1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Таким образом в каждой точке про­странства мы имеем как бы источник (положительный или отрицательный)возникновения жидкости, и div а служит мерой обильности этого источника.Рассмотрим поле скоростей действительной несжимаемой жидкости.В этом случае объем жидкости, выходящей через какую-нибудь поверхность,всегда равняется объему входящей, полный поток равен нулю и потомуd iv a =0.Это уравнение называется в гидродинамикености несжимаемой жидкости.(16)уравнением неразрыв­Векторные поля, у которых div а = 0, имеют важное значение и на­зываются с в о б о д н ы м ио т и с т о ч н и к о в или с о л е н о н д а л ь ными, т. е.

трубчатыми. Последнее название связано с тем обстоятель­ством, что в соленоидальном полевекторные линии не могут нигдени начинаться, ни кончаться; они |могут уходить в бесконечность или^быть замкнутыми.Чтобы показать это, докажемследующее основное свойство соленоидальных векторов: длясоле-ноидального вектора потоквектора через любое попереч­ное сечение векторной трубки -■имеет одну и ту же величину.Для доказательства рассмотримвекторную трубку, ограниченнуюЧерт.

25.боковой поверхностью j ' (черт. 52).Пересечем эту трубку двумя поперечными сечениями 2 и 2 , и рассмотримзамкнутую поверхность S, образованную сечениями 2 , 2 i и частью бо­ковой поверхности трубки 2 ', заключенной между 2 и Е,. Обозначячерез V объем, лежащий внутри поверхности S, и применяя к этомуобъему теорему Гаусса, найдем, что<§andS =afd iv a rfK ,vно по условиюdiv а = О,следовательно, объемный интеграл обращается в0,а значит и(j) andS = О,или, что то же самоеsJ andS + J andS + f andS =Iv0.I,10148В ек торны йанализН о на поверхности £ ' мы имеем а я « = 0 , ибо вектор а в точке по­верхности 2 ' направлен по касательной к векторной линии, лежащей наэтой поверхности и, следовательно, составляет с нормалью п к этойповерхности £ ' угол в 90°.

На поверхностях 2 инаправления внеш­ней нормали различны; изменим поэтому направление нормали у поверх­ности 2 на прямо противоположное, тогда и значение потока вектораf a.dSизменит свой знак, поэтому окончательно получаемчто и доказывает высказанное выше свойство соленоидального вектора.Так как поток/andSдает число векторных линий, проходящих через£сечение £ , и так как мы получили, что это число вдоль векторной трубкине меняется, то отсюда и вытекает, что в соленоидальном поле вектор­ные линии нигде не могут ни начинаться, ни кончаться.Очень близко к только что доказанному свойству соленоидальноговектора еще другое его свойство. А именно, возьмем какой-нибудь кон­тур L, и пусть две поверхности S и Sx опираются на этот контур.Докажем, что потоки соленоидального вектора а через эти двеповерхности равны между собой, если поеерхностъ, Sx можетбыть непрерывной деформацией переведена в поверхность S иесли после этой деформации направления нормалей к поверх­ностям S и S j совпадут.

Доказательство опять основывается на при­менении формулы Гаусса к объему V, ограниченному поверхностями 5и 5 ,; если, например, нормаль к поверхности Sx является для объемарнешней, а нормаль к S — внутренней, то мы будем иметьи так как в нашем случае левая часть равна нулю, то и правая частьравна нулю, что и требовалось доказать.Доказанная теорема аналогична теореме о независимости криволиней­ного интеграла потенциального вектора от пути интегрирования, потомучто она может быть высказана еще в такой форме:Если вектор а соленоидальный, то поток этого векторачерез любую поверхность S, натянутую на заданный контур L,не зависит от вида этой поверхности, а только от контура L.Однако теорема о том, что криволинейный интеграл от потенциаль­ного вектора по замкнутому контуру равен нулю, справедлива толькодля случая односвязного пространства.

