1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. равна как раз той частипостроенным на dS. Повторяятаким цилиндрам и производядокажем формулу ( 8 ).4) Докажем, наконец, чтообъема V, которая вырезается цилиндром,это рассуждение по отношению ко всемсуммирование по всем элементам d£,, мыдля замкнутой поверхностиj) х cos (n, z) dS — 0;(j) у cos (n, z) dS — 0sвSинтегралы(9)обращаются в нуль.Точно такое же рассуждение, как только что проделанное, приводитк выводу, что сумма элементов х cos (n, Z) dS первого поверхностного интеграла, соответствующих элементам поверхности, вырезаемымцилиндром, построенным на основании d%, равна(х — x-j-x — а : ) ^ 2 =0,а значит и весь поверхностный интеграл равен нулю.4.
Рассматривая поле какого-либо вектора а, очень часто для большей наглядности представления удобно говорить об этом поле, како поле скоростей некоторой фиктивной жидкости. С этой точки зрениялегко уяснить себе смысл названия поверхностного интеграла потокомвектора а; в самом деле, пусть через некоторую площадку, представляемую вектором dS, фиктивная жидкость, полем скоростей которой служитнаше поле, вытекает, так что а направлено во вне; за малый промежутоквремени At через площадку dS, очевидно, вытечет объем жидкости в видецилиндра, основание которого представляется вектором dS, а ребравекторами аД/; величина этого объема есть как раз (аДt, dS) = anbtdS,ибо это скалярное произведение равно величине вектора dS, т.
е. площади основания dS цилиндра, помноженной на anbt, т. е. на проекциюребра аД t на нормаль к этой ' площади, каковая проекция является высотой цилиндра. Отнесенный к единице времени поток через элемент dSбудет (a, </S), а через всю поверхность J(a,dS).ЕслиS есть замкну-втая поверхность, ограничивающая некоторый объем, то вытекающаяжидкостьдает положительную часть потока,втекающая — отрицательную. Иначе говоря, если мы проведем линии вектора а, тоэлементарные площадки поверхности, где эти линии входят в объем,дают отрицательные элементы интеграла, а где выходят — положительные.Таким образом, поток вектора а указывает количество жидкости, вытекающее из данного объема в единицу времени (если в данный объемжидкость втекает, будет получаться отрицательный поток).5.
Возьмем теперь какую-либо точку поля Р, окружим ее малымобъемом V и вычислим поток вектора а через поверхность S ограничивающую объем V; разделим его на V, чтобы отнести к единице объема, и перейдем к пределу, устремляя к нулю все размеры V, что мы будем обозначатьсимволом V-* 0, стягивая при этом ебъем V к точке Р . В результатаП О ТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ141ПОВЕРХНОСТЬполучится некоторое число, зависящее от поведения а вблизи точки Ри характеризующее степень истечения из области точки Р.
Это числоназывается р а с х о ж д е н и е м в е к т о р а а в точке Р и обозначается,чаще всего, символом d iv aобразом(от слова divergere — расходиться). Такимd iv a = lim7—»оI a„dSv( 10)расхождение вектора а есть отнесенный к единице объемапоток вектора а через поверхность бесконечно малого объема,окружающего рассматриваемую точку. <т. е.Это определение нужно оправдать в том смысле, что нужно показать,что тот предел, которым определяется расхождение вектора а, действительно существует и не зависит от вида объема, который стягиваетсяк точке Р. Мы покажем это, установив аналитическое выражение divaчерез составляющие вектора а. При этом мы будем предполагать, чточастные производные по х , у, г от составляющих вектора ахЛа , а%существуют и непрерывны, и что поверхность S стягивается к точке Р равномерно в том смысле, что наибольшее и наименьшее расстояния точекповерхности S до точки Р являются бесконечно малыми величинамиодного порядка, который мы примем за первый, что величина всейповерхности 5 есть бесконечно малая величина второго порядка, а величина объема V, ограниченного поверхностью S — бесконечно малая величина третьего порядка.Переходя к вычислению div а в тачке Р, примем последнюю на времяза начало системы координат О; нам надо вычислить(j> andS =cj) [ах cos (n, x) -(- aycos (n, у) Щ a, cos (п ^г)] dS.Вычислим (j) a ,(x, y, z)cos (n,z) dS.Таккак поверхностьSстя-8гивается к началу координат, то на этой поверхности дг, у, z — бесконечно малые величины.
