1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. опять будем считать усовия 1 ) и 2 ) выполненными, но не будем теперь предполагать движе*ие безвихревым, иными словами будем считать, чтоrot v = fitтличен от нуля.(60)192В екто рны йанализВ этом случае можно составить диференциальное уравнение, опре- |деляющее изменение вихря 2 с течением времени. К выводу этого урав- Iнения мы сейчас и обратимся. Для этого применим к обеим частям урав- Iнения (35) операцию rot, в результате получимrotdv---rot [v, rot v] = — rot grad П.I(61) SНо мы имеем следующие формулы: прежде всего ясно, что.dvd iotvW = ~ d i—dQ-Ж '/сп. IШ ;далее, по формуле ( 6)rot [v, rot v] = rot [v, Q] = (Q, V ) v — (v, V ) Q -f-v divQ — Q div v. (63)Наконец по формулам (12) и (13) мы имеемrot grad П = О,div Q = div rot v = 0.Поэтому уравнение (61) принимает следующий видdQV ) 2 — (2, V ) v - f Q d i v v = 0,(64)или, вспоминая связь между полной и частной производными вектора{§ 13, формула (18)]dQ-jj-— (2 , V ) v -{- Q div v = 0.(65)Это уравнение и определяет изменение вихрей с течением времени.
Мывыясним характер этого изменения более подробно в дальнейшем.В качестве следующего примера рассмотрим вопрос о вычислениикинетической энергии в гидродинамике.Допустим, что мы рассматриваем движение несжимаемой жидкости, iРассмотрим некоторый произвольно вырезанный объем жидкости V,ограниченный поверхностью S, тогда элемент объема dV, имеющиймассу рdV, будет обладать кинетической энергиейvа> T dV-' Iа полная кинетическая энергия всего объема жидкости V будет равна(6 6 )гНЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ С ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ193Если мы рассматриваем безвихревое движение несжимаемой жидкости,так чтоV = grad 9 ,(67)то мы будем иметьJ(g r a d f)W .(68)По формуле (18) мы можем преобразовать это выражение в случае,если ср есть однозначная функция, к виду(69)У8но для безвихревого движения несжимаемой жидкости, как мы знаемdiv v— Д9 = 0,(70)и, следовательно,г=т ' ^жй<п>Заметим, что если жидкость ограничена неподвижной твердой стенкой, то вдоль ее жидкость может только скользить, так что на такойстенке непременно должно бытьг»л= 0,(72)и следовательно, в нашем случаеIж = °-<73>В частности, если жидкость заполняет односвязную область, ограниченную исключительно только неподвижными твердыми стенками, то онане может совершать никакого безвихревого движения.
В самом деле,в этом случае потенциал скорости 9 непременно однозначная функция, и,следовательно, применима формула (71); но так как на всей поверхности5 выполняется условие (73), тоТ= 0,т. е. кинетическая энергия жидкости равна нулю, следовательно, все еечастицы покоятся.4. Рассмотрим аналогичный предыдущему вопрос об энергии электростатического поля.Мы уже знаем, что электрическое поле определяется потенциальнымвекторомЕ = — grad9 .НЕ. Н о ч и , —Векторное исчислеяяэ(74)13194Векто рны йанализЕсли поле происходит от одного заряда е, находящегося в начале координат, то<р= — .(75гIСила, действующая на заряд ev будет равнаF = etE — — еуgrad — .(76)Подсчитаем ту работу, которую надо затратить, чтобы перенести зарядех из бесконечности в данное положение М (г); эта работа, очевидно,равна той работе, которую совершает сила F на перемещение заряда източки М в бесконечность:ООООсоW = J'(F ,d r ) = —el J ’ ^gTady , dr j ==^elJ ' d ( y j = -^.МЫы(77)Полученную величину можно назвать потенциальной энергией системы двух зарядов.Пусть теперь име^м систему л зарядов еи е2,.
