1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Наконец очень часто вихрь вектора азаписывают как векторное произведение оператора Гамильтона V и вектора а:rota = [V , а]или при другом обозначении векторного произведенияrot а = V X Я*В самом деле, составляя векторное произведение по формуле[А, В) — I (А ,В, - А,В „ ) + j (А,В. - А,В,) + к (А ,В, - А,В,),гдеАх—> Ау ~, Вх=уах, В у— ayt В, =а ,,легко найдем^/да. даА(да. да.\(да„а>= 11{ s j - ъ ) + 1 Ы ~ - d y + kдаА.*....(l4)Отсюда, в силу § 15, следует сразу еще новое представление rota(j) [n, a)dS— lim srot a =г-юу(15)176Векторныйанализ *где V — бесконечно малый объем, стягивающийся в точку М , S — огра*ничивающая этот объем поверхность, наконец п — единичный векторнормали к этой поверхности.
Эта формула аналогична формуле (б) § 15для d iva и формуле (7) § 15 для gradа.Но вернемся к первоначальному определению (13) rota. Эту фор*мулу можно переписать еще так:ф (a, dr)^(rota, п) = I rot а | cos (rot а, п) = Ига _£_______s-+оS0 6)’причем площадка S перпендикулярна единичному вектору п.Отсюда сразу выводим, что если для различных направлений пмы определим значение пределаф (a, dr)Сп— lim_£_______5->0(17)$и найдем максимум Сп, т о rot а равен по величине этом у макси муму и имеет т о направление п, при котором э т о т максимумдостигается (ибо проекция всякого вектора будет максимальной тогда,когда за ось проекций берется направление этого вектора).Чтобы разъяснить на простом примере, что характеризует собоювихрь вектора, рассмотрим поле скоростей твердого тела в некоторыймомент времениv = v e-J-[w, г],vx= vga-\-<s>yz — a>ey(18)— « V е*Составляемdvtdvr0t* V=='d y ~ ~ d z =WxJrWx== 2o>*’ r0t^ V 1 2m»’ rot«v Я 2ш«и, следовательно,rot v = 2 (©J.
i -j-j -j- 0)g k ) = 2o>.(19)Таким образом ro tv в этом случае представляет удвоенную угловуюскорость вращения твердого тела.Если мы имеем дело с полем скоростей жидкости, то, как можнодоказать, — rotv будет угловой скоростью вращения бесконечно малогообъема, окружающего точку М , в предположении, что в рассматриваемый момент времени этот объем жидкости внезапно отвердел. Этообъясняет и наименование „вихрь" вектора, так как в обычном представлении вихри связаны с интенсивным вращательным движением частицжидкости.Ц и ркул яц и я век т о ра вдоль ко н тура177Вычислив rot а во всякой точке поля вектора а, мы получаем новое поле вектора вихря а. Графическое представление этого нового полядается векторными линиями вектора вихря а или, как их называют ещеиначе, вихревыми линиями вектора а.4.Важнейшая теорема, связанная с понятием вихря, есть теорема Стокса,дающая преобразование линейного интеграла в поверхностный:Циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потокувихря вектора через поверхностьТ ограниченную данным контуром(£ (a, dr) =rot( a, dS) =rot„ a dS.( 20)oasJJДоказательство совершенно аналогично доказательству теоремы Гаусса.А именно, разделим поверхность 5на малые элементы Skп, которыебудем стремить к нулю (черт.
59).Для каждого элемента, выбравпо произволу положительное число е,можем написать неравенство(a, dr) — rot [а •S h\ < &Sk,Черт 59если сделать S k достаточно малым.v'Сложим все эти неравенства изаметим, что линейный интеграл будет взят только по С, так как интегралы по всем остальным элементам кривых Ск попарно сократятся:| | (a, dr) — 2 ]ro tna - S * |< а 5 .В пределе при S k—>0 получим| |> (a, dr) —Jrotft a d S .|< e S ,и так как с можно выбрать по произволу,ф (a, d r)= Г rot„a dS,viчто и требовалось доказать.Заметим, что обратно, из формулы Стокса можно вывести фор*мулу (13) и притом уже без тех ограничений, которые мы накладывалина вид контура С при первоначальном выводе формулы (13).5.
