1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 36
Текст из файла (страница 36)
е.Мы показали далее, что в этом случае поток вектора а = grad ср,через всякую замкнутую поверхность S равен сумме обильностей техисточников, которые лежат внутри поверхностиЧтобы подойти к решению нашей задачи, разобьем все пространствона малые объемы Vit возьмем в каждом по точке M t (б,,С<) и по-поО п ределен и е вектор аиестим вфункцияМ{источникьсеговихрюel ’= V i pобильностью( * .* - « ) —и р асхо ж д ен и ю•%;i>i | , , С|).229Тогдаv.даст приближенное решение задачи.
Перейдем к пределу,устремив всеобъемы Vf к нулю; для о получится выражениег (Х, у , г ) - = -J ^ I'J’-—■(34)В этом интегралеr = V U — 5)* + СУ —— С)*и интегрировать надо по 5, ц и С. Покажем, что функция (34) дает решение задачи.В самом деле, если a = grad<p, то поток вектора через некоторую поверхность будетj a ndSlim j| |j| dS g lim 2'p’I» £ Ц “ J*| I E3но по теореме ГауссаУ * d iv a d V ,Fsследовательно,J ‘div&dV= J $dV\беря за V бесконечно малый объем, найдемdiv а ав р,что и требовалось доказать.Заметим, что при сделанных предположениях относительно функциир (х, у, z) интеграл (34) сходится.
На выяснении этого обстоятельствамы остановимся подробнее потом.Итак, при сделанных предположениях относительно р, решением уравнения Пуассона>V*<?=яр ( х , у , z ),а вместе с тем ипоставленной выше задачи, является:_ _ 1_4* JПолученное выражениеГP(S.
ч . O r f VгВ екто рн ы й230анализносит название объемного или Ньютонова потенциала и >имеет следующее физическое значение.Если в начале координат находится масса, равная т, и если в точкеЛ*(г) находится другая масса, равная т', то, при надлежащем выбореединиц массы, длины и времени, сила притяжения второй массы к первой будет, согласно закону Ньютона, представляться по величине и направлению выражениемтт ' гF -—wЭту силу можно, как легко убедиться, представить в виде_тт'F = grad - у - .Итак, сила притяжения по закону Ньютона имеет потенциал, равныйтт'Если притягиваемая масса равна единице, то дляпотенциала полутчается выражениеПусть теперь массы распределены непрерывно сплотностью р,тогда в элементе объема d V = d £ di\ d(.
будет находиться масса р (S, ■*), С) d V,и происходящий от этой элементарной массы потенциал в точке М ( x , y , z )будет равен.гдеr w i/_______ __________________________г=/0е—02+ (^ —^)2+ (г—Q2Производя интегрирование по всем массам, мытенциала притягивающих масс выражениеV (x ,y ,z ) =и получаем для по(3 5 )Итак grad Ф представляет силу, с которой массы, распределенныепо всему пространству с плотностью р, притягивают единичную массу,находящуюся в точке ( x , y , z ) .5.Теперь мы дадим более строгое решение задачи, поставленнов предыдущем пункте, для чего нам потребуется, однако, развить рядформул, имеющих чрезвычайно большую важность.В предыдущем пункте была выяснена важная роль, которую играетфункция — , где г естьрасстояние между двумя точками Р (х у , г)Определени еи Q (2, *), С):г = PQ =повектораеговихрюи р асхо ж д ен и ю231_______________________У Кх — 5)2 - f ( У ~ "О2+ ( * - Q2-(36)Заметим, прежде всего, что эта функция — удовлетворяет уравнении;ЛапласаА ~ = 0.(37)Для доказательства достаточно применить формулу (4 1 ) § 18, выбрав точку Q (S, irj, С) за начало сферических координат.
Точнее былобы писатьчтобы отметить, что при дифергнцировании считается переменнойточка Р, точка же Q остается постоянной. Конечно, справедлива и другая формулалвУ “ - ^ ( т ) + ^ г (т ) + д а (т ) = 0'в которой диференцирование производится по 5,тается неизменной.Возьмем теперь формулу Грина (2 0 ) § 17:г\,С, а точкаРсчи(3 8 )V8и применим ее к функции ©(S, rj, С), про которую мы, как всегда, будем предполагать, что она непрерывна вместе с первыми производными,и что ее вторые производные могут терпеть разрыв только на конечном числе поверхностей. За функцию жемы примемД НIУ (*—НW +U —tf+ te -wпричем х , у, z мы рассматриваем, как параметры, переменными же сч№таем S, т], С, так что в формуле (3 8 ) элемент объема есть dV — dl dr\ dt.Теперь нам необходимо различить два случая. Первым из них будечтот, когда точка Р (х, у , г) лежит вне объема V.
В этом случае функция— , рассматриваемая как функция точкиQ(5, т), С), будет непрерывнойи будет удовлетворять уравнению (3 7 ). Поэтому формула (3 8 ) дает нам(39)232Векто рн ы йанализРассмотрим теперь второй случай, когда точка Р лежит внутриобъема V. В этом случае мы не имеем права применять формулу (38),так как функ ция — , рассматриваемая, как функция переменной точкиQ,обращается в бесконечность при совпадении Q с Р. Чтобы избежать этогонеприятного обстоятельства, мы выделим точку Р малой сферой Е с цен*тром в точке Я и с раднусом е, который мызатем устремим к 0 (черт.