Аналогично этому доказаннаятолько-что теорема справедлива только для случая таких областей,ПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ149в которых всякая поверхность типа сферической поверхностиможет быть стянута в точку, не выходя из пределов области.Рассмотрим два примера. Пространство, заключенное между двумясферами Sx и Sv не принадлежит к этому классу областей, ибо, есливзять сферическую поверхность, расположенную между 5 , и S2, то еенельзя стянуть непрерывной деформацией в нашей области в точку.Однако, это пространство будет односвязным, ибо всякая замкнутаякривая в этой области может быть стянута в точку. Другим примеромявляется кольцо (черт. 53); мы уже знаем, что эта область двусвязна, однако,легко сообразить, что эта область будет принадлежать к вышеуказан­ному классу областей.8.Д о сих пор мыпредполагали расхождениевектора непрерывной ко­нечной функцией поля.Во многих случаях прихо­дится, однако, иметь делос таким распределениемвектора а, что объем V,в котором происходит инЧерт.

53.тенсивноеобразование(или уничтожение) жидкости (при интерпретации поля жидкостью), имееточень малую толщину, так что математически мы можем заменить егоповерхностью. В других случаях он сводится даже к линиям и точкам.Такие точки называются и с т о ч н и к а м и или с т о к а м и , смотря по тому,образуется в них жидкость или уничтожается.Разберем в качестве типичного примера, каково будет поле потен­циального вектора, расхождение которого всюду, кроме начала коорди­нат, равно нулю; в начале же координат пусть находится источникс обильностью е, так что каждую единицу времени из этого источникавытекает е единиц жидкости. Таким образом поток вектора а через бес­конечно малую замкнутую поверхность s0, окружающую начало коорди­нат, равен е. Покажем, что поток через любую поверхность S, окру­жающую начало координат, равен е.

В самом деле, применим теорему Га­усса ( 1 2 ) к объему, заключенному между поверхностями s0 и S. Так какdiv а = 0 , то объемный интеграл пропадает. Поверхностный же интегралчерез поверхность s 0 равен, очевидно, — е, потому что теперь за направлениевнешней нормали к поверхности s0 надо принимать то, которое смотрит внутрьобъема, ограниченного поверхностью s0 и содержащего начало координат.ПоэтомушГaad S = e .(17)По условию вектор а потенциальныйа = grad »и естественно по симметрии считать <р функцией толькоН о тогдага = grad <р — <р'(г)Грасстояния г.150В ек торны й анализВозьмем в формуле(17)за поверхность 5 поверхностьсферы ра­диуса г с центром в начале координат, тогдапоток вектора будет 4кг\'(г)‘, значит4 « V M = e,откуда---- -VTrИтак.I = grad I4ir r /4irr3 ’4«a® *Изучим поле полученного вектора а несколько подробнее.

Прове­рим, прежде всего, что этот вектор является соленоидальным. В самомделе, для проекций его мы имеем, очевидно, выраженияех*4тс/ ’3 ’*-еуez1 _о »4irг3 **4icr3и поэтомуйахdxg4кг3__ Зех дг___ е4 лл4 dx4 ттл3Ъех х___ е(г2 — Зл:2)4 ка4 г4 ка 5*дау __с(г 2 — Зу2)dy4irr5*д а , __ e(r%— З 2 2)dz4тгг 5*отиуда^(Зг2 — З а;3— 3 у3 — Зг2)div а = —------- -— -- :4жг50.Полученный вектор имеет особенность в начале координат, поэтомуобластью его задания мы должны считать все пространство с выключен­ным началом координат. Н о такое пространство не принадлежит к ука­занному в конце предыдущего пункта классу областей.

Этим объясняется,что в то время как поток вектора а через замкнутую поверхность, незаключающую внутри себя начала координат, будет по теореме Гауссаобращаться в нуль:(j) andS =ёfdivarfV r=0,sпоток через поверхность, содержащую внутри себя начало координат,будет отличен от нуля и будет равен е.Общий характер поля, доставляемого источником и стоком, ясен изчерт. 54.П ОТОКВЕКТОРА ЧЕРЕЗ151ПОВЕРХНОСТЬВекторными линиями служат прямые, проходящие через источник илисток, причем величина вектора изменяется обратно пропорционально квад­рату расстояния точки до источника или стока.

