1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При какой функции 4*(О будет div <|<(г) г =■=О?По задаче 106div 4. (г) г -= ф (г) div г -f-(grad <|>(г), г) — 3^(л) +( Y (г) у—,г J =Зф + г^',поэтому надо решить уравнениеЗф- f rY = * 0или7 ’ 4--Х-=°»3 log г -f-log ф = log С,^= си окончательногде С — произвольная постоянная.Задача 113. Найти div (г4 г).Ответ. 7 г*.Задача 114. Найти div (г [w, г]), где w — постоянный вектор.Ответ. 0 .Задача 115.
Найти div [а, [г, Ь]], где а и b — постоянные векторы.Ответ. 2 (а, Ь).§ 15. Оператор Гамильтона. Некоторые применения.I. Рассматривая вектор grad 9154В ек торны й ан а л и змы указали, что этот вектор можно получить формальным применениемоператора Гамильтона „набла"v = i 'S ‘+ j '| r + k 'J r ’(2)к скалярной функции о. Мы видели далее, что при помощи этого оператора выражается также и градиент одного вектора по другому..да ,да ,да( v . V ) a = v, r x + v „ Ty+ v ,r z ....(3)Применение оператора V оказывается чрезвычайно удобным во многих вопросах векторного анализа. Поэтому мы подробно остановимсяна его свойствах.Покажем прежде всего, что расхождение вектора а можно фор-мально рассматривать как скалярное произведение символического вектора V на вектор аа = !<**-{- \ay+ baz.В самом деле, производя это перемножение по формулеумножения двух векторовскалярного(Ъ, а) = bxax-J- byay-\-btatи полагаяjd_х~~ дх, ____ д_ ., _, _ду ’1дdz ’получим(V а>ШН Н | to аl V " а )~dz ~ d ,v a '(4)Покажем далее, что вектору V можно дать другое толкование.С этой целью запишем наше первоначальное определение d iv a следующим образом(p(n, a) dSdiv а = lim —---ту--- .v -Х)VСравнивая это выражение с предыдущим, получаем(j)(n, a) dS( V , a ) = lim --------- .V-УОу(о )Рассматривая это равенство, мы видим, что под знаком поверхностного интеграла стоит скалярное произведение из единичного вектора155О п е ра т о р Г ам и л ь то н анормали и вектора а в соответствии с тем обстоятельством, что слевастоит скалярное произведение из V и вектора а.
Покажем еще надвух примерах, что это обстоятельство не случайное.Примем во внимание три формулы (14) § 14; умножим первую изэтих формул на i, вторую на j, третью на к и сложим три полученныхравенства. Так какi cos (n, jc) + j cos (n, y) -f- k cos (n, z) — n,. дф , . d<p > , df.„то мы получаем формулу, аналогичную формуле Гауссаf(j><?ndS =gradcp dV.s<v(6 )Пусть теперь V обозначает бесконечно малый объем, стягивающийсяк точке М ; тогда мы имеем по теореме о среднем? чтоVи, следовательно,Г gradvdV =vгде М и М 2 и М 3— какие-то средние точки объема V. Разделив предыдущее равенство на V, перейдя к пределу при V -> О и заметив, чтопри этом точки Ми Ж 2 и Af3 переходят в точку М, получим в пред6фположении непрерывности ~дфдф, что156В ек т о рн ы й а н а л и зЭта формула для gradcp совершенно аналогична формуле (5) дляdiva.
При этом опять под знаком интеграла стоит выражение и » , построенное из V ? путем замены V на единичный вектор нормали н.Обращаясь теперь к операции (v, V ) а» мы должны ожидать, что дляэтой операции справедлива формуласр (v, п) ad S(v, V ) a = Hm ---- г ----г-м>V(8)Покажем, что это действительно так, однако лишь с той весьмасущественной оговоркой, что вектор v считается постоянным.В самом деле, постараемся при этом условии вычислить интеграл<j)(v, n) a dS — (j) [vxa cos (n, x) -f- vya cos (n,8y) -j- vaa cos (n, z)] dS.