66 ). Применимтеперь формулу (38) не к области V, а к области Vt, получающейся из V путем выкидывания сферы радиуса е с центром в точке Р.Так как объем V ограничен не только поверхностью S, но и поверхностью Е, то поверхностный интеграл в формуле (38) будетЧерт. 66.теперь состоять из двух частей. К объемуVu формулу (38) применять можно, так какдля него точка Р является уже внешней (точка Р лежит внутри поверхности S, но вне объема V так как она вместе со своей окрестностьюне принадлежит этому объему).
Пользуясь опять формулой (37), получимТеперь устремим • к нулю и посмотрим, во что перейдет в предел*полученная формула. Отыщем прежде всего11 т»-»отак как на сфере 24 к»а, тоrf)уi—г dnфт дп dV:мы имеем г=*=е,I< — 4 м * •Мах•ги значит..Г 1 dvа площадьдпвсей сферы равна4 кг •МаххдодпО п р ед елен и е вектор авихрю и р асхо ж д ен и юпо его233Чтобы найти пределзаметим, чтокогда точка Q находится на сфере Е, то внешняяк объему Vt нормаль к £ будет направлена противоположно направлению радиуса вектора г (отложенного от точкиПоэтому11дл —д^ —гдп 3гдг~Рк точке Q: г =PQ).1г® *и так как на поверхности £ мы имеем г = в, то мы находим, чтодУдпг 1По теореме о среднем это выражение равногЩд7,='('Р)е, 14lt*a- 4lt.где Q j есть некоторая точка сферы 2 , и ©ж означает значение функцииМ.
Когда е -> 0, то точка Q j -> Р, и поэтому мы получаемчто9 в точкеГд(4 2 )XНаконец интегралЛИТ ВвИшлевой части формулы (4 0 )/"До\ ^ dv=.->о JКгJв пределе перехо-/»ДЭ/ =Z-dV\Г’Vпоэтому из формулы (4 0 ) путем предельного перехода е -> 0 и простыхалгебраических преобразований мы выводим формулу<4 3 >'234Векто рн ы йанализПервый член правой части называется,п о т е н ц и а л о м ; интеграл типаносит названиетипапотенциалакак мы знаем,простогослоя,объемнымнаконец, интегралsносит название п о т е н ц и а л а д в о й н о г о с л о я . Таким образом формула (4 3 ) дает представление любой функции ср (непрерывной вместе сосвоими первыми и вторыми производными) в виде суммы трех потен*циалов: объемного, простого слоя и двойного слоя.Если при г —*■оо, т.
е. при беспредельном удалении точки на бесконечность, функция ср стремится к нулю и притом так, что на сфере S#радиусаRс центром в начале координат выполняются неравенства(4 4 )где X — есть некоторое положительное число,мает более простой видтоформула ( 4 3 )прини(4 5 )СОВ самом деле, примем в этом случае за S сферу S# радиуса R с центром в начале координат и устремим затем /? к бесконечности. Тогда,так как при неподвижной точке Р мы, очевидно, имеем, чтоИ г о - 7 Г = 1./?->оо «Vто, как легко Убедиться,О пределен иевектор апое го ви хрюи р асхож д ен и ю235откуда следует, чтоа 1lim/?->оо ^$Тж'bRЗамечая еще, что" =$“ ЭТ ^= 0'’SRHmГ^-dV=Г^-dV,1IГVлегко выведем из (4 3 ) формулу (4 5 ).Возвратимся опять к формуле (4 3 ) и предположим теперь, что функция ср есть функция, удовлетворяющая в области V уравнению Лапласа:Дср = 0,(4 6 )такие функции называются г а р м о н и ч е с к и м и (при этом предполагается, конечно, что функция ср непрерывна вместе с ее первыми и вторыми производными).
В этом случае в формуле (4 3 ) пропадает объемный потенциал, и мы получаем представление гармонической функции^ 1 7 ^ ! dS—k $ > ^ dS(47>в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя. Эта формула полностью определяет значение функции ср внутри области V, если на границе этой области известны значения функции ср и ее нормальнойпроизводной. Однако, обычно бывают известны или значения толькосамой функции на поверхности S (задача Дирихле) или же только значения ее нормальной производной (задача Неймана). Таким образомзнание только формулы (4 7 ) не позволяет нам решить ни задачи Дирихле, ни задачи Неймана. Отметим здесь, что задание функции ср на граничной поверхности 5 области V полностью определяет гармоническуюфункцию ср внутри этой области.
Доказательство совершенно аналогичнодоказательству теоремы единственности в п. 2. В самом деле, если? i и ? 2 — две гармонические в области V функции (так что Д'рх = 0,Д'?2 = 0 ), принимающие на поверхности S одинаковые граничные значения (так что==;ср2 на 5 ) , то функция ср = ср,— сра будет гармоническая функция (ибо Дэ = 0 внутри V), для которой на поверхности 5окажется ср = 0.
Но тогда из уравнения (1 3 ) вытечет равенство (1 4 ),откуда, в свою очередь, будет следовать, что grad ср= 0 и значитср == const. Но так как на поверхности 5 функция ср обращается в 0 ,то ясно, что ср = 0 всюду внутри V. Итак внутри V будет ср, = <р9.Точно также задание нормальной производной ~наповерхности5определяет гармоническую функцию ср с точностью до постоянной.В самом деле, еслии <р3 — две гармонические функции, имеющие236В ектор н ы йАНАЛИЗна поверхности S одинаковые нормальные производные, то функция <p= <Pj — <р2 есть гармоническая функция, для которой на поверх-ней вытекает, что grad<p = 0 и значит <р= const.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
