (30) n = R-^-;i, следовательноd n __„ сРх .
dR еРгds ~ds3ds ds2*dn'П> ~ds‘ п <Рг » Л , Л Л | - Я 1 Г Л£Рг]_ ds2 ’ds* J’ds*'ds ds* J — K [ d&’вначит получаем окончательную формулу:Т-Idr \d*v d?x'\* 1 rfs U s 2’ ds3m(dr [rf2r d?r]\ds*])(d*r d?r\\ds2’ ds2(38)Эта формула показывает, что Т является псевдоскаляром, т. е. меняет свой знак при переходе от левой системы к правой. Это получаетсяпотому, что в выражение для Т входит векторное произведение двухполярных векторов, т.
е. аксиальный вектор, который по скалярномумножении на полярный вектор дает псевдоскаляр.Ниже в задаче 74 будет показано, что левый винт имеет в левойсистеме положительное кручение, а правый отрицательное. Это оправдывает выбор знака в формуле (35).90В ек торны й а нализ7.Рассмотрим теперь движение материальной точки, заданное указанием ее радиуса-векгора для всякого момента времени t\г = г(0-(3 9 )Годограф радиуса-вектора г представляет, очевидно, траекториюточки.Мы уже определили выше скорость v и ускорение w точки:v = г, w = г — v.(40)Мы можем определять движение точки, задавая пройденную точкойдугу s в функции времени t.Тогда г будет сложной функцией t через посредство S, поэтому*v = r — -dT^ s ' = sa= va./л1 \(41)Таким образом вектор скорости направлен по касательной к траектории, а величина скорости= i(42)равна производной пути по времени.Точно так же вычисляем w:d(vor)w—v= -CLt, •*,.drs ••,n.
г/а— v3-\-v<3 = vs -J- v — s = vo-j- v - ^v — ve — -pj-n.CISt\i\Полученная формулаw = V9~n n(43)представляет разложение ускорения на два слагаемых: касательное ускорение, направленное по касательной к траектории и численно равное vи нормальное ускорение, величинынаправленноепо главной нор*мали.
Поэтому величина полного ускорения есть(44)Если г(t) задано своими координатами x(t), y(t), z(t), то мы будемиметь;r = x\-\-yi-\-z\L,|v = г = ici|w =c=r ^ xi 4-vJ 4 - ik, I(45)П ерем е н н ы е ве к т о ры , за в и с я щ и е о т ск а л я рн о го аргум ента918.В § 6 мы рассмотрели вращение твердого тела около оси и показали, что скорость любой точки твердого тела может быть представлена формулойV = [(0, г],(46)где «о — вектор углосой скорости.Докажем теперь, что если тело имеет неподвижную точку, около которой оно,вращается, то в каждыяданный момент скорость любой точкитела может быть вычислена по формуле (46).Свяжем с твердым телом некоторую прямоугольную систему координат Oxyz, имеющую начало ё неподвижной точке. Тогда радиус-векторточки с координатами х, у, z будетг = xi -[-j/j -f-zk.(47)Задать движение твердого тела значит задать движение координат*ного триэдра Oxyz.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
