1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Из этой формулы видно, что поверхностная плотность вихрейчисленно равна касательной составляющей разрыва вектора а , причемсамые вихри перпендикулярны к этой составляющей.8.В качестве примера на применение полученных в этом параграфрезультатов рассмотрим некоторые вопросы электростатики.Мы видели ранее, что если обозначить электрический потенциал че­рез <р, то для напряжения электрического поля будем иметь выражениеЕ =— grad <р,(40)причемdiv Е = 4ир(4 1 )определяет нам плотность р объемных зарядов.Допустим теперь, что на некоторой поверхности 5 электрическаясила Е терпит разрыв в своей нормальной со­ставляющей ; вычислим этот разрыв и обозначимего через 4жо:E i n + E 2» = 4™^(4 2 )(мы берем в данном случае сумму нормальныхсоставляющих, а не разность, так как напраЧерт.

77.вления нормалей на обеих сторонах поверхности5 взяты нами, как показывает черт. 77, различ­ными). Ясно, что а можно принять за меру плотности электрическихзарядов, расположенных на поверхности S.Допустим, что кроме разрыва нормальной составляющей Е на поверх­ности S у нас никаких особенностей нет. Тогда, образуя сумму потен­циалаРа зли ч н ы евекторн ы е267поляраспространенного по всем объемным зарядам, и потенциалаrodSJs“ r•соответствующего поверхностным зарядам и дающего согласно формуле (13)как раз тот разрыв Е п, который определен формулой (4 2 ), мы получимполный электрический потенциалVSЕсли мы рассматриваем проводник, ограниченный поверхностью S, товнутри проводника электрическое поле отсутствует, т.

е. Е = 0 , а сле­довательно и проекция Е на внутреннюю нормаль к 5 равна нулю.Обозначим через Е п проекцию Е на внешнюю нормаль, а через а —поверхностную плотность зарядов (так как div Е = О, внутри провод­ника зарядов быть не может, все заряды сосредоточены на поверхностипроводника). Тогда из (4 2 ) будем иметь4тго = Е„ =*----- -,(4 4 )дпк 'Рассмотрим, например, такую задач у: в пространстве находятся k про­водников, ограниченных соответственно поверхностями 5 , , 5 а . . . , Sk.Этим проводникам сообщены заряды еи е2, . . .

ек. Никаких других за­рядов в пространстве нет. Требуется определить электрическую силув каждой точке пространства и распределение зарядов на проводниках.Так как объемные заряды отсутствуют, то согласно уравнениям (4 0 )и (4 1 ) электрический потенциал удовлетворяет уравнению ЛапласаД<р = 0:(45)Далее, так как внутри проводников Е = — grad <р= 0 и следова­тельно ф = const, то на поверхности каждого проводника потенциал Дол­жен принимать постоянное значение:<р= const =(р4 наповерхностиSt.(4 6 )Мы видим, что задача привелась к решению задачи Дирихле. Однаконужно иметь в виду, что числа <pt не даны нам, так как нам заданытолько заряды е{, которые определяются следующим образом,,- ^ ,d S = - ± ^ d S .(4 7 )Решив при этих условиях задачу Дирихле, по формулам (4 4 ) опре­делим распределение электричества на каждом проводнике.268В9.являетсяВекто рн ы йп.

1 мы указали,анализчто потенциаломполя одного источника♦--■ 5?!(48)далее в п. 2 , формула (7 ), мы нашли для потенциала поля дублета вы­ражение» =1 /j M- 4 r ( m ' 8 rade T j =т ^г-1h r<«)где s 1 есть направление момента дублета.Представим себе теперь, что мы имеем в двух бесконечно близкихточках Q a и Q 'a два дублета с прямо противоположными моментами — mи - f m и пусть Q aQ ' 2 = s s 2, где s 3 — единичный вектор, определяющийнаправление от Q 2 к Q '3, а е — расстояние между точками Q 3 и Q '2.Будем теперь сближать точки Q 2 и Q\ и одновременно будем так уве­личивать момент дублетов т , чтобы произведение т а стремилось бы к ко­нечной величине ^.Рассуждением, совершенно аналогичным тому, котороепривело нас к формуле (7 ), мы докажем, что в пределе получитсяфункцияk д д I. . п.4ir ds2 dst г *характеризующая поле квадруплета.

