1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 32
Текст из файла (страница 32)
- dy_ .dsdsdsбыл перпендикулярен к вектору а состоит в том, чтобыахdx-{- avdy = 0илиdx __а, ~dyа такое уравнение всегда может быть проинтегрировано, за исключениемслучая, когда в некоторой области рассматриваемой плоскости окажетсяах— ау = 0, т. е. вектор а окажется как раз перпендикулярным к рассматриваемой плоскости. Но в этом случае можем исходить из другойплоскости.Проведя теперь через все точки каждой линии полученного семей»ства вихревые линии вектора а, мы получим семейство поверхностей.Пусть уравнение этого семейства поверхностей естьФ (х, у, г) вех const.Докажем, что вектор а в каждой точке любой из этих поверхностей направлен по нормали к этой поверхности. В самом деле, рассмотримопределенную поверхность щ и на ней произвольную дугу кривой АВ.Покажем, что взятый по этой дуге криволинейный интеграл от вектораа равен нулю:f (a,dr) = 0.АВДействительно, проведем через точки А и В вихревые линии вектора адо пересечения в точках А ' и В ' с той линией вышеупомянутого семейства Г, исходя из которой была построена поверхность S.
Составимтеперь криволинейный интеграл от а по пути АА В'ВА\ он равенcj> (a, dr) *= J J ro t„a dS,причем поверхностный интеграл взят по куску поверхности S, ограниченному контуром А А 'В'ВА . Но ведь на всей поверхности Srotn а =» О,Н ек о т о р ы е фо рм ул ы с д и ф ерен ц и а л ьн ы м ио п ера ц и ям и201ибо эта поверхность состоит из вихревых линий, так что в каждой точкеS вектор rota лежит в касательной плоскости к 5. Итак,f (a, d r )- f fAA'J (at d r ) 4 - J (a ,d r) = 0.(a ,r fr ) 4 -A 'B 'B 'B(Ill)BAНо по выбору линии A 'B ' мы имеемУ (a, dr) — 0 ,( 112)А ’В ’далее, на линиях А А ' и В В ' по самому определению вихревых линийвектор dr параллелен вектору rota, последний же по условию перпендикулярен к вектору а, откуда вытекает, что на А А ' и В В ' вектор drперпендикулярен к а, и, значит,С (a, dr) == 0,С (a, dr) — 0.(113)ВВ’АА’Из сравнения (1 1 1 ), (112) и (113) следует, чтоf (a,d?r) = 0АВдля любого пути А В на поверхности S, что может быть только, еслив каждой точке S вектор а направлен по нормали.
Но тогда векторы аи grad<|< коллинеарны и, следовательно,а = шgrad ф,что и требовалось доказать.Задача 137. Доказать, что всякий вектор а может быть представленв формеа = <рgrad <1»4- grad-/,(114)где ср,X — переменные скалярные функции.Для доказательства рассмотрим вихревые линии вектора а. Мы знаем,что поле вектора rota соленоидально. Поэтому можно провести двасемейства вихревых поьерхностей (вихревой поверхностью называетсяповерхность, образованная вихревыми линиями)9 = const, «{*= constтаким образом, чтобы интенсивность вихревой трубки,двумя соседними поверхностямиср= const, Ср4 ~ d y — const(115)лежащей между(116)и двумя соседними поверхностямиф ==const,4 -d'\ = const(117)В екто рн ы й202ан али збыла равна как раз flfcpflfy.
Так как каждая вихревая линия лежит наодной из поверхностей <р= const, то непременноfota _Lgrad <р,и точно такжеrot a J_ gradОтсюда вытекает, что по направлению rota совпадает с вектором[gradgrad ЭД.(118)Но рассмотрим поперечное сечение вышеупомянутой бесконечно малой трубки, перпендикулярное к оси трубки, и составим поток вектораrota через это сечение. Если расстояние между поверхностями (116)в рассматриваемом месте обозначить через dnx, а расстояние режду поверхностями (117) через dn2, то по определению градиентаесли далее угол между поверхностями (115) в рассматриваемой точкеобозначить через а, то поперечное сечение вышеупомянутой трубкиdn,будет представлять собою параллелограм, стороны которого равны —— иdtLЖ dnxdnа—— а площадь равна dS = — ?— 5 ; с другой стороныsin asmaоткуда следует, что поток вектора (118) через рассматриваемое сечениеравен dbaty так же как и поток вектора rota.