. . е„, находящихсяв точках /Ир М.г...М п и пусть г(к означает расстояние между точкамиМ { и Л1к. Тогда мы получим потенциальную энергию системы этих за*рядов, образовав всевозможные произведения£*£*и взяв их сумму:<,k=tпричем коэффициент — нужно взятьЩ“РЧпотому, что каждая комбинациязначков / и k встречается дважды.В рассматриваемом случае мы имеем для потенциала выражениет- i f .й=1 *Игде гк расстояние переменной точки Мк до точки М. В частности мыимеем, что( 80)есть значение в точке M t потенциала, происходящего от всех остальныхзарядов (штрих у суммы показывает, что при суммировании надо про*Н еко т о ры е фо рм ул ысд и ф ерен ц и а л ьн ы м и195о п ера ц и ям ипустить значение k — i). Так както получаем, чтоП(в оi= iДопустим теперь, что мы имеем непрерывное распределение зарядовпо некоторому объему V; если объемная плотность зарядов есть р, тов элементе объема d V буцег находиться заряд pdV\ означая соответствующее значение потенциала через <р, получим вместо (81) формулуW2уопределяющую потенциальную энергию заданного поля зарядов.Так как вне объема V плотность электрических зарядов р = 0, томожно также написатьW=-'ЛrtdV.i f(8 3Viгде Vt — любой объем, охватывающий V.Но мы видели (§ 15, п.
7), что плотность электрических зарядовопределяется равенствомdiv Е = 4«р(84) 'или, что то же, равенствомД© = — 4тгр.(85)Поэтому, выражая потенциальную энергию W через значение ©, будем иметь е силу формулы (83)U7 = — ~С <p\<fdV.( 86)у,Воспользуемся теперь формулой (18), в результате получимк-/<gИ,h % dS-WSiгде Sy — поверхность, ограничивающая Vv Возьмем засферу весьмабольшого радиуса R, который мы будем затем стремить к бесконечности, и заметим, что если все заряды находятся на конечном расстоянии,д<о.то для © имы будем иметь, как можно доказать на основании ре13*196В ект о рн ы й а н а л и ззультатов одного из дальнейших параграфов, оценки1? 1<дуВдп < R 2 *R ’где А и В — постоянные числа.
Поэтому, так как величина сферыравна 4л/?2, мы будем иметь^ А В л n„4ir/lSоткуда следует, чтоlim rf) ув^ооТ1дпdS = 0.А тогда из формулы (87) вытекает, чтоJ(grad jp iV - t- ^ rfE M V .(88)где интегралы берутся по всему бесконечному пространству.Полученный результат мы можем иначе истолковать следующим образом: в электростатическом поле энергия распределена по всему пространству, причем на каждую единицу объема приходится количествоэнергии, равное* Е 2=* -тг— (grad <р)а.8тс8тс(89)5. Рассмотрим в заключение этого параграфа несколько задач.Задача 126. Доказать формулы(v, V ) у а = a (v, grad у) Ц | (v, V ) а,(90)(С, grad (а, Ь)) = (а, (с, V ) Ь )+ (Ь, (с, V ) а),(91)(с, V ) [а, Ь] = [а, (с, V ) Ь] - [Ь, (с, V ) а],([a, b], rot с) = (b, (а, V ) с) - (a, (b, V ) с)(93)(92)(по поводу последней формулы см.
зад. 57).Задача 127. Доказать следующие формулы[[а, V ]. b] = (а, V ) b -j- [a, rot b] — a div Ъ,(94)[[a, V ].r ] = — 2а,(95)(96)[[ V.a], b] = — (а, V ) b — [a, rot b][rot а, Ь] 4“ a div b.Задача 128. Доказать следующие формулы, являющиеся аналогичными формуле Гаусса:Н еко т о ры е фо рм ул ы с д и ф ерен д и а л ьн ы м и|о п ера ц и ям и<Рand S = [ [ ? d lv a - f (a,grado)]flfK;В197(97)V<j>[a, b]„ dS = J {(b, rot a) — (a, rot b)}d V .(98)Задача 129. Доказать следующие формулыФЖaS= / { ? div^ grad&+ 'I'feradср, gradx)Jd Vs(99)v(j) A '?& d S =J * J (Дер5к)a4- (grad cp, grad A?)JdV,$ [a, grad cp]n d S = f (gradcp, rota) а?I/5( 100)/101>VЗадача 130.