Очевидно, по тому же пути можноитти и дальше, строя различного рода мультиплеты.Так как функция — удовлетворяет уравнению ЛапласаА у = .0 ;„(5 1 )то и функции_^д 1 д д 1dsx г * ds3 dst г * " ’будут удовлетворять этому уравнению. Заметим при этом, что, полагаяГ = V (x -? ) » + ( у — 10* +д(z -Q *,1мы должны при образовании ^ — — и т. д. считать переменными коор­динаты Б, ij, С точки Q , а при вычислении Д? считать переменными коор­динаты X, у, z точки Р.Однако, так какU , grade i - J = s — f s j,g r a d pРа зли ч н ы евекто рн ы е269полято функции_д1dsl гд1дds2 dsx г’*.*••(5 3 )в которых переменными считаются всюду координаты точки Р (х, у, г),будут при четном числе диференцирований совпадать, а при нечетномчисле диференцирований будут только знаком отличаться от функций(5 2 ).

Положим для простоты 5 = tq = С = 0 и введем сферические коор­динаты г, 0,с центром в точке О.Функции (5 3 ) имеют следующий вид:ддdsk dSb-i’ *'д д \ = Yk(е, <10ds2 dst rrk+1Для доказательства заметим,имеемдФж-COS (S, г )дФ.’что в силу решения задачи (1 4 1 ), мы1cos (s , *)ТдФ .Ж +1« « (S, * ) Я ИдФ-Щ-'легко поэтому из формулыдд1dsk-* ” ' dsi rYk_t M )rk{вывести формулу (5 4 ) и, следовательно, по индукции заключить о спра­ведливости этой формулы (5 4 ). Полученные нами функции Yk ( 6, Ц но­сят название сферических функций.

Можно показать, что каждой сфе­рической функции соответствует свой мультиплет и обратно.10.В случае плоского поля, т. е. поля вектора а , параллельного пло­скости ху и независящего от координаты Z, все понятия, рассмотрен­ные в этом параграфе, сохраняют свою силу, конечно, соответственнымобразом видоизменяясь.Сделаем по этому поводу несколько замечаний.В п. 1 мы видели, что происходящий от источника обильности евектор а определяется формулойВозьмем теперь точку Q 0 (5, tj) плоскости ху и проведем через этуточку прямую, параллельную оси oz. Распределим на этой прямой ис­точники равномерно и притом так, чтобы на единицу длины приходилась обильность источников, равная е, и подсчитаем происходящее отэтих источников поле.

Совершенно очевидно, что это поле будет плоским.ВзявтеперьточкуР (х, у)и обозначив векторQqPчерез R, будем270Виметь, что r = | / C 2-f^/?2 >екто рн ы йr=анализR — Ск и, следовательно,е_ H R — Ск) д?Сa4 lt J—v ^ (/ ? * -j-c 2) 8 =(/? 2 + с 2Я *4ir J00—dtfgR00= _ gR Г___ L = l4 tc/?2 [ |/ / ^ 2 _j_C2 j(5 6 )2ir/?2СS — 00В ектора являетсяа—потенциальным векторомgrad <j>,(5 7 )причем(5 8 )РЧерт. 78.d iy g r a d l g ^ =Формулы ( 5 7 ) и ( 5 8 ) определяю т, каклегко ви деть, источник обильности е в точ кеQ 0 п лоскости ху.

В сам ом деле, вне и сточ­ника поле всю д у солен ои дальное, и бо в п л ос­к остиA l g T?д /‘0.Е сли ж е со стави ть поток век тор а а ч ер ез ок р у ж н ость радиуса R сцентром в т о ч к е Q 0, т о он ок аж ется равны м, в силу формулы ( 5 6 ) :з а• 2* « = е -М ы могли бы конечно ср а зу получить вы раж ение ( 5 8 ) для источникаобильности е , но мы хотел и п о к а за т ь , к ак к это м у вы раж ению м ож нопритти, и сходя и з источников в простр анстве.П оступая теперь аналогично том у, как мы эт о делали в п.