Поэтому, меняя еще, в случае нужды, знак у <р, мы будем иметьrot а == [grad ©, grad <j/].(119)rot (<рgrad <{*) = [grad о, grad ty]( 120)Заметим теперь, чтои, следовательно,rot (а — соgrad ф) = 0,откуда сразу следует формула (114).§ 18. Криволинейные координаты.1.Как мы знаем, положение точки М в пространстве может бытопределено ее радиусом-вектором г относительно некоторой неподвижной точки О.
В прямоугольных декартовых координатах мы имеем длярадиуса-вектора г выражениеКри во л и н ей н ы еко о рд и наты203Однако во многих задачах выгодно определять положение точки Мне тремя декартовыми координатами х, у, Z, а тремя другими числамиЧ\у Чч.у Яъ более отвечающими рассматриваемой частной задаче.
Мыпредположим, кроме того, что, обратно, каждой такой тройке чиселЧь 9 ъ> Я& отвечает свой радиус-вектор г и, следовательно, некотораяточка М (иногда приходится, как мы увидим на примерах, несколькоограничивать область изменения переменных qv q2, q3).Величины qv qv q3 называются к р и в о л и н е й н ы м и к о о р д и н а тами точки М.Так как всякой точке М отвечают три координаты qv qit q3, токаждая из этих координат, например qu является функцией от радиусавектора Г'О)Обратно, радиус-вектор г любой точки пространства, вполне определяясь заданием трех чисел qu qv q3, является функцией от этих переменных: г (qu q2i q3), а, следовательно, и компоненты этого вектораX, у, z будут функциями от qv qz, qa:Поверхности уровня функции qx(г), т.
е. поверхностиqx (г) = const,образуют некоторое семейство поверхностей. Рассмотрим еще два семейства поверхностейq2 (г) = const, q3 (г) = const.Через каждую точку М пространства проходит по одной поверхностикаждого семейства (черт. 60). Назовем зги поверхности к о о р д и н а т ными п о в е р х н о с т я м и . Линии пересечения двух координатных поверхностей назовем к о о р д и н а т н ы м и л ин ия ми . На координатнойлинии qu очевидно, меняется только координата qit координаты же q-%и q3 сохраняют неизменное значение.В качестве примера рассмотрим цилиндрические и сферические координаты. В цилиндрических координатах (черт.
61) положение точкиопределяется тремя координатами qx=р, q2 = <р и qa — z. Формулы (2)имеют видX = р COS Ср,у — Р Sin 9,Z — Z.(3)204В екто рн ы й а н али зИзменяя координату р от 0 до со, координату9от 0 до 2я, коорди-нату z от— оо до -J- оо, мы получим все точки пространства. Координатными поверхностями являются,р = const — цилиндры с осью OZ,tp= const — полуплоскости, ограниченные осью OZ,z = const — плоскости, перпендикулярные оси OZ.Координатными линиями являются: лучи, перпендикулярные оси O Zи начинающиеся на этой оси (линии р), окружности с центром на осиOZ , лежащие в плоскостях, перпендикулярных этой оси (линии 9), ипрямые, параллельные оси O Z (линии z).В сферических координатах (черт.