Доказать, что если div а = 0, тоJ (п, [rota, Да]) d S—— f {(Да)2-]-(rotа, Д rota)} d V(102)V5Задача 131. Доказать следующие формулы, являющиеся аналогичными формуле Стокса(j) <рdr=z J°$ ? (а , dr) = J[n,gradcp]dS,(103)8(срrot„ а + [grad ср, а] „ } dS,(104)где п — единичный вектор нормали в точках поверхности S, опирающейся на контур С.Задача 132. Доказать формулуу udv — С ([grad и, grad г/], п) dS,(105)где 5 — поверхность, опирающаяся на контур С, п — единичный векторнормали к этой поверхности, и и v — две переменных функции точки.Задача 133. Доказать справедлиаость следующего интегральногопредставления оператора Лапласа Дер:Дер = 6 limR -Х)(106)Кгде <р0— значение функции ср в той точке 0, в которой вычисляется значение Ар, а срв есть среднее значение функции <рна сфере SR радиуса R198В екто рн ы й анализс центром в только что указанной точке:Vr ~ 41^2 ф '?dS.rRДля доказательства можно поступить, например, следующимОбозначим через dQ телесный угол, под которым виден изэлемент dS сферы S R.
Подобно тому, как центральный угол,щийся на дугу длины I окружности радиуса г измеряется ввеличиной/1образом.точки Оопираюрадианахполучающейся от деления длины дуги на радиус окружности, телесныйугол dQ, опирающийся на площадку dS сферы S R, измеряется величинойflQ __ dS/?а ’получающейся от деления величины площади dS на квадрат радиусасферы, иными словами, измеряется величиной площади той части сферыединичного радиуса с центром в вершине телесного угла, которая вырезается этим телесным углом.Ясно теперь, чтоVr = 4^ Ф 4dQ>с другой стороны очевидно, что9о =поэтомуФSRVR — fo ^ - ^ r S (? — ?о) dQ.SRНо мы можем написать, что если значение ср берется в точке сферы.Sr> тоRогде интегрирование производится по радиусу, идущему из центра сферы*ПоэтомуН ек о т о ры е фо рм ул ысд и ф ерен ц и а л ьн ы м ио п ера ц и ям и199Но из формулы (21) следует, чтоf% d s = v [(Д т),+ • ] = - i да* [(Ат), 1 1где а — бесконечно малая вместе с г величина.
Поэтому£ з 7 ‘*а = Т я ' 1 (А Л + 81и, следовательно,RК 4т)о+ г1(4?)о frdr + ± f rtdr=гле 3j — бесконечно малая вместе с R величина.Формула (106) вытекает из полученной формулы, как непосредственное следствие.Задача 134. Доказать, что если п — переменный вектор, численнаявеличина которого всюду одинакова, т. е. | n | = const, то(п, V ) n = [rot п, п ].(107)Задача 135. Вычислить, чему равно(п, grad (а, n) — rot [а, п]),где а переменный вектор, а п — единичный постоянный вектор.О т в е т : diva.Задача 136. Доказать, что необходимое и достаточное условие того,чтобы переменный вектор а мог быть представлен в формеа = срgrad(108)где о и 4*— переменные скалярные функции, состоит в выполненииравенства(a, rot а) = 0.(109)Заметим, что если мы имеем поле вектора а, и если мы проведемповерхности4»= const,то в каждой точке поля вектор а направлен по нормали к той поверхности этого семейства, которая проходит через рассматриваемую точку.Для доказательства необходимости условия (109) составим rota:rot а = rot (ср grad 4») = 9 rot grad ф-(- [grad •?, grad 4-} =«= [grad <p, grad 4»].( 110)200В екто рн ы йан а л и зЯсно, что полученный вектор перпендикулярен вектору а.Докажем теперь достаточность условия (109).Пусть имеем поле вектора а, удовлетворяющего уравнению (109).Возьмем какую-нибудь плоскость, тогда на ней, вообще говоря, можнопровести семейство Г линий, в каждой точке которой касательная перпендикулярна вектору а.Так например, если мы возьмем плоскость Оху и в ней какую-либоточку М и какую-либо кривую, проходящую через точку Л1, то условие того, чтобы единичный вектор касательной к этой кривой в точке Мdr __ dx_ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