Укажем несколько следствий из теоремы Стокса.Если а потенциальный вектор, т. е. ,а = grad 9 , то линейный интегралпо всякому достаточно малому контуру, окружающему точку Р, обраН. Е .К о ч и п. — Векторноеисчисление1*178Векто р н ы й анализщается в нуль, т. е. ф (а, «Г г) = 0 , следовательно,сrotn а — Ои, так как это справедливо для всякого направления, то тождественноrot grad <р== 0 .( 21)Это видно и непосредственно из выражений для градиента и вихря,ибод /дуЩrot, grad| | | | | ( j | jд /ду\дЧ<?ауп| g g 1 0, rot-grad ? = Ж- Ж= »rot. grad ts = - Й7дхду^ ~ = 0.дудхОбратно, если rota равен 0, то по формуле (20) линейный интегралпо всякому контуру, могущему быть стянутым в точку, равен нулю, таккак между таким контуром можно провести поверхность S.
А значита = grad <р. Итак, еслида. да,,да, да.да,, да,-3-1—«' = 0,- 3-=— з - ‘ = 0, - ^ — — = 0,дуdzdzдхдхdy( 22)тоd'fх~ дх' а* ~ d y'dfdz, „I®или, что то же,axdx-f-aydy -(- atdz = dy,t, (24)т. e. a€dx -|- aydy |p atdz является полным диференциалом. Итак необxoduMoe и достаточное условие того, чтобы а был потенциальным вектором, и чтобы axdx-\-aydy\-atdz было полным диференциалом, состоит в выполнении условий ( 22), т . е.
в равенствевихря вектора а нулю. Потенциальные поля называют поэтому такжебезвихревыми.Очевидно далее, что если S означает замкнутую поверхность, то(j) rot„ a dS — 0,s(25)ибо в этом случае контур С стягивается в точку.Но вспоминая определение расхождения, из формулы (25) сразу заключаем, чтоdiv rot а = 0 ,(26)т. е. векторное поле вихрей любого вектора а свободно о т источников. Соотношение (26) можно проверить и непосредственным вычислением,vЦ и ркул яц и явекто равдолько н тура179В силу отсутствия источников в поле вихря, вихревые линии не могут внутри жидкости ни начинаться, ни кончаться; они могут быть замкнутыми или могут иметь свои концы на границе поля.Рассмотрим вихревую трубку, полученную следующим образом; беремплощадку и проводим через контур ее вихревые линии, тогда потоквектора rot а через всякое сечение этой трубки будет постоянной величиной, в силу общей теоремы, доказанной нами в п.
7 § 14. Величинаэтого потока называется напряжением вихревой трубки.Докажем теперь обратную теорему: всякий соленоидальный век-тор а м о ж ет быть представлен как вихрь некоторого другоговектора Ь. Иными словами, еслиdiv а = 0,(27)то можно найти такой вектор Ь, чтоа = rot b.(28)Для доказательства выберем какую-либо прямоугольную системукоординат и положим Ьш— 0, тогда равенство (28) приведется к тремуравнениям с двумя неизвестными функциямиba {*> У, г) и Ьу (х, у, г)(29)Общим решением первых двух из этих уравнений являютсяЯь и(х>У'г) = — / <*х(x>y,z) dz 4- f ( x,y),гЬЛх,У ,г ) = / ay(x,y,z)dz-\-g(x,y),где f(x ,y ) и g (х,у) — пока произвольные функции своих аргументов.Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы (29), по-В екто рн ы й анализ180товвЩшЯItЩШм 1IЯ |Цш,го>•о*•и, следовательно, уравнение (30) приводится к виду§Я-М=аЛх,Ул)'Мы удовлетворим этому уравнению, полагаяа/ “ J at (хгУ>го) dxtк,s = 0.Итак, если взять:ZM - W ) * * / ay(x,y,z)dz,*° гЩby(х,у,г) = —J ах(х, у,z) dz+ jj а, (x,y,z0) dx,са(31)xtM - W * ) — 0»то равенство (28) будет иметь место, что и требовалось доказать.Наконец заметим, что, применяя обобщенную формулу Гаусса [§ 15(19)] к выражению[V , а] = rot а,мы получаемв объемный:следующеепреобразованиеповерхностногоинтегралаф [л, a)dS = J rot a rf Кsv( 32)Задача 118.
