1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Итак, <рх— <р2 ==§=const.Заметим наконец, что для случая всего бесконечного пространства,гармоническая функция <р, удовлетворяющая на бесконечностиусловиям (44), тождественно обращается в нуль. В самом деле,при выполнении условий (4 4 ) справедливо равенство (4 5 ), из которогоследует, что ©р == 0 , ибо гармоническая функция ср удовлетворяет уравнению Д'р = 0 .6.Возвращаемся теперь к нашей основной задаче. Нам нужно найтпотенциальный вектора = grad <р,расхождение которого всюду известно и удовлетворяет указанным в на*чале п. 4 условиямdiv а = р .Иными словами, нам нужно решить уравнение Пуассон*д <рж р ( * ,yt z).(4 8 )Если это уравнение имеет решение и притом удовлетворяющееусловиям (4 4 ), то согласно формуле (4 5 ), этим решением может бытьтолько Ньютонов потенциал© (х ,у, z) = — _L с4tcJJL4п/fvШIP (£»£) dtЩ Ц !rФ\(49)OOНо так как мы не знаем наперед, имеет ли уравнение (4 8 ) решение, то нужно проверить, что функция (4 9 ) действительно удовлетворяет уравнению (48).Заметим прежде всего, что если мы имеем Ньютонов потенциал, распространенный по некоторой области V, конечной или бесконечной(5 0 )Vто в точкак вне объемаVвыполняется уравнение ЛапласаДФ = 0.(51)В самом деле, если точка Р лежит вне объема V, то г в интеграле(5 0 ) не обращается в нуль, и, следовательно, можно производить дифе*О п ределен и е вектор апо егоренцированге под знаком интеграла повихрюи р асхож д ен и юх, у, z ;237в результате получимоткуда, в силу (3 7 ), вытекает (5 1 ).Рассмотрим теперь тот случай, когда точка Р лежит внутри объема V,причем предположим, что функция р(£, Щ С) непрерывна вместе со своими первыми частными производными в этом объеме V.Вычислим, чему равно Др Ц = div grad ЧР1.
Составляем прежде всего(52)гпричем заметим, что поскольку переменной считается точкафункция р при указанном диференцировании принималась за постоянную.Если мы будем считать радиус-вектор г направленным о? точкиQ (£, 1), С) к точке Р(х, у , г):г=QP,то мы будем иметь(S 3 )Заметим теперь, что существует простая формула(5 4 )в самом деле, в правой части этой формулы, мы считаем в г переменной уже точку Q, а не точку Р, и, слсдовательно, точки Р и Q должныу нас поменяться местами, т. е. мы должны иметьи так как PQ — — Q P , то и получается формула (5 4 ).По поводу формулы (5 2 ), которую можно, в силу (5 3 ),в виденаписать(5 5 )необходимо сделать следующее замечание.
Подинтегральная функцияв интеграле правой части обращается при г * = О в бесконечность, такчто этот интеграл принадлежит к числу несобственных интегралов;однако, этот интеграл сходится, так как подинтегральная функция будет при г -*■ 0 бесконечно большой второго порядка, а известно, чтообъемные интегралы сходятся, если подинтегральная функция обращается23&С екто рн ы йанализв бесконечность порядка ниже третьего (считая г — бесконечно малой п60*вого порядка). Однако дальнейших диференцирований по точке Р подвнаком интеграла мы уже не имеем права производить, так как приэтом подинтегральная функция сделается бесконечно большой третьегопорядка, и интегралы перестанут сходиться.Мы поступим иначе.
В силу (54) перепишем формулу (52) следующим образомgradp’F = —применим теперь формулуIvр gradg уd V;9 gradg ф= gradQ<pd. — фgradQ9 ,положив в ней 9 = р, <]; = — ; в результате получимСg™&Qy-dV-\- Jgradp^ = —v-^-grad QpdV.- vЗаметим затем, что по обобщенной формуле Гауссаg rad0 7dV=dS-\- (j)-y-dZjv.и в пределе при е -> ОГ g radC7 -dV =<j) fy - d S ,поэтому мы получаем представление grad ЧГ:gradpW=-ф^у-dS-j^J —gradgpafV'в виде суммы потенциала простого слоя и объемного потенциала. Теперьмы можем составить AW:ДрЧГ = diVp gradp 4T = — (£ divp р+j * divp^y-grad^p jdS -f --dV.vПрименим затем формулуdiv (9 a) »= 9 div a -f- (grad 9 , a ) ;(56)О п ределен и евектор апо кговихрюи■239р асхож д ен и юпри этом мы должны вектора р (Q ) n (Q ) и gradgp считать постоянными(так как они не зависят от точки Р), поэтомуд±divp~'* (iradp- 7 ,Рn)=■—(gradg-ppnJ=—P-^-,div ( 4 ' graV ) i“ (gradP у» gfaV(gradO"T« graV )■В результате мы получаемд -LV y = ^ p - ^ r - d S — ^ g r a d Qy , g r a d e p J d V .(67)Чтобы найти значение правой части этой формулы, мы должны про*вести рассуждение совершенно аналогичное тