1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 27
Текст из файла (страница 27)
додо .д<рTOdivgrad* = ^ ( t ; )+ JyШ) +ж(й)илиЯ2тdi vgrad? = ^ - f ^ - f - ^ .(26)Выражениед1*д2dt2,(27)называют оператором Лапласа, а уравнениеД©= Оуравнением Лапласа.В символической форме мы имеем(28)divgrad© — ( V , V ?) = ( V , V ) ? •(29)Но скалярное произведение ( V , V ), которое чаще обозначают черезу з , очевидно, равно как раз Д:дд .дд .ддд2. д2,д2(v >-(Заметим еще, что так как(j)div а = lim —v*>Е.В. К оч и п. — Векторное исчислениеа пdSV’—11}162В 1 КТ0 РНЫЙАНАЛИЗд<р.то, полагая a = grad<p, а п = = - ^ , получимдпf Шй7-»0и в соответствии с этимl'.& < p d V = < £ ^ d S .<32)5.Откладывая пока дальнейшее изучение' символического способобратимся к некоторым физическим применениям понятия расхождения.Начнем с вывода уравнения теплопроводности. Допустим, что мы рассматриваем некоторое тело и изучаем тепловое состояниеего.
Последнее будет известно, если длякаждой точки тела мы будем знать темпера-,туру Т в любой момент; иными словамитепловое состояние тела характеризуется скалярной функцией Т(т, f ) = T (* , у, z, t).Если функция Т нг зависит от времени,мы говорим о стационарной задаче теплоЧерт. 55.проводности, в противном случае о нестационарной.Рассмотрим внутри тела некоторый объем V, ограниченный поверхностью S, и подсчитаем двумя способами изменение количества тепла,заключенного в объеме V (черт. 55).Плотность тела обозначим через р (если тело неоднородное, то рбудет функцией точки р (г) = р (х, у z)), а теплоемкость через с (в случае неоднородности тела с тоже есть функция точки).
Рассмотрим элемент d,V объема; масса этого элемента равна рdV\ за время dt этотэлемент нагреваетсяна -fifdt градусов;на это требуется, по самомуопределению теплоемкости, количество тепла, равноеdQ = с p d V ^ d t',интегрируя по всему объему, увидим, что за время dt всему объему Vнеобходимо было сообщить количество тепла, равноеС=Г ctd-£t dVdt.vЭто же самое количество тепла можно подсчитать иным способом.Мы принимаем, что тепло передается только процессом теплопроводности, тогда в каждой точке тела будет существовать такой вектор по163О п ерато р Г ам ильтонатока тепла q (f, f), поток которого через некоторую поверхность Sдает количество тепла, протекающего через эту поверхность в единицувремени. Таким образом за время dt через поверхность S вытечет количество тепла, равное£ qndSdtsи, следовательно,Q — —-(j) qndSdt>sПриравнивая дваполученных выражения для Q, находим равенствоГ c p ~ d V ---- (33)Н о по теореме Гауссаи, следовательно,Г ( сР ^ 7 -И 1у‘1 ) d K - » ° .(34)Так как это равенство справедливо для любого объема V, то подинтегральная функция должна тождественно равняться нулю.
В самомделе, возьмем какую-либо точку М и примем за объем V бесконечномалый объем, стягивающийся к точке М, тогда мы будем по теоремео среднем иметь( < * з £ + <и у Ч ) л У = о ,где М х— некотораясредняя точка объема V.Пристягиванииобъема V к точке М, точка М, тоже будет стремиться к точке М ив силу непрерывности подинтегрального выражения в формуле (34), мыполучим, переходя в последнем равенстве, поделенном на V, к пределу,чтоCpW + diVq==0С35)в любой точке М внутри тела.Рассмотрим теперь, как зависит q от Т.
Так как поток тепла направлен, очевидно, от более нагретых частей тела к более холодным,а вектор grad Т направлен, наоборот, от более холодных частей к болеетеплым, то можно принять, по крайней мере для изотропных тел, чтоq = — k grad Т,(36)И*164В ек торн ы йанализгде k — коэффициент теплопроводности, который в случае неоднород*ности тела будет иметь в различных точках различные значения. Подставляя значение (36) для q в уравнение (35), получим уравнение тепло*проводности в следующем видел*т»t(37)cpw — div (ik grad T) — 0 ,Остановимся еще на том частном случае, когда к и Ср являются постоянными величинами; обозначая в этом случае —ная, что div gradТ — ЬТ,через а и вспомиполучим, что§=аЛГ.(3 8 )Наконец для случая стационарной задачи теплопроводностидТ=Ои уравнение теплопроводности принимает видДГ=0,(39)такчто в этом случае температура удовлетворяет уравнению Лапласа.Для того, чтобы можно было полностью решить какую-либо задачуо теплопроводности, нужно задать еще граничные и, в случае нестационарной задачи, еще начальные условия, но на этих вопросах мыбудем останавливаться только при наличии в том надобности.6 .
Рассмотрим теперь основные уравнения гидромеханики.Выведем прежде всего так называемое уравнение неразрывности.Мы будем рассматривать движение газа или, как иначе принято называть, движение сжимаемой жидкости. Обозначая плотность последнейчерез р, будем иметь, что р есть функция точки и времени p (r , t). Движение жидкости может быть охарактеризовано заданием поля скорости V,т. е. заданием скорости V как функции точки и времени v (г, t). В овсяком движении жидкости функции v и р связаны уравнением, которое называется уравнением неразрывности.