П о формуле Тейлора, ограничиваясь первымичленами разложения, мы имеем« ,(* . У, 4 = я* (°> °» 0 ) - f*+2^ ) , Л ,,] М и Н а+ ', ]+№№где индекс О указывает, что нужно брать значения производных в начале координат и е,, е2, е3 означают бесконечно малые величины.Умножая обе части предыдущего равенства на cos(n, z)dS и интегрируя по замкнутой поверхности S, получим, вынося еще постоянныеВ ек торны й анализ142множители за знак интегралов,(j) at (х, y,z) cos (n, z) dS = (a,)0<£ cos (n, z) d S +ав+ (4jr)o ф xcos "z) dS+ [~5y)0£ yC0S^ Z)dS3-j-^s* cos"b(x , i + Я а + ZsJ cos (п» *) ^ *но мы имели, что<j) cos (n, z) dS = (j) x cos (n, z) dS = <j) у cos (n, z) dS = 0,вав(£ г cos (n, z) dS = V,sнаконец,,$ (**i 4" .У** “b zs>)cos (n*z) dS =■• V,8где e — бесконечно малая величина, ибо х, у, z — бесконечно малыепервого порядка, полная поверхность 5 — бесконечно малая второгопорядка и V — бесконечно малая третьего порядка.Итак| а .(* , у, z) cos (nTz) dS =V+*V\Й8точно также найдем(j) a, (x, у, z) cos ( iO 0 dS =V-j-e'V;8§ ay(x, y, z) cos ( i O ) dS =VJrV>где • ' и з" — бесконечно малые величины.
Следовательно/«-'[(£+£+£).+-+'+4ОДеля это равенство на К и переходя к пределу при V -+0 , сразуувидим, что в точке Рда£да„да.П ОТОК143ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬЭта имеющая основное значение формула доказывает существованиепредела ( 1 0 ), независимого от вида объема V, и дает величину этого предела (от наложенных на объем V ограничений мы можем, как показанониже, освободиться).Так как основное определение d iv a совершенно не зависит от вы*бора системы координат, то выражение ( 1 1 ) для d iv a и н в а р и а н т н опо отношению ко всем переходам от одной прямолинейной прямоугольной координатной системы к другой, в чем можно убедиться, впрочем,и непосредственным вычислением.6.Важнейшая теорема, связанная с понятием расхождения вектора,есть теорема Гаусса о преобразованииповерхностного интегралав объемный:Поток вектора через замкнутую поверхность равен объе >ному интегралу от расхождения вектора:(j) andS-fdlv a dV.v(12)Чтобы показать справедливость этой формулы, мы поступим, как частоэто делается в математике, следующим образом: мы докажем, что ф о р мула (12) верна сколь угодно приближенно.
В самом деле, выбереммалое число в; разобьем V на столь малые элементы Vk, в сумме со ставляющие V, что для каждого из них имеет место неравенство(j]andSdiv a. < eiVtгде 5* поверхность Vn и значение div a берется в некоторой точке Vh.Сложим все эти неравенства, умножив их предварительно на Vk, тогдаполучим:§ a .
d S dlv.aV , < г £ V, = « V,Sккi 6 o те части поверхностных интегралов, которые относятся к элементамповерхностей Sk, не входящим в S, попарно сократятся (всякий такойэлемент должен являться границей двух смежных Vk, причем, как граница одного или другого из этих объемов, он имеет внешние нормали п'и п 7=■ —п7 прямо противоположного направления, а потомус,ая..
= — а я>; (an<dS - f an»dS =Увеличиваяkдо бесконечности, a(j) andS — J0Vk уменьшаяd iv adV <*V).до нуля, получим:В ек торны й144АНАЛИЗи так как е мы можем выбирать сколь угодно малым, то непременно^ a nc/5 = J d iv a dV.вvВ аналитической форме теорема Гаусса имеет вид(р [ах cos (п, х) -{- ау cos ( n , ^ ) -J- at cos (n, z )] dS —да.даида. \Л-ш ш ш тшаВ виду фундаментального значения формулы Гаусса, мы дадим ещенепосредственный вывод этой формулы.—Пусть имеем замкнутую поверхность S, которая прямыми, параллельными координатным осям, пересекается в конечном числе точек, и пусть,' .<?ср д’л доу (х, у, z) функция, имеющая непрерывные производныеТогда имеют место формулы<рcos (n, х) d S ,ГIУ8'д<?J j dV== ® ? c o s ( n , y )d S ,8#j “Й dV==Ф ?C°SV( 14)dS’8Докажем последнюю из них. Метод доказательства будет тот же,которым мы пользовались при вычислении интегралов в п.
