1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 39
Текст из файла (страница 39)
е. нужно решить задачу Неймана.Заметим, что в силу условия (1 0 9 ) и в силу теоремы Гаусса мы имеемравенство§<ondS = 0 .s(1 1 5 )В теории потенциала показывается, что гармоническая вне объема Vфункция х , удовлетворяющая на поверхности S, ограничивающей »тотобъем, условию (113), в котором функция а>„ обладает свойством (115),будет удовлетворять следующему условию на бесконечности|Я 3 grad х (5, ■*), С) | < Ж ,I(116)где М — конечная величина. Мы видим, что вектор w = grad х удовлетворяет вне объема V всем поставленным требованиям.Векторb (Я ) = grad <р—j—rot Аобладает, очевидно, следующими свойствамиdiv b = р внутриrot b = ю внутриV,V.J, 117jJОстается выполнить последнее условие (107).bn(М) =дерСоставим для этогоrot„ А на поверхностиSи положим затеиF (M )= f(M ) — Ьп(М)на поверхностиОпределим теперь гармоническую внутри объемаS.V функциюЩ = 0,для которой=на поверхностиS.Заметим при этом, что условие (1 06) выполняется, ибо|F(M) d S = § f ( M ) d S - § bn(M)dS =•(1 18)<|»254В екто рн ы йанализтак как в силу (108)jf ( M ) d S =aJP (S ,ii,C ) dV - f b fd V -< £ ^ d S ,и кроме того тождественно§rot„ A dS =0.аПоэтому по формуле (1 0 5 ) определим гармоническую4я vИ(Р, M)F(M)dS.Так какdiv grad»}» — 0 внутриrot grad= 0 внутри- ~ = F(M)V,V,функцию ф(1 1 9 )( 120)на поверхности 5то из (1 1 7 ), (1 1 8 ) и (1 2 0 ) ясно, что функция (1 1 0 ) дает решение системы (1 0 7 ).В силу теоремы единственности, другого решения поставленной задачи, отличного от найденного решения ( 110 ), не существует.Теорию, развитую в эгом параграфе, можно рассмотреть и для случаяплоского поля, т.
е. поля векторов а, параллельных плоскости ху изависящих только от координат х, у. При этом получаются совершенноаналогичные вышеприведенным результаты; мы предлагаем в качествеупражнения доказать некоторые из них.Задача 156. Какая функция расстояния г между двумя точкамиР (х, у) и Q (£, т]) является решением уравнения Лапласа в плоскости?О т в е т , l g г.'Задача 157. Найти аналог формуле (43) для случая плоского поля.Ответ.¥ (Я)Щ* £ А<?Ig rdSp^kf ' gr^ ‘ f f c l §;Ш7 ^ т* ,(121)где S — область, ограниченная контуром С, внутри которой лежит точкаг=FQ.Задача 158.Р;Какой вид имеет решение уравнения Пуассона на плоскостиА<р= р(х,у).От ве т.<р (Р) = ^Jp(5, т))l g rd\d\( 122 )(1 2 3 )Р а зли ч н ы евекторн ы е255поляЗадача 159.
Пусть во всей бесконечной плоскости заданы вихрь ирасхождение вектора а:да,даидаУдая(124)r o ta “Определить вектор а.Ответ.дудх__а*гдеу(хд'!/__ дуду ’ йу ду, у)=^dtyдх *j'£ij)\grdl di\.(1 25)Задача 160. Вывести для задачи Дирихле на плоскости формулуаналогичную (97) и показать, что для круга решение задачи Дирихледается интегралом Пуассона,Г> « ч _ 1 Гf*2irJоУ(а, 6) (да-/УОЛТа а — 2 а /? cos ( 6- 6') -f-tfa ‘**§ 20. Различные векторны е поля.
П оверхностные расхож дение и вихрь.1.До сих пор мы рассматривали преимущественно непрерывные ска*лярные и векторные поля. Теперь мы рассмотрим несколько случаев,когда изучаемые скалярные или векторные функции терпят разрывнепрерывности в некоторых точках, на некоторых линиях или на неко*торых поверхностях.Один пример такого рода мы имели в § 14 при рассмотрении вопроса об источниках.