62) положение точки определяетсякоординатами qx= r, <]%= § и q3 — 9. Формулы (2) имеют видх = г sin 0 cos 9, )у в= г sin б sin 9, 1z е= г cos 6.(4)jИзменяя г от 0 до <х>, q от 0 до тс и 9 от 0 до 2ir, мы получимвсе точки пространства. Координатными поверхностями являютсяг — const — сферы с центром О,8 = const —9 == const —полуконусы с осью OZ,полуплоскости, ограниченные осью OZ.Координатными линиями являются: радиусы (линии г), меридианы(линии 0) и параллели (линии 9).2.Возвращаясь к общим криволинейным координатам qv q2, qs,введем в рассмотренные единичные векторы ej, е2, е8, направленные покасательным к координатным линиям в точке М в сторону возрастания,соответственно, переменных glt q2 и(черт.
60).205К ри во л и н ей н ы е коо рд и натыРассмотрим теперь радиус-вектор г (qv qit q^) и составим производную -5— . Посколькупри диференцировании q% и qB считаютсяпостоянными, годографом вектора г является координатная линия ди апотому вектордтимеет направление касательной к координатной линии qu т. е.dqxидтгде п х длина вектора1и. Из предыдущего равенства легко выведем,в силу того, что в| есть единичный вектор:,/ ^ уьэ1\* , )или, так какдтдх »щж~ ЙтоBBIду . . дг ....*SESАналогичные рассуждения приводят к трем формулам:дтdqx..дтг,111 dq9 ~ H^дт..( )где<’>Величины Н и /У2 и Нь называются к о э ф ф и ц и е н т а м и Ламэ.Рассмотрим, с другой стороны, три вектора g r a d ^ , ( i = l , 2, 3).Вектор grad qt направлен по нормали к координатной поверхностиqt = const; поэтому, если мы обозначим через е* единичный вектор нормали к этой поверхности, направленный в сторону возрастающих значений qt, то мы будем иметьgrad qx= А4еД(/ = 1, 2, 3)( 8)где Л, — длина вектора ^rad^,.
Очевидно, чтоВеличины hlt h2. и h3 называются д и ф е р е н и и а л ь н ы м и пара*мет рами п е р в о г о порядка.206В екто рн ы йанализПокажем, что вектора grad^,, gradq2 и gradqd образуют системудгWiдгЯъдгдЯзвекторов, взаимных с я — , -5— и -5— . Для этого,надо показать, что(£rad?,’Jtj =( grad?,’gradft-^^,)l =согласно (19) § 8 j1,( 10)(i Ф к)aНо, умножая обе части равенстваdr (<?i, Яч> Яъ) —dqx ф- -щ- dqa ф-дтшскалярно на grad^,, мы получим*9t = (ё rad?«>dr) = ( gfad ЯоЩ ф- (grad я идт_ш+ (grad?» - ^ )rf?“’откуда, в силу произвольности dqu dq^ dя^, сразу следуют формулы ( 10)Коренное отличие криволинейных координат от обычных прямоугольных заключается в том, что в криволинейных координатах направлениявекторов elf е2, е3 (а равно и е,*, е2*, е3*) зависят от того, для какойточки М эти вектора определяются.Допустим, что мы рассматриваем в точке М вектор а; разложим егопо трем некомпланарным векторам elt е2, е3:а = ахej ф-е2ф-е3.(П)Совершенно аналогично мы могли бы разложить вектор а по тремнекомпланарным векторам ехщ, * е3*:а = ах* ех* ф- а * е2* ф- а3*(12)Наиболее часто употребляют к р и в о л и н е й н ы е о р т о г о н а л ь ные к о о р д и н а т ы .
Так называются такие криволинейные координаты,координатные линии которых в каждой точке взаимно перпендикулярны.Очевидно, что цилиндрические и сферические координаты являютсяортогональными.Ясно, что для ортогональных криволинейных координат мы имеемравенствае* = е,; (г= 1, 2, 3)(е„ е*) = о, (еД е/) = 0. (г ф k).(13)Поэтому, в силу ( 6) и ( 8), необходимые и достаточные условия дляортогсшльности криволинейных координат можно записать м одной изК ри во л и н ей н ы е ко о рд инатыслед ую щ их д в ух э к в и в а л е н тн ы х ф ормI дгдх \., .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