Значение потока векторачерез бесконечно малую поверхность, охватывающую источник или сток,будем называть обильностью, мощностью или интенсивностьюисточника.\ 1/^/ |\/, \!*СТОНИСТОЧНИКЧерт. 54.Если мы имеем систему п точек Мх, М 2, . . . , Л1п с обильностямиех, е2, . . ., еп, и если расстояния точки М(г) от этих точек об о­значить через гх, /*2, . .то потенциальное полеa (r) = grad ( -4^-4^—--4%;)08)имеет расхождение, всюду равное нулю, за исключением указанных tiисточников.Рассмотрим замкнутую поверхность 5 и пусть часть точек М 1гМ 2, .

. . , Л1„ лежит внутри ее; тогда поток вектора а через 5 равенсумме обильностей тех источников, которые лежат внутри 5 :(19)агде сумма распространяется по тем источникам,которыележат внутриS. В самом деле, окружим эти источники малыми сферами я, и приме­ним теорему Гаусса (12) к объему, получающемуся выделением из п ро­странства внутри S малых шариков, ограниченных сферами s,. Так каквнутри этого объема div а — 0 , то полный поток через 5 и через всеповерхностиравен нулю, но, как было выяснено выше, поток вектораа через s, равен — et ; поэтомуf andS —а4 это и есть формула (19),2 4 = 0,(20)162В екторный анализСравнивая эту формулу с формулой Гаусса^ andS =f diva dV.мы можем сказать, что в элементе объема dV находится источник ин­тенсивности diva dV. Таким образом, мы приходим к выводу, чтоdiva дает меру интенсивности источников, непрерывно распределенныхпо пространству и отнесенных к единице объема.Задача 104.

Доказать, чтоdiv (ах -f" аа) = div ах -f- div аа.Задача 105. Вычислить div г.div г =дх , ду , дг _4- W-4- -ч- =» 3.дх ду 1 дгЗадача 106. Вычислить div(сза), гденая функция поля.," .дх * ду * дгдаи . дф , да. , <Эфд у + Т у а‘ + г Ж + Зг “ •49— скалярная, а — вектор-]™дх * дх я */ да. . да„ .

даА ,("3* + Т у + ~di) ++ ^ a.+ P yat + ^ <*. = ? d™ а +9. a).IЗадача 107. Вычислить div(rc) и div (г2с), где с постоянный*вектор.Ответ: div (rc) = ^Су —, div (/^с) =2(с, г).Задача 108. Вычислить div(ar), где а — постоянный скаляр.Ответ: div(ar) = 3ot.Задача 109. Вычислить divdiv i= ± divr + (r, g «d - i- )= j +( r.

=i= A .Задача 110. Вычислить divb(r, a), div г (г, а), где а и b — по­стоянные векторы.Ответ: divb(r, а) = (а, b), div г (г, а) = 4 (г, а).Задача 111. Вычислить расхождение в поле скоростей и ускоренийв движении твердого тела.По формулам (53) и (55) § 9:V = V0 -f-[w,rJ.W — W0 -f* [®. Г] 4- [ю, К г] 1 — w 0 -f- [», Г] -f- ю («>, г) — г (» ,« ),О ператор Г амильтона153Вычислим div [а, г], где а — постоянный вектор,1а , г], = а уг — a y , [a,div [а’ T]= ~ter]y=a ^ c — axz, [а, г]г= а яу — а ух ,— в«У) +~ду(а’х ~+ ~dz ^ хУ ~ а*х) “ °»поэтомуdiv V = div v 0 -j- div [to, r] = 0,div w =* div w 0 -}- div [to, r] -f- div to (to, r) — div r (to, to),но по задачам110и 108div to (to, r) = (to, to) = o)2,div r (to, to) = 3 (to, to) = 3m3,■оэтомуdiv w = <»a — 3<d9 =д — 2 a)2.Задача 112.

Характеристики

Список файлов книги