1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Бели контур AI0LM пересекает сечение £ два раза в направлении, указанномстрелкой, и не пересекает этого сечения в обратном направлении, то,как легко убедиться, окажется, чтоГ (a, dr) = 9#(М ) - f 2[*.MoLMНаиболее общим выражением для криволинейного интеграла по путиA10LM будетJUГ (a, d r) = 9o(Af) - f Я|1,„( 4)itfaгде n — целое число, положительное, отрицательное или нуль.чина |х называется при этом ц и к л и ч е с к о й п о с т о я н н о й .Если бы область была трехсвязной, то мы получили бы, чтоВелииJ'м.(a,dr) = 9о(Л4) -|--j~^ # 2»(б)где jix и (ia — циклические постоянные, а л, и п2 — целые числа.
Конечно, в некоторых случаях циклические постоянные могут обращатьсяи в нуль.Наконец, последнее замечание, которое мы сделаем относительнорешения уравнения (1), таково. Общим решением уравнения (1) являетсям9 (Ж ) =f (а, <*г) + С,( 6)О п ред ел ен и евекто рапоегови хрю223и ра с хо ж д ен и югде С — произвольная постоянная.
В самом деле, составим разностьм(a,=d r),где ср — общее решение уравнения (1), тогда будем иметьлgrad ф= grad со— grad /Д(откуда и вытекает, что(a,d r) = а — а = 0,= const.Задача 155. Пусть задано поле вектора а:*— 4xv(х* -f у2)* — 2 (л? — у 2) - f 1*2 (л;2— j/ 2 — 1)“ (л:2+ ,у а)а — 2 (л;2— j/2) + 1'а.
— 0 .Выяснить, имеет ли уравнение grad ер= арешение и, если имеет, то найти ер.2уО т в е т . 9 = arctg ^^ . Две циклические постоянные, обе равные 2тс.2.Основным содержанием этого параграфабудет решение задачи об определении вектора а, если известны его расхождение divaи его вихрь rota.Постараемся прежде всего выяснить, чтоименно нужно задать для того, чтобы можнобыло полностью определить вектор а.Пусть мы имеем область V , ограниченную поверхностью S (черт. 65).Пусть во всех точках внутри этой области заданы расхождение и вихрьвектора а:div а = р (х, у , г),(7)rot а == w (х, у , г),( 8)пусть, кроме того, во всех точках поверхности S известны значения нормальной составляющей вектора а:ап— /(М ) на поверхности S.(9)Докажем, что условиями (7), ( 8) и (9) вектор а определяется единственным образом, т.
е. что не может быть двух различных векторов а 1и а2, которые удовлетворяли бы всем условиям (7), ( 8), (9).224Векторный анализВ самом деле, допустим существование двух векторов ах и а2, длякоторыхdiva 1= p, diva2= p внутри V,r o ta }» to, rota2 = w внутри V,aln = f(M ), a2n= f(M ) на поверхности S.Составим разность векторов at и а2:b = aj — а2;тогда вектор Ъ будет очевидно удовлетворять следующим условиям:div b = div ах— div а2= р— р = 0rot b = rot ах— rot а2= ад— ь>= 0внутри V,внутри V,Ьп= а1п— а2п= f(M ) — /(М ) = 0 на 5.Так как rot b = 0, то b есть вектор потенциальный:b = grad <р,но тогда условие divb = 0 дает нам, чтоД<р= 0 внутри V,а условие Ьп= 0 на S приводит нас к равенству| | = 0н а 5.( 12)Применим теперь формулу (18) § 17:J [срД<р+ (grad ср)2] d V = <£<?^dSТ(13)8В виду условий ( 11) и ( 12) это равенство дает нам, чтои, следовательно,т.
е. по ( 10)J (gradcp)8 d V — 0vЩ(14)[<Р= °,(15)0.(16)Ь=Следовательно, вектора а* и а2, удовлетворяющие условиям (7), ( 8) и (9),не могут быть различными между собой;О п р ед ел ен и е в е к т о р апоего вихрюи расхождению22$При этом мы предполагаем как здесь, так и в дальнейшем, что область V может быть разложена на конечное число частей, в каждой изкоторых функции р и ь) равномерно непрерывны, также как и их частные производные. Точно также и про искомый вектор а мы будемпредполагать, что сам он всюду непрерывен, а его производные могуттерпеть разрыв только на конечном числе поверхностей.
При этих условиях мы, очевидно, имеем полное право применять формулу (13).3.Итак мы должны решить следующую задачу: найти векгор а, удовлетворяющий системе уравненийdiv а = р (х,у, z)внутри V,rota — to(х ,у ,z)внутри V,ап— f{M ) на поверхности S.jГ(17)jЗаметим, что эта система не всегда имеет решение. Для возможностирешения функции p (x ,y,z), ta(x,y,z) и f(M ) должны удовлетворятьнекоторым условиям. В самом деле мы имеем следующие тождестваdiv rot а = О,Гd iva d V = § a ndS.Подставляя сюда вместо rota, diva и ап их значения, даваемыеформулами (17), мы приходим к условиямdiv « о = 0,Г PdV = § f(M )d S ,V(18)sкоторым необходимо должны удовлетворять функции р, » и /, для того,чтобы система (17) могла иметь решение.Мы будем решать нашу задачу в три приема.
