1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

В частности, и н т е г р а л п о з а м к н у т о й к р и в о йб у д е т р а в е н н у л ю , ибо конечная и начальная точки пути здесьсовпадают. Последнее свойство характерно для потенциального вектора,ибо справедлива и обратная теорема:Если линейный интеграл вектора а вдоль всякой замкнутойкривой равен нулю, вектор а есть градиент некоторого ска­ляра <р.Сначала докажем, что линейный интеграл вектора а, взятый по некоторому пути от неподвижной точки М0(го) до какой-нибудь точки М (г),не зависит от выбора пути. В самом деле, пусть L и V — два пути,соединяющие М 0 с М. Образуем замкнутый контур, состоящий из кри­вой L и кривой L', пробегаемой от точки М к точке Л/0; в силу усло­вия имеемко очевидно, чтоибо при перемене направления на кривойсвой знак.

ПоэтомуL',все элементыdrменяютгг(22)Р аз интеграл не зависит от кривой, его значение есть функция г(ведь г0 мы считаем постоянным), обозначим ее через <р(г):ГJ (a, dr) = © (г).г»(2 3 )•Г радиент.Е го свой ства .Л и н ей н ы й и н теграл.П отенциал123Возьмем соседнюю с М точку Л Г (г -]-Дг) и пусть As длина ММ',a S — единичный вектор, идущий в направлении ММ'. Рассмотрим путьMqMM', проходящий через точку М. Тогда мы будем иметь( (a, dr) — J* (а, dr) ^<р(ЛГ)— ? ( М ) =МоМИ’M o llJ(a, dr).MU’Но если путь ММ' взять прямолинейным, переменную точку этого путиобозначить через Р, а расстояние этой точки до точки М обозначитьчерез и, то мы будем иметь на ММ'dr = sdu,(a, dr) = a, (Р) duи, следовательно,J (a, dr) =/д*at {P)du\иMM’по теореме о среднем это выражение будет равноJ|гдеPr—(a,dr) = a,(P') As,MU’некоторая точка отрезка'лтММ'.^ тИтак.„ .( р о ;переходя к пределу при As -> 0 , получимдо(вектор а, как всегда, предполагаем непрерывной функцией точки).Полученное условие, по самому определению grad <р, выражает, чтоа == grad <р,что и требовалось доказать.Более просто то же самое можно получить, беря элементарное при­ращение обеих частей равенства (23) на бесконечно малом перемеще­нии dr:(a, dr) = d®,а отсюда, согласно ( 1 2 ) следует, чтоа — grad <р.4,Примером потенциального вектора является к о н с е р в а т и в н а яс ила , которая характеризуется тем, что работа, совершаемая ею припереходе материальной частицы, на которую она действует, из одногоВ ек торны й124анализположения в другое, зависит только от начальной и конечной точкипути перехода.

Поэтому консервативная сила F является градиентом не­которой функции U: F = grad (J\ U называется с и л о в о й ф у н к ц и е й ,— U — п о т е н ц и а л ь н о й э н е р г и е й или п о т е н ц и а л о м . Совер­шенная на некотором пути, соединяющем точки М0(г0) и Мх(г,), работаА определяется формулойА = f ( T , dt) = i/ ( r j - U (Го),(2 4 )т. е. работа, совершенная консервативной силой, равна увеличению сило­вой функции или, что то же, уменьшению потенциала.

В частности ра­бота консервативной силы на замкнутом пути всегда равна нулю.Пусть материальная точка движется под действием консервативнойсилы.И з закона живых сил [формула (59) § 9]:./гаг»2, .rf- s - = ( F ,d r ) ,в этом случае найдемследовательно,mv3—Таким образом.jU = const.сумма кинетической энергии■ипотенциальнойэнергии — U во все время движения сохраняет свое значение.Задача 101. Показать, что если сила F — центральная, т. е. на­правлена к неподвижной точке О и зависит только от расстоянии гдо этой точки, то она имеет потенциал.П о условию F = ^p- x\ составим работу этой силы вдоль кривой L,соединяющей точки A f 0 (r0) и Ж (г)./(* * ,4м,но, как уже упоминалось ранее,(г, dr) — rdrtпоэтому для работы силы F получаем выражениеиА?(г)йг — Ф(г) — Ф(г0),м„если Ф ' (г) = © (г); так как это выражение не зависит от пути интегри­рования, а только от конечных точек пути интегрирования, то. сила FГ радиент.Е го с в о й с т в а .Л инейны йи нтеграл .П отенциал125имеет потенциал, и притом равный — Ф (г).