Мы видели там, что если в некоторой точке, например, в начале координат, находится источник обильности е, и еслив других точках пространства нет ни вихрей, ни источников, то векторное поле будет потенциальным и будет определяться формулой256Векто рн ы йанализЕсли бы источник обильности е находился не в начале координат,а в точке Q , то поле определялось бы той же формулой (3 ); при этом,если вектор а определяется в точке Р, то следует положить г = QP.Если координаты точки Р суть х, у, Z, а координаты точки Q сутьЕ, ч, С, то________ '_______________ ,г = У(АГ— 5)2-h (v— г])34 -(^ — С)3.(4)2.Рассмотрим еще один пример аналогичного рода. Д опустим , чтов точке Q находится источник обильности — е, в бесконечно ж е близкой точке Q*, координаты которой суть S - f -ds, т( - j - dr\, С 4 - dt.
находится источник обильности |{1 е\ длину бесконечномалоговектора Q Q ' обозначимчерез в, орт этоговектора через s lf так что QQ' = e s t. Допустим далее,что обильность источников е бесконечно велика,причем произведение е • QQ' = ш остается конечным.Совокупность источников е и — е в точках Q и Q'называют в этом случае дублетом, а вектор mCS4называют моментом дублета. Такую примернокартину мы имеем в случае магнита, когда рассматривается магнитное поле на расстояниях, большихпо сравнению с длиной магнита.Предполагая, что кроме дублета никаких других источников нет,и что нет также и вихрей, найдем векторное поле, производимое дублетом момента ш , находящимся в точке Q.И з формулы (2 ) очевидно, что в настоящем случае 'grades,причем4S f§норазность—f| ЦЦ4^\11г'г(5)1------— представляет собою приращение функции— , когда точка Q перемещается в положение Q'; значит, рассматривая г какфункцию точки Q , будем иметь по формуле (1 1 ) § 1 2 :y r —y = = f l r ( y ) = (0Q'> g“»dQy j ,(6)причем мы у знака grad поставили значок Q, чтобы указать, что г рассматривается как функция точки Q , точка же Р остается неизменной.Вставляя ( 6 ) в формулу (5 ), получим:Р а зл и ч н ы е1■'"Тили, так каке QQ'=mвекто рн ы е257поляесть момент дублета:T = _ J - ( m , g r a de- i ) .(7 )Вспомним теперь формулу (5 4 ) § 19:grad0— = — grad .
Д .(8)Поэтому функция <р, характеризующая поле дублета, может быть написана в таком виде:(9)? = М т,ега^ 7 7Обозначим далее величину момента дублета через т, а угол, составляемый направлением момента дублета с г, через а ; так какАgradp -1= -Г— ,то из формулы (9) получим еще такое выражение для <р:* —1кт cos а>. л.•<10>3.Рассмотрим теперь тот случай, когда источники распределены понекоторой поверхности (пример — распределение электрических зарядовна поверхности проводника).Если плотность источников в точке Q поверхности Б обозначитьчерез а, то это обозначает, что на элементе поверхности rfS, окружающем точку Q (черт. 6 9 ), находится источник обильности е = о dL. Векторное поле, происходящее от всехтаких источников, будет очевидно даваться той жеформулойа = grad <р,причем теперь1 Г ad%. ,*—a j —Щ’<п >Черт. 69.ибо функции <р, происходящие от отдельных источников, очевидно нужносложить.
Выражение ( 11) было названо в предыдущем параграфе потенциалом простого слоя.В § 14 мы видели, что расхождение вектора а есть обильность находящихся в поле источников, отнесенная к единице объема. В настоящем случае основную роль играет плотность источников, распределенныхпо поверхности £ . Эту плотность естественно поэтому назвать п о в е р х н о с т н ы м р а с х о ж д е н и е м вектора а.Н.
КК о ч и в. — Векторное исчисление17258Векто рн ы йанализВ § 14 нами была установлена формула Гауссаa ndS = Id iv a dV,(1 2 )Vустанавливающая равенство между потоком вектора а через замкнутуюповерхность S , ограничивающую объем V, и распространенным по этомуобъему интегралом от расхождения вектора а, представляющим суммуобильностей всех источников, находящихся внутри S.Применим эту формулу к нашему случаю, когда <р определяется формулой ( 11 ), и возьмем поверхность 5 следующего вида.Проведем в точке Q нормаль п к поверхности £ исместим элемент поверхности d £ параллельно самому себев направлении нормали п в обе стороны от поверхности £на бесконечно малое расстояние. При этом смещенииэлемент d £ опишет заштрихованный на черт.