Сначала мы постараемсяотыскать такой вектор а*, который удовлетворяет системе уравненийdiv aj = рrot ах= 0 .(19)Из последнего уравнения следует, чтоat = grad ®,(20)а тогда из первого уравнения получаем, что— Р*(21)Уравнение (21) носит название у р а в н е н и я П у а с с о н а . В случаеограниченной области нам достаточно удовлетворить этому уравненияН. В , К о ч и н , — Ввкторнвв игтаоквнвв15ВйЧТОРНЫЙ АНАЛИЗ226только в точках области К Однако, решив уравнение (21) для случаявсего бесконечного пространства, мы получим одновременно и решениедля любой ограниченной области. В самом деле, если нам известны значения р Только в точках области V , то мы можем произвольно их задатьвне области V (например, положить равными нулю).
Решив уравнение (21)для всего бесконечного пространства, мы получим функцию ю, котораявсюду, а в частности и в точках области V, удовлетворяет уравнению ( 21).Итак, нам нужно будет решить уравнение Пуассона (21) для случаябес? онечного пространства.На втором этапе решения нашей задачи мы будем отыскивать такойвектор а^ который удовлетворяет системе уравненийd iv a » = ° 'rot а 2 = о».еIJ( 22)Из первого из этих уравнений следует, чтоа2 = rot А,(23)а тогда из второго уравнения ( 22) получается, чтоj*rotrotA = w.Применяя формулу (26) § 17, найдем, чтоgrad div А — А А — to.(24)Мы увидим, что не нарушая общности, можно будет принятьdiv А = О,тогда уравнение (24) приводится к видуА А = — о).(25)Это векторное уравнение разбивается на три скалярных уравненияДЛв = — а)в ,ААу = — о>у, АЛ, = — ®,,(26)где ®в , а>у, ш§— известные, а Ах, Ау, At — искомые функции. Уравнения (26) являются уравнениями Пуассона, так что мы сможем перенести те результаты, которые будут нами получены при решении уравнения (21), и на случай векторного уравнения Пуассона (25).
Для случая бесконечного пространства вектора = ах-f а2будет, очевидно, в силу (19) и (22), удовлетворять обоим уравнениямdiv а = р,rot а = со,Определение вектора по его вихрю и расхождению22?В случае конечной области V мы вычислим значения нормальныхсоставляющих векторов а, и аа на поверхности S :<*!• — Л (Л 0 »и составим затем функцию точки поверхностиUM)-/(Л*) -ММ) -им).Третьего частью решения нашей задачи будет тогда отыскание такоговектора ав, который удовлетворяет системеdiv а 3 = 0внутри Vrot а 3 = 0внутри V(27)<hп= fa(M ) на 5.Из второго уравнения этой системы следует, что•» = grad ф,(28)а тогда из первого уравнения мы получим, чтоДф = 0 ,(29)так что ф удовлетворяет у р а в н е н и ю Л а п л а с а .
Последнее из условий (27) в силу (28) приводит нас к равенству= /щ(М) на поверхности S.Определение функции ф, удовлетворяющей уравнению Лапласа, иу которой производная по нормали на заданной поверхности 5 принимаетзаданные значения, называется з а д а ч е й Н е й м а н а . Эта задача имеетчрезвычайно важное значение в гидродинамике. В задаче 152 мы имеликак раз гидродинамический пример, приводящий, как легко убедиться,к задаче Неймана.Итак, на третьем этапе решения нашей задачи нам нужно будет решить задачу Неймана. Отметим попутно, что аналогичной задаче Неймана является так называемая задача Д и р и х л е , состоящая в определении функцииудовлетворяющей уравнению Лапласа (29) и принимающей заданные значения на поверхности S:у = /(М ) на поверхности S .Мы имели пример решения задачи Дирихле в задаче 154, относящейся к области теории теплопроводности.Легко теперь видеть, что в случае конечной области векторa = a ,- fa 3- fa ,15*223В екторны йанализбудет удовлетворять всем уравнениям системы (17) и, в силу теоремыединственности, будет единственным решением этой системы.4.Переходя к ргшению первой из трех стоящих перед нами задамы дадим сначала простое, имеющее физический характер, но в некоторой степени нестрогое решение этой задачи.Итак, нам нужно найти поле потенциального вектораа = grad <?,(30)аная во всякой точке пространства его расхождениеdiva = p (x ,y,z),(31)где p (x ,y,z) заданная непрерывная вместе со своими первыми производными (кроме, быть может, конечного числа поверхностей) функция.Как мы видели, эта задача эквивалентна решению уравнения ПуассонаД? = р(дг,y ,z ).(32)Заметим, что мы всегда в случае бесконечной области будем предполагать, что функция р (х, у, г) очень быстро делается очень малой, когдарасстояние R = У х 'л-\-у'л-\-г* точки М от начала координат делаетсяочень большим.
А именно, мы будем предполагать, что при R —>оовеличина R 2+Xp, где X есть положительное число, лежащее между 0 и 1,остается ограниченней| R*+Xp | < А при Rоо,(33)где А — конечная величина и 0 < X < 1.В § 14 мы нашли решение рассматриваемой задачи в том частномслучае, когда расхождение всюду равно нулю, за исключением п точекМ х, М 2, • . . М п, в которых находятся источники с обильностями ех,е2, . . . еп , причем для функции <р мы нашли выражениеПгде г4— расстояние от точки М (х,у, z) до точки М { (Е„ tj„ С4), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