Например,если взять цент­ральную силу F, обратно пропорциональную квадрату расстояния доточки О, то будем иметьследовательно, здесьЗадача 102. Показать, что если сила F в каждой точке направленапо перпендикуляру к некоторой прямой (например оси z ) и зависиттолько от расстояния р до этой прямой, то она имеет потенциал; найтипоследний.Полезным применением полученных результатов является также оты­скание функции <р по ее полному диференциалу.

Допустим, что мызнаем, что выражениеd<?= ax{x, у, z) dx -f ау (х, у, z)dy + at (х, у, z)dzявляется полным диференциалом. Тогда для отыскания функции 9 мыможем воспользоваться тем, что путь интегрирования можно брать попроизволу. Чаще всего удобным оказывается такой путь интегрирования:сначала идем из точки M0(x0> у0, z0) параллельно оси х, до точки(х, у0, z0), на этом пути dy = dz = 0 и поэтомузатем идем из точкиМ2(х, у , z0), на этом путинаконецизМ (х, у, г);(х, у0, z0)dx — dz =0параллельно оси, и поэтомуточки М3(х, у, z0) идем параллельнона этом пути dx = d y = 0 , и поэтомумжосиудоzдо точкиточки126В ек торны й анализВ результате, идя по путивыражению для функции <р:У,? (* »+J*) — ? (* о ,мы приходим к следующемуЮУь Zo) + f ош(х, Уо, z0) dx - f®оV•а„{х, у, z0) dy +J at(x, у, z) dz.Vo(25)*oВ качестве примера найдем ® по полному диференциалуdo =полагая( 2 ху + z2) dx -}- (2yz -J- л:2) dy -f- ( 2 zx -\-y*)dz,x0—y0= z0— 0,9 (*> У, z) —сразу найдемJЧx*dy-\-J(2Z zx -{-у2) d z-\-С= х?у -j-z?x -\-y2z -f-С.оо5.Теорема о том, что линейный интеграл градиента 9 по замкнутоконтуру равен нулю, была нами выведена в предположении, что скаляр озадан однозначным образом.

Если <р будет многозначной функцией, этатеорема перестает быть верной. Разъясним на примере, в чем тут дело.Зададим 9 следующим образом: во всякой полуплоскости, проходящейчерез ось z, наш скаляр имеет постоянное значение, равное углу, со*ставленному рассматриваемой полуплоскостью с полуплоскостью xOz.Определяя <р, как функцию х, у, Z, получим:9поэтому<*рдх= arc tg,Уд<? ^хд?х2-\-у2 * ду х*-\-у* * dzЗаставим точку обойти ось z, двигаясь все время в положительномнаправлении, и вернуться в исходное положение; угол 9 будет непре­рывно увеличиваться и при полном обходе увеличится на 2 л; таким об ­разом, линейный интеграл вектора grad 9 по всякой замкнутой кривой,обходящей ось z один раз в положительном направлении, равен 2 тс, ане нулю.

Причина этого заключается в многозначности функции ср, при­чем ось z является особенной линией для функции 9 , так как при прибли­жении точки к оси z значение функции 9 остается неопределенным. Чтобысделать поле функции 9 непрерывным, мы должны выделить ось z, окру­жив ее цилиндром малого радиуса. Н о получающееся таким образомпространство уже не будет о д н о с в я з н ы м ; оно будет д в у с в я з н д г м .ОДносвязным называется такое пространство, в котором любая зам­кнутая линия может быть стянута в точку непрерывным образом, не задеваяграниц области. В нашем случае этого сделать нельзя, ибо контур,окружающий ось г, таким образом стянуть в точку нельзя.