Мы выведем это уравнение аналогично уравнению теплопроводности, подсчитывая двумя различными способами изменение массы жидкости, находящейся внутри неподвижной поверхности S, произвольно взятой.Если V — объем, ограниченный этой поверхностью, то масса элемента объема dV будет равна pdV, а масса жидкости, находящейсявнутри поверхности S, равнаМ = f рdV.уЗ а времяdtаплотность р получит приращение ~с этим изменение массыМ,dt и соответственнонаходящейся внутри неподвижной поверх-165О п ератор Гам и л ьто н аностиS,будет равноd M = C^LdVdt.VН о изменение массы могло произойти только за счет того, чтокакая-то масса жидкости прошла через поверхность S, ограничивающуюнаш объем. Если рассмотреть элемент поверхности dS, внешняя нормальк которому есть п, то через этот элемент за время dt вытечет внаружуобъем жидкости, равный vndSdt, масса же этого объема равна рvndSdt,через всю же поверхность вытечет масса5и, следовательно,sПриравнивая два полученных выражения длявенствоdM,мы находим ра(4 0 )7По теореме Гаусса§pvndS — favdiv (pv)dVи, следовательно, предыдущее уравнение принимает видуТак как это уравнение имеет место для любого объемабыть тождественно-ft -f d‘v (pv) = 0.V,то должно(41)Это и есть искомое нами уравнение неразрывности.
Его можнояаписать еще в другой форме. В самом деле, мы имели [формула (22)]div (pv) = p div v - f (v , grad p),поэтому предыдущее уравнение принимает вид■ ^7-| (v, grad р) -J- р div v = 0;(42)166В ек торны й а н а л и зно в § 13, п. 2 мы установили следующую связь между полной и част*ной производной• i = w + (v,gradp)Принимая это во внимание, мы можем переписать уравнение неразрывности в следующей, часто употребляемой форме~ ^ - f p d i v v = 0.(43)Рассмотрим частный случай несжимаемой, но может быть неоднородной жидкости. В этом случае плотность каждой частицы жидкостиостается неизменной и, следовательно, по самому определению индивидуальной производнойЦ = °.__<“ >поэтому уравнение неразрывности принимает видdiv v = 0,(45)так что в случае несжимаемой жидкости вектор скорости является вектором соленоидальным.
Мы знаем, что для соленоидального векторапоток вектора через любое поперечное сечение векторной трубкиявляется постоянным. Векторные линии вектора скорости v называютсялиниями т ок а, а соответствующие трубки — трубками тока. Есливзять трубку тока с бесконечно малым поперечным сечением, то п роизведение из величины скорости на площадь поперечного сечрния, н ормального к оси трубки, будет вдоль трубки одинаково и, следовательно,скорость увеличивается там, где трубка тока сжимается и уменьшается,где трубка тока расширяется.Если движение несжимаемой жидкости обладает потенциалом скорост и ср, т.
е. еслиv = grad 9 ,(46)то уравнение неразрывности дает нам в силуdiv v = div grad <р = Деруравнение ЛапласаД? = 0,(47)Итак, потенциал скорости в движении несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа.Выведем теперь основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости. В гидромеханике различают жидкости идеальные и вязкие; в основеэтого различия лежит характер внутренних сил. Если мы внутри жидкостивырежем объемограниченный поверхностью 5 , то со стороны нахо*О п ератор Гам ильтона167дящихся вне объема частиц жидкости будут оказываться воздействия начастицы, лежащие внутри объема V (черт 56). Эти силы называютсявнутренними, так как они происходят от взаимодействия частицжидкости.
Когда же мы рассматриваем объем V, то по отношениюк нему упомянутые только что силы становятся внешними. Их действиеучитывают, принимая, что на каждый элемент dS поверхности S действует поверхностная сила q dS, пропорциональная площади элементаповерхности. Если эта сила действует всегда нормально к элементуповерхности, то жидкость называется идеальной. В этом случае вектор q имеет направление, прямо противоположное направлениюединичного вектора внешней нормали п, иS\мы имеем/J _q — — Р п>(48)/где р — называется давлением жидкости.IVЕсли вектор q может иметь не только нормальную, но и касательную составляющуют—"к элементу поверхности dS, то жидкостьЧерт.
56.называется вязкой.В идеальной жидкости величина давления, как можно показать, не з а висит от направления элемента. Таким образом гидродинамическое давление есть функция от точки и времени:Р (г, t)= p { x , у, z, ЩДля вывода основного уравнения гидродинамики мы применим начало Даламбера, по которому, если ко всем внешним силам, действующим на точки системы, присоединить еще силы инерции, то полученнаясистема сил будет находиться в равновесии и, следовательно, ее главный вектор, т. е. геометрическая сумма сил системы, будет равнятьсянулю.Обозначим через F внешнюю силу (как например силу тяжести),отнесенную к единице массы, и применим начало Даламбера к системежидких частиц, заполняющих объем V; рассмотрим элемент dV этогообъема; масса этого элемента объема равна рdV; внешняя сила, действующая на этот элемент объема, будет равна pF dV, а сила инерциибудетсила инерции равна взятому с о знаком минус произведению из массы частицыПоэтомуглавный вектор массовых сил и сил инерции будет равенС dxIVpFiV — j№ v-VН о на частицы объемаV действуют, как было выяснено выше,еще поверхностные силы, которые по отношению к частицам объема УВ ек торны й анализ168должны тоже рассматриваться, как внешние силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