2 , м ож нопритти к потенциалу д ублета в п л о ск о ст и :‘<4=-^-С59)Точно также, рассматривая вихревую нить, параллельную оси 0 Z ,проходящую через точку Q0, напряжение которой равно Г , нетрудноубедиться, исходя из формул (2 9 ) и ( 3 1 ), что получится плоское полеРвектора а ,равноговназли ч н ы евекто рн ы е271полянаправленного перпендикулярно векторуRи по величине*ооГ sin adX.ГГ sin ad&a = l ^ J - 7 °— = n ; J —=Г— ооГ.(60)ОПолученное поле можно представить также в видеа=™grad 6,(6 1 )где 0 есть угол, составляемый вектором R с осью ОХ. Полученныеформулы определяют, как легко видеть, вихрь интенсивности Г в точкеQ 0 плоскости ху. В самом деле, из формулы (6 1 ) ясно, что вне этойточки поле всюду безвихревое.

Если же составить циркуляцию век­тора а по окружности радиуса R с центром в точке Q0, то она окажетсяравной, в силу формулы (6 0 ),й г а д = гОпять-таки, мы сразу могли бы написать выражение (6 0 ) для полявихря интенсивности Г на плоскости, но мы хотели показать, что к этомувыражению можно также притти, исходя из общих формул для поля,вызываемого вихревою нитью.11.Рассмотрим следующий пример, хорошо выясняющий понятиеповерхностного вихря.

Допустим, что мы имеем движение жидкости та­кого сор та: внутренность сферы радиуса R с центром в начале ко­ординат вращается с угловой скоростью ю около оси OZ, жидкостьже вне этой сферы находится в покое. Направляя вектор угловойскорости со по оси OZ, мы будем иметь для скорости жидкости внутрисферы выражение v = [ш, г ], для скорости жидкости вне сферы v = 0 .В соответствии с этим для вихря жидкости получим внутри сферы зна­чение rot v = 2&>, а вне сферы значение rot v = 0 . Поэтому вихревыелинии внутри сферы будут прямые линии, параллельные оси OZ, вне жесферы движение будет безвихревым. На первый взгляд кажется, что по­лучилось противоречие с доказанной в § 16 теоремой о том, что вихре­вые линии не могут внутри жидкости ни начинаться, ни кончаться. О д ­нако, это противоречие сразу падает, если только мы привлечем к рас­смотрению поверхностные вихри.Вводя сферические координаты г , 0, ф с центром в О и осью OZ,мы видим, что скорость жидкости терпит разрыв на сфере r = R , при­том равный по величине ®R sin 0 и направленный по параллели.

Как быловыяснено в п. 7, это означает, что поверхностный вихрь в точках сферынаправлен по меридиану и равен как раз W ? sin 0, т. е. увеличивается отполюса к экватору. Рассмотрим пояс сферы, показанный на черт. 7 9и расположенный между параллелями, для которых 0 принимает значения0 и 0 -|-й№. Легко видеть, что величина поверхности этого пояса равна272Векто рн ы йанализ2kR2 sin bdb, проекция же его на экваториальную плоскость ху равна2те/?а sin 6 cos 0fl?0.

Поэтому через этот пояс изнутри сферы выходят47to)/?a sin 8 cos bdb вихревых линий. Выйдя из сферы, они сейчас же за*гибаются вдоль меридиана, как показано на чертеже. В самом деле, черезверхнюю параллель пояса, соответствующую значению дополнения ши­роты, равному 6, проходит по вышесказанному W? sin 0 2 ir/? sin 0 == 2 тао/?3 sin2 0 вихревых линий, а черезнижнюю параллельбудет ужепрооод ! 2й ! <?(2 W ?2 sin 2 0)ходить 2 itw/?a sm 20 -f------------------------ db —2 *ш/?3 sin3 0 - j - 4 TC0)/?2 sin 0 cos bdb, т. e.на 4тсш/?2 sin 0 cos bdb вихревых линийбольше. Схематически вид вихревых линийи их относительная густота показаны начерт. 79.§ 21.

Характеристики

Список файлов книги