3. Еслимы спроектируем объем V (черт. 51) на плоскость О х у ,т о в проекцииполучим некоторую площадь 2 . Возьмем элементэтой площадис ребрами, параллельными осям х и у, и построим на этом элементе цилиндрс образующими, параллельными оси z. Этот цилиндр вырежет из нашегообъема V некоторую часть; пусть, например, это будет, как изображенона черт. 51, часть объема V, заключенная между элементами поверхности S, находящимися в точках М х и Ж 2, и часть объема V,заключенная между, элементами поверхности S, находящимися в точкахМ 3 и МуГа часть объемною интеграла145П ОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬкоторая происходит от части объема, вырезываемого цилиндром, равнаочевидно,*•(/£ * + Я И * г:— [? (MJ-? (ЛГО + <Р( Ч ) - f W ] * £ .и МаН о, как было объяснено выше, в точкахd. S = cos (п, z) dS\в точках же М 2 и M i— d S = = c o s ( n , z)dS,поэтому та часть объемного интеграла, которая происходит от частиобъема, вырЬзаемой цилиндром с основанием d\С, равна той части поверхностного интеграла(j) срcos (n, z) dS,которая происходит от элементов поверхности, вырезаемых этим цилиндром из поверхности 5 и находящихся у точек M v М 2, М3, Ж 4.
П роизводя суммирование по всем элементам площади S, мы получим, чтоIЯdV=t= & ЧdSМПрименяя формулы (14) к функциям ах, ая, ая, мы получимf iix dVz=(j) a' cos(n^ ) ds>У8J~ ^d V = ^Сaycos (nCy) dS,d V = ф a, cos (n, z) dS.Сложение этих трех формул вновь приводят к формуле Гаусса (13).Получив тем или другим способом формулу Гаусса (13), мы сможемтеперь доказать существование предела ( 1 0 ) для объема V любой формы,стягивающегося к точке Р.В самом деле, по теореме о среднем§да.да..да. \дх * ду ' dz JН.Е.К о ч н я . — Векторноен сч в сав ш( даг . да..да\дх ' ду г dz ) QЮ146В ек торн ы й анализгде значение суммы в правой части берется в некоторой средней точкеQ объема V.На основании формулы Гаусса мы имеем поэтому, что, ,Iв a„dS Тда* дау ЩV\Qдх ' ду1dzБудем теперь стягивать объем V к точке Р, тогда и Q непременнов пределе перейдет в точку Р и так как производныепо предположению непрерывны, то мы получим, чтоandSда,lira —— ^ — =оVда,.- 5 --дхда,j— ^--1ду1dzи, следовательно,d iv a flда,дхда.,ду ‘1да.dzТаким образом формулы (11) и (13) могут быть получены одна издругой.7.Чтобы уяснить себе, как на графическом представлении поля сказвается то или другое распределение diva, проведем линии вектора а ирассмотрим трубку этих линий, пересекающих какую-нибудь площадку dS,проходящую через некоторую точку Р и перпендикулярную к линиивектора, проходящей через точку Р.
Эта трубка состоит, очевидно, изadS линий, если мы условимся проводить векторные линии так густо,чтобы число векторных линий, нормально пересекающих площадку единичной площади, было бы пропорционально величине вектора. На небольшом расстоянии dl, считая по векторной линии, проведем другоесечение трубки dS', тоже перпендикулярное к векторным линиям. Черезнего проходит уже a'dS' линий. Вычислим поток через всю поверхностьтрубки.
Через боковую поверхность трубки, состоящую из линий вектора, поток, очевидно, отсутствует, ибо на ней ап— 0. Потоки же черезоснования трубки равны — adS и a'aS'. Поэтому полный поток будетa'dS' — adS, а так как рассматриваемый объем имеет величину dSdl, торасхождение будетa'd S '— adS.--- dS M —IIЕсли a'dS' > adS, то расхождение положительное; через сечение dS'выходит больше векторных линий, чем вошло через сечение dS, значит,в рассматриваемом объеме dSdl возникло a'dS' — adS векторных линий,в единице же объема возникает diva векторных линий; таким образомd iv a служит мерой возникновения или уничтожения (при отрицательномdiva) линий.Если мы обратимся к интерпретации поля при помощи фиктивнойжидкости, то мы должны будем сказать, что diva служит мерой возник*147ПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬновения или уничтожения жидкости, так как, например, при a'dS'^>adSбольше вытекает жидкости, чем втекает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