Доказать, чтоrot (8j “J- аа)= rot Э| -j—rotes*(33)Задача 119. Вычислить rot(cpa).д (tpа,)« и ? »)д(<?a )/да,------ з г - “ Ч ¥даАдуду“ " S / + “З у e , _ . ^ a' “= <Р го ^ а + fetad ^ а]*,откудаrot(<fa) = «?rota-j-[grad(f, а]."(34)Ц иркуляц ия векто равдо льконтура181Задача 120. Вычислить rot {/ (г ) г } .Так как j ( j{ r ) г, dxj= .
f f {г) rdr =** 0 по всякому замкнутому кон-ЪсТУРУ> т° ro t/ (г) Г = 0. Это можно легко показать и вычислением.Задача 121. Вычислить rot { Ь(г, а) }, где а и b — постоянныевекторы.rot (b (г, а) } = [grad (г, а), Ь] = [а, Ь ] .(35)Задача 122. Вычислить rot г а, где а постоянный вектор,[г, а]гrot (г а) = [grad г, а] 1Задача 123. Вычислить div [а (г), b (г)]....г. «лщd,v [a, dj! <Э(аА—«А) ;ШШШШШI ------ р ------1-------рда„,дЬ.да.dbv~ К Ь' + а * ^ - 1 й Ь’>--а'Ж +Iщдущ + а. ИдуНс/у ЯШdyI Яd z vВ Яdz -да1dzТаким образомdiv [a, b] = (b, rot а) — (a, rot b ) .(36)Задача 124.
Представить [a, grad <р], где а — постоянный вектор,в виде вихря некоторого вектора.О твет, (a, grad <р] = — rot (<ра).Задача 125. Вектор г [ю, г], где ь> есть постоянный вектор, естьвектор соленоидальный (см. задачу 114). Представить его в виде вихрянекоторого вектора.О т в е т , г [« , г] = — rot ( — toВ182екто рн ы йанализ§ 17. Некоторые формулы с диференциальными операциями.Дифереициальные операции второго порядка. Применения.1.Выведем ряд основных формул векторного анализа, причем будешироко пользоваться символическим методом. В § 12 [формула (18)] и § 15[формула ( 22)] нами были выведены следующие формулы (<р и $ скалярные функции, а — векторная):grad (<$) == 9 gradij» - f $ grad 9 ,div ( 9 a ) =( 1)9 div a - j- (a , grad 9) .( 2)В задачах 119 и 123 мы непосредственным вычислением определилиrot (9 а) и div [а, Ь ].
Покажем теперь, как получить эти величины применением символического метода. Мы имеемrot (9 a ) = [ v ,9 а] -Согласно данному в § 15 правилу, мы должны написать[V , 9 а] = [V , 9* а] + [V ,9 а£] ,где значок с указывает, что соответствующуюпостоянной. Но ясно, что[ V , 9с а] =[V ,9aJj j [V9, а |9е [ V ,величинунадо считатьa ]^ = 9 ro ta ,а — 1 || V9] == —[a,grad 9]и, следовательно,rot (9 а) =9 rot а — [a, grad 9]=9 rot a -j- [grad 9,а ] .(3)Точно также пусть а и b два переменных вектора — функции точки,тогда, пользуясь свойством циклической перестановки векторно-скалярного произведения [§ 7 (2 )], легко получимdiv [а, Ь] = (V , [a, b]) = (V , [а, Щ + ( V , [ае, Ь]) == ([V , a], be) — (V , [b, ас]) = ([ V , a], be) — ([V , Ь],ас) Ц= (b„ [ V , aJ) — (af, [V , b]) = (b, [ v , a]) — (a, [ V,b ]),r. e.div [a, b] = (b, rot a) — (a, ro tb ).(4)Как видно, метод вычисления состоит в том, что когда все векторы,кроме одного, положены постоянными, нужно так преобразовать выражение, чтобы все постоянные векторы оказались перед оператором V ,а переменный — позади него.В качестве следующего примера вычислимrot [a, b] = [ V , [а, Ь] ] ;по общему правилу имеем[V , [a, b ]] = [V , [a, bc] ] + [ v , [ a c, b ]].Н еко то р ы е ф о р м у л ысд и ферен ц и а л ьн ы м ио п ера ц и ям и183Преобразуем первый член суммы правой части; по формуле для двойного векторного произведения имеем[С , [А, В ] ] = А (В , С ) — В (С, А ),(5)причем правую часть этой формулы можно написать в шестнадцати различных видах, так как например выражение А (В , С) равно также иА (С , В ) и (В , С ) А и (С, В ) А.Полагая в предыдущей формуле С — У , А = а, В = ЬС, мы должныдать такую форму правой части, в которой Ь„ стоит перед у , а апосле V , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