7 0 объем,который мы и примем за V, а поверхность, его ограничивающую, примем за S. Обильность источников, находящихся внутри S, равна очевидно o d £ . Различим теперьдве стороны поверхности £ : положительную, прилегающуюЧерт. 70.к области, в которую направлена нормаль п, и отрицательную. Поток через положительное основание объема V равеночевидно а„ dE, поток через отрицательное основание равен — a~dX>\потоком через боковую поверхность объема V мы можем пренебречь,если высоту цилиндрического объема V возьмем очень малой в сравнениис другими его размерами; поэтому полный поток через поверхность Sбудет равен jdl> (а„+ —а п~ )и из формулы Гаусса мы получаем равенство:d £ ( a + - a , - ) = °dZ ,откудао=ра п+ — а ~= (п, а + — а “ ) .(1 3 )Таким образом поверхностное расхождение равноразности нормальных составляющих вектора а с двух\/сторон поверхности, по которой распределены источ\/с(ники.
Отсюда мы заключаем, что если вектор а нанекоторой поверхности £ терпит разрыв в нормальнойук этой поверхности составляющей, то мы можем при- |/писать этот разрыв вектора а наличию источников,/распределенных по поверхности Е.4.Рассмотрим теперь тот сЧерт. 71.верхности £ распределены дублеты с плотностью т],причем в каждой точке Q поверхности £ момент >дублета m направлен по нормали пг к поверхности (черт. 71), так чтоm = m lit. В этом случае, так как момент дублета, отвечающего элементу поверхности d t, равен очевидно /n = i]d £ , получим, восполь-г/Р азли чн ы е векторны е поля25 9зовавшись формулой ( 7 ) и тем , ч то1(n i.g r a d g i- )дпследующ ее выражение для потенциала <рЭ то выражение было нами названо в предыдущем параграфе потенция*лом двойного слоя.
Если ж е исходить и з формулы (1 0 ) , то найдем следующее выражение для <р:1 Г ч\cos а<р = — — I -±—- —4те Jг2_dZ .(1 4 )т_cos аdZВыражение — ——имеет простой геометрический см ы сл: это есть телесный угол dQ, под к оторым площадка дШ видна из точки Р (черт. 7 2 ).В самом деле, соединяя точку Р с кривой, ограничивающей элемент поверхности dZ, мы получимтелесный угол dQ. Проведем из точки Р, какиз центра, сферу радиуса г. Подобно тому, какугол измеряется в радианах отношением длиныдуги к радиусу, телесный угол dQ измеряетсяОтношением площади элемента сферы dL' к квадрату радиуса г3, т.
е.-2 »но очевидно, чтоdZ' =(№ •cos а, поэтому и получается*dZ • cos оdQ — -------- =------ •(1 5 )Отметим, что если угол « тупой, то dQ получается отрицательным,но ясно, что угол а будет острым и, следовательно, dQ положительнымв том случае, когда из точки Р видна положительная сторона элементаЙ 2; в том же случае, когда из точки Р видна отрицательная сторона этогоэлемента, угол а будет тупым, а элемент dQ отрицательным. С ледовательно знак dQ показывает, видна ли из точки Р положительная илиотрицательная сторона элемента dZ.Формула (1 4 ) теперь может быть переписана в виде= —fndl2 .(16)7»260Векто рн ы йанализОстановимся теперь на том частном случае, когда плотность к] наповерхности Е всюду одинакова.
Тогда tj можно вынести за знак интега. Г dQ даст просто угол 2 , под которым вся поверхность виднаW_точки Р и окончательно получится следующая простая формула:рала,из<р= —~r\Q .(1 7 )Итак в случае равномерного распределения дублетов по поверхности £векторное поле определяется формулойа= —grad 2 ,(1 8 )где Q есть угол, под которым видна поверхность 2 из той точки Р,в которой определяется значение вектора а.Из (16) следует, что функция <р терпит на поверхности £ разрыв непрерывности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