(9)SМы имели ранее формулудоочевидно, что эта формула справедлива и для вектора(j>acos(iv!)c) dS =С-~dV,(1 0 )уS(ибо она справедлива для каждой составляющей этого вектора); точнотакже мы имеем§ a cos (пГу)dS = fy ^ d V ,вv(11)(j) a cos (n, z) dS =rs)Помножая эти три формулы по порядку на постоянные числа <оя ,vyt vt и складывая, мы найдем't<j> [vxa cos(riTx) -f- vva cos (nTjO + vta cos (пГ*) ] <*5 «f (-J-+v'%+v,&)dVили£ ( v , n ) a dS = J (v, V ) a dV,(13)О м раторГ ам ильтона157откуда, повторяя то же рассуждение, что и для grad ср, выведем ф ормулу ( 8 ). Разъясним теперь, почему нам нужно в этой формуле считатьV постоянным. Дело в том, что символический вектор V является диференциальным оператором, так как он содержит в себе производные по координатам.
Между тем, в выражении (v, V ) a вектор v стоитперед оператором V , и поэтому этот оператор V не м ож ет действовать на V, почему нам и приходится считать вектор v постоянным.2.Три рассмотренных примера позволяют нам дать общее правилодля определения значения выражения Z .(V ), где L (а) есть линейноеоднородное выражение относительно вектора а, т. е.
выражение, удовлетворяющее двум условиям:Ц а + Ь ) = Ц а ) + /;(Ь)Ц\а ) = Щ я),где а и b какие-нибудь векторы, \— какое-нибудь число.Если в этом выражении мы рассматриваем V как оператор. д. , дv = i й £+1, ,д' 5 7 + к аГ-то мы должны в выражении Z ,(V ) произвести с этим оператором всетребуемые действия, причем мы условимся, что оператор V действует на все векторы, которые ст оят позади него, и не действует на те векторы, которые ст оят перед ним.Примеры:^ = !1 + 1 | + кЙ '<v -a> = ^ 4- |f+ w -<14><15>(17)( V.
v) a -^ +^ +^ >.( .8)Чтобы дать другое представление L( V)# докажем следующую общуюформулу Гаусса:f L (v )d V = § L(n) dS\уa(19)в самом деле, в силу линейности Z ( V ) мы имеем прежде всего, чтоJ / . ( V ) rfV _ J ' l (i ®VVJЖV*V+ JVl( k £ ) * K158В ек торны й анализРассмотрим последний из этнх интегралов; так как векторы, стоящие перед V , мы условились считать постоянными, то мы имеем правонаписать в силу линейности L (а)* ( к4 ) = ^ £ <к>и, следовательно,f L(kw )‘iV=fw lw ‘/v-VVВыражение Д к ) является либо скаляром <р, либо вектором а; в пер*вом случае мы можем применить формулуfl*d V = = ( $v9C° Sd S >$во втором случае формулуf ^ d V = ( £ a c o s (tCz)dS;Vsв обоих случаях мы будем иметь/ ~§z LW dV = ( f cos (*>*) L(k)dS,г§и, следовательно, еще раз пользуясь свойством линейности,/ L ( k ~ fe)dV==(fЬ i L (cos(np*) k)<£S,точно также получимj L(jVdV=--&L (cos O f t ) j) dS.вВ результате сложения этих трех формул, найдем требуемое равен*ствоJ L (S7 )dV = (j) L(ri)dS.Допустим теперь, что V есть бесконечно малый объем, стягиваю*щиНся к точке Л/, и что L ( V ) есть непрерывная функция точки М.159О п ератор Г ам ильтонаТогда в точках объема V £ ( V ) мало отличается от значения этойвеличины в точке М:L(V)={L(S7) U-fe,где • — бесконечно малая величина.
