1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Поэтому мы можем датьдругое определение градиента:Г радиентом © назывлется вектор, имеющий направлениебыстрейшего увеличения © и по величине равный производной поэтом у направлению. Из других обозначений градиента о укажем, какнаиболее употребляемое, V ©, где знак V читается „набла*.При этом обозначении мы будем иметь_.V ©— iд<р . . до . , <?©— f- j —j— j~ k ~л—dxИз этой формулы видно, чтоdydzможно рассматризать,(9)как дифе-ренциальный оператор_.
дV =д« T + k dЩ(10)который, будучи применен к скаляру ©, дает grad ©. Этот оператор, который можно рассматривать также как символический вектор, будет намив дальнейшем рассмотрен более подробно. Его называют иногда опера-тором Гамильтона.Проведем через точку М поверхность уровня функции © и докажем,что вектор градиента © направлен по нормали к этой поверхности уровняв точке М. В самом деле, так как на поверхности уровня © = const, топроизводная по всякому направлению s, лежащему в касательной плоскости к поверхности уровня в точке М, равнаNнулю, следовательно, для всякого такого напра,S вления по ( 8 )/^Ккcos (grad ©, s) = 0 ,что может быть только, если grad © перпендикулярен к поверхности уровня в точке М .Далее очевидно, что grad © направлен в т усторону нормали, куда © возрастает.Ц|>-5 *Связь между градиентом функции © и производной от ср по различным направлениямЧерт.
45.имеет очень простое геометрическое истолкование.Проведем через точку М (черт. 45) поверхность уровня © = const,к этой поверхности уровня восставим в точке М нормаль МАГ и отложим по этой нормали вектор М Ar= grad©. Построим далее на М N,как на диаметре, сферу й рассмотрим какой-нибудь луч 'Ms, проходящий через точку М и имеющий направление S.
Пусть этот луч пересечет сферу в точке К- Так как угол при К в Д МЫ К есть прямой(по известному свойству окружности), то М К является проекцией M NГрадиент.Е го с в ой с т ва .Л инейны йинтеграл.П отенциал111на направление Ms, но проекция grad© на какое-либо направление естьпроизводная <р по этому направлению, следовательно мы получаем, чтоМ К = -рos->Если бы луч Ms' не пересекал сферу, то, продолжив его в другуюсторону, мы нашли бы точку К' и получили бы, чтоos'=—м к.Отметим еще, что если единичный вектор нормали к поверхностиуровня обозначить через п, а производную от функции © по направле*нию этой нормали черезд'о£т0 очевидно будетдъgrad ©Щ -з— п.Б1дпИз формулы= (s, grad ©)вытекает, если через dr = Sds обозначить бесконечно малый векторидущий из точки М в направлении s, следующее соотношение:dy — —— ds = (sds, grad ©) = (dr, grad cp).Иначе это соотношение можно получить следующим образом.
Напишем выражение полного диференциала функции ©. д<о . . до~ h p iy +д©-но с другой стороны мы имеем.. < ? © . . < ? © . , д?grad? = ' ^ - | - j ^ + k ^ ,dr — i dx -f- j dy -j- kdz\составляя по известному правилу скалярное произведение этих двух векторов, мы легко получимd’* — (dr, grad©).( 11 )Это соотношение характерно для grad <р.
Если мы найдем такой вектор а, что для произвольного dr будетd?= *(dr, а),( 12 )112В екторны йанализто можем утверждать, что а = grad у, ибо dy — {dv, а) = {dv, grad 9 ) приводит к соотношению (dt, а — grad<p) = 0 , откуда видно, что а — grad<pперпендикулярно к любому направлению, что может быть только, еслиа = grad 9 .2. Разберем несколько примеров вычисления градиента.Самым важным случаем является тот, когда у зависит только от расстояния точки до некоторой определенной точки, которую мы выберемза начало координат.Итак, пустьу = у(г).(13)Поверхностями уровня служат концентрические сферы с центром вначале координат.
Нормаль к поверхности уровня совпадает с радиусомвектором, поэтому по величине grad<p равенdy^|у' (г) |, а направленgrad у в ту сторону, куда у возрастает, т. е. при положительном у'(г)Гортом grad у служит — , а при отрицательном у (г) ортом grad у яв-ггляется---- .гТаким образом всегда будетgrad ?(/■) = <?'(*•) у .(14)Этот же результат можно вывести и непосредственным вычислением;рассматриваем у, как сложную функцию х, у, г, заданную через посредство г:д у __ dy дгдхdr дх *но»>r = V л;2 -4- V2 4- 22— — --- — 2дс| дх2V И В Ш.——Кгпоэтомудудхх dyду~r dr ' дуу dyд у __ z dyг dr ’ дгг dr ’и значит, ду , . ду , , дулг! -4- vj -f- ^rk dydy rgrad у — i-f j — 1k -£■= --- !1 ~r~ —— .Tdxdy 'dzrdrdr rНаконец, мы можем вычислить grad у (г) и третьим способом, опираясьна формулу (12). Для этого составляемdy(r) — y'(r)dr.Но с другой стороны заметим, чгс, так как(г, 0 = /-21Градиент.Е госвойства.Л инейны йи н т е гр а л .113П отенциалтоd (r, Г) = 2(r, dr) = 2rdr,следовательно,d r = ~ ( r , dr),и поэтомуd ? (r)= = (^ p - r,Отсюда, в силу сказанного о формуле (12), сразу можем написатьgrad <р (г) =<р'(г)--7 г.?(г) = г,г",., чПринимая, напримерлегко докажем, чтоgrad г =(15)grad-l= —-L(16)grad гп — пг"~2г.(17)Прежде чем переходить к другим примерам,в теории градиента формулыgrad (<эф) = grad <р-J- grad «|>докажемосновные(18)grad (©«}>) = © grad <ji-j-<|)grad<p(19)grad F(<p) — F ' (<p) grad ©.(20)Эти формулы являются почти очевидными, ибо, проектируя, напри*мер, обе части равенства (18) на какое-либо направление s, мы получаем^(«p-f-IO _д<? , dtyds ' ds *dsчто, очевидно, представляет собой тождество — производная суммы равнасумме производных.Однако, несмотря на свой простой характер, формула (18) являетсяочень важной, потому что на ней основано сложение векторных полей.Если мы имеем два вектора а и Ь, являющихся градиентами двухфункцийа == grad ср,Ь =» grad ф,то векторс«а-|>ЬН.