Чтобы пре­Г ра д и ен т.Е го с в о й с т в а .Л инейны йинтеграл.П отенциал127вратить наше пространство в односвязное, мы можем воспользоватьсяследующим приемом: проведем полуплоскость zOx и будем считать обеее стороны также границами области. Этим контуры, окружающие ось z,запрещаются, все же остальные контуры могут быть стянуты в точку.Поэтому область делается односвязной; так как нам понадобилось при­соединить одну границу, то первоначальное пространство называетсядвусвязным.

Если бы нам надо было провести две границы, чтобы сде­лать область односвязной., то мы назвали бы область трехсвязной и т. д.Укажем еще ряд односвязных и многосвязных пространств: простран­ство внутри или вне сферы очевидно односвязно; пространство междудвумя концентрическими сферами тоже односвязно; напротив внутренностькольца дает очевидно двусвязное пространство, ибо после того, как мыпроведем меридиональное сечение, оно делается односвязным.Если в доске сделать два отверстия, то получится трехсвязное про­странство, ибо надо сделать два сечения, чтобы сделать его односвяз­ным и т. д. Итак, на примере мы убедились в том, что в случае много­связного пространства потенциал может быть многозначным, и потомулинейный интеграл вектора градиента может зависеть от пути интегри­рования, в частности интеграл по замкнутому контуру может не рав­няться нулю.Многозначность потенциала сказывается на графическом представле­нии поля градиента векторными линиями.

Если потенциал однозначен,векторные линии его градиента не могут быть замкнутыми, потому чтолинейный интеграл вдоль такой линииj (a, dr) состоялбы из элементовLодного знака (ведь на таком контуре а имеет то же направление, что drили как раз противоположное) и не мог бы равняться нулю. В случаеже многозначного потенциала такие замкнутые векторные линии стано­вятся возможными. Покажем это на только что рассмотренном примере.Составим уравнение векторных линий gradd x __ d y __ dzdyдш ’дхдуdzdoт.

е. в нашем случаеd x __ dy __ dz-ухОилиdz — 0, xdx -f-ydy = О,откудаz*Таким образом,const,лс2 -j-у* — constвекторными линиями grad arctg —Xявляются круги,лежащие в плоскостях, параллельных плоскости хОу и имеющие свойцентр на оси z; таким образом, как и следовало ожидать, все замкну­тые линии окружают ось г.128В ек торны й анализ6.Понятие потенциального вектора находит себе многочисленнейшиприменения в самых разнообразных отделах физики.Так например, рассматривая явление теплопроводности, рассматриваютполе температуры Т.

Если в теле, движение тепла в котором изучается,провести малую площадку dS, направление нормали к которой есть п,то принимают, что через эту площадку проходит каждую единицу вре-^ j*мени количество теплоты, равное k - ^- d S , где k — коэффициент тепло­проводности, который в различных точках тела может иметь разноезначение, т. е. является функцией точки, но не зависит (в случае изо­тропного тела) от ориентации площадки dS. Отсюда видно, что потоктепла внутри тела характеризуется вектором grad Т.Точно также в гидромеханике большую роль играют так называемыепотенциальные течения, в которых вектор скорости является векторомпотенциальнымv = grad9(26)Функция ср называется при этом часто п о т е н ц и а л о м с к о р о с т и .Наконец, в электростатике напряжение электрического поля, т.

е. сила,действующая на единичный заряд положительного электричества, тожеявляется, как установлено из опытных данных, вектором потенциальнымЕ = — grad 9 ,(27где 9 называется п о т е н ц и а л о м э л е к т р о с т а т и ч е с к о г о п о л я .Если в рассматриваемой точке находится заряд ev то действующая на негосила F будет пропорциональна этому заряду, как найдено из опытныхданных:F=Е.(28)В простейшем случае поля, происходящего от находящегося в началекоординат заряда е положительного электричества, по закону Кулона мыбудем иметьЕ= ^ г ,(29)откуда следует, чтоЗаметим, что во всех применениях векторного анализа к теории электри­чества и магнетизма, которые мы будем делать, мы будем предполагать,что электрические и магнитные явления происходят в пустом простран*стве, т.

Характеристики

Список файлов книги