Поэтому[ L ( V ) d V = Г {(А ( ? > } „ + ■ ) *Vгдеyj{ £ ( v ) ) „ V+r,V,Vтоже бесконечно малая величина. Итак, мы получаем, чтоf<f)Z. (п) dS-Z-y—=L(V)dVу—Переходя к пределу, когда объем= ( M v ) U + vVстягивается в точкуМ,получим§ L ( n )isZ . ( V ) = l>ni---- |т----.v-»nVРш(20)Это второе определение Z .(V ) совершенно эквивалентно с первоначальным определением L ( V ) , однако оно гораздо удобнее первоначального определения, так как не содержит ни малейшего намека на прямоугольную систему координат; в частности, только что полученное намиравенство с удобством может быть применено для вычисления £ ( V )в любой системе криволинейных координат.3.В дальнейшем мы будем весьма ш ироко пользоваться символическим методом вычислений, связанным с применением оператора Гамильтона V , сейчас же на двух простых примерах покажем сущность этогосимволического метода.Пусть мы имеем скалярную функцию точки ю(г) = у (х, у, z) и векторную функцию точки а{г) = а(х,у, г), и требуется вычислить d iv ('fa ).В задаче 106 уже было проделано это вычисление обычным способом.Покажем теперь применение символического метода.
Мы имеемd iv (o a ) = ( V , ? a ) .Мы видим, что диференциальный оператор, . дV —i---Ьх-j- К -jj-, состоящий в существенном из трех производныхУпо координатам применяется к произведению двух функций ср и а. Н о ио правилу диференцирования произведения производная от произведения нескольких функций составляется следующим образом: диференцируем первый множитель, считая все остальные постоянными, затем диференцируемтолько второй множитель, считая все остальные постоянными и т. и.,все полученные выражения складываем.160В ек торны й анализВ дальнейшем мы будем в тех случаях, когда »то может вызватьсомнение, отмечать все векторы, которые мы на время считаем постоянными, индексом c(const).
Поэтому, согласно только-что высказанному правилу, мы должны написать( V , <ра) «= ( v , <р,а) - f ( V ,а ,).9Рассматривая выражение ( V , 9 еа), мы можем9 # вынести за знак V , в результате получим(V,<pca) =<pe(v , a) =постоянный множитель< p (v ,a ) ,где мы уже можем заменить <ре на 9 , так как 9 стоит п е ре д у и, следовательно, не подвергается действию V *В выражении ( V , 9 а е) оператор V действует только на скаляр 9 ,поэтому мы можем написать, что(V , 9 ас) = ( V 9.
ае) = (at, V9) = (а, V 9)В результате получаем формулу(V , 9 а) = 9 (V , a) -f (а, V 9)(21)или при обычных обозначенияхdiv (9 а) =9 div a -f- (a, grad 9).(22 )В качестве второго примера возьмем операцию ( V , v ) a . Так какздесь v и а стоят после V , то действие диференциального оператораV мы должны считать распространяющимся и на v и на а. Согласновышеприведенному правилу диференцирования мы должны написать( V , v) а = ( V , v e) а + ( V , v ) ае,в выражении ( V , V e) мы должны, имея в виду постоянствопереставить V с v e ; итаквектора V,,( V , v c) а = (v e, v ) а = (v, V ) а(раз v стоит перед V , оператор V на v не действует, и незачем писатьзначек 0). Далее( V , v) а е = а„ ( V , v ) = а (V , v)и значит( V ,v ) a = » ( v , v ) a - f - a ( v , v ) = * ( v , V ) a - f a d l w .Если мы примениммы получимобобщенную формулуГаусса(19) к ( V > v ) a ,J (У,У)ай1^=^(п, \)&dS*=§&vndS\гав(23)161О п ера т о р Га м и л ьто н ав силу предыдущей формулы, получаем важное соотношениеf[(v, V ) a + a d iv v ] dV =vj>a v nd S t‘(24)aв частности при а -= V, получаем формулуf[(v, V ) v + v d iv \ \ dV =§vnxdS.(26)4.Остановимся еще на одной диференциальной операции второгопорядка, а именно, составим расхождение потенциального вектора divgrad®.Так как,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