В. К о н н , - Векторное исчисление8В ек то рны й114анализбудет градиентом функцииПусть теперь мы имеем поверхности уровня функции <р, построенныедля равноотстоящих значений ©:¥ = •••>? в — З а , <р0 — 2 а » ? о — « * ? о ,? о +а » <Ро +2 а > <Ро +3а-*.и поверхности уровня функциипостроенные для равноотстоящих значений ф, с той же разностью а между двумя смежными значениями< !» = ..., ^о — 3«, 4*0— 2а» % — а> Фо» Ф о + а» ^ о + З а , % + З а. . .Тогда на поверхности уровня<Р +'1' =? о + '! 'обудут лежать линии пересечения поверхностей? =¥ои'V =¥ =<Ро +аи^<Р =?о— аиФ=Фо— а'!'о +а*точно также поверхности уровня<р-И = ¥о + ’1'о + абудут принадлежать линии пересечения поверхностейtP =tP o + ®? = <РоииФ — ^04*= Фо -Ь а»отсюда вытекает приближенный способ построения поверхностей уровняфункции X, который мы поясним черт. 46,На этом чертеже нанесены линии уровня двух семейств*7 = const, ф = const.Г рад иент.Е го с в о й с т в а .Л инейны йи н теграл.П отенциал115Линии уровняX зав constполучаются, если провести диагональные кривые для получившейся сериикриволинейных четырехугольников: легко сообразить, что диагональныекривые другой системы (пунктирные) являются линиями уровня функции <р— ф.В качестве примера возьмем в плоскости два фокуса А и В\ расстояние переменной точки Р до фокуса А обозначим через г,, а расстояние той же точки до фокуса В обозначим через г2.
Если теперьвзять (р = Г1, то линиями уровня функции <р будут служить концентрические окружности с центром в точке А; точио также для ^ = г2 линиями уровня будут концентрические окружности с центром в точке В.Если теперь, по предыдущему правилу, построить линии уровня функции х = <р-f-ф — Т\-j-/j, то мы, очевидно, получим эллипсы с фокусамиА н В\ъ качестве же линий уровня функции— ф—по‘лучатся, очевидно, гиперболы с теми же фокусами.В качестве второго примера рассмотрим векторное поле а = grad <?гдепричем г, и г2 опять расстояния переменной точки Р до двух фокусов А и В.
В электростатике такое поле получается в том случае, еслив точках Л и В находятся отрицательные электрические заряды одинаковой величины. Чтобы построить графически поле потенциала <р, мыстроим в плоскости чертежа, которой принадлежат точки А и В,семейство окружностей с центрами в точках А и В и с радиусами R,RRRп лвАВ,~2~’ "3~’ Т ' ' * ' " ’ (так как поле симметРично относительно прямойдостаточно рассмотреть поле тольков этой плоскости).
Проводя опятьдиагональные кривые, мы получимлинии уровня <э= const.В каждой точке grad 9 направленпо нормали к линии уровня. Припостроении нужно брать R большим,например, равным R = \0АВ, чтобысетка кривых получилась достаточно_густая.UН о представляет большой интересЧерт. 47.отыскать векторные линии вектораа = grad <р. В только что рассмотренном случае это будут силовые линии, происходящие от двух одинаковых зарядов, находящихся в точкахА и В. Укажем способ построения этих силовых линий, который можетбыть применен и к целому ряду других случаев.Для этого нам предварительно надо найти градиент еще одной функции, а именно, рассматривая в плоскости полярные координаты 0 и гточки М, мы можем рассматривать 6 как функцию точки М .
Линиями8*116В ек торны й анал изуровня этой функции 6 являются, очевидно, полупрямые, выходящиеиз полюса О полярной системы.Поэтому grad b направлен по перпендикуляру к ОМ. Чтобы найтиего величину, достаточно заметить, что бесконечно малому приращениюугла dft соответствует расстояние между двумя бесконечно близкимилиниями уровня, равное dn — rdb, поэтому мы имеем:| ^»1 = ж = т -'Итак, вектор grad0 направлен по перпендикуляру к ОМ (конечнов сторону возрастания6)и по численной величине равен — .Сравнимгего с вектором g r a d r = — ; последний направлен по ОМ и по численной величине равен 1.
Отсюда мы можем вывести заключение, что еслимы повернем вектор grad г на 90° в направлении возрастающих углов 6 ,то мы получим вектор rgradO.Применим этот результат к нашей задаче. Мы имеема = grad ср -----г grad г . --- grad г2.г1г2Повернем теперь в каждой точке этот вектор на 90° против часовой стрелки. Вводя углы 0Х и 02 (черт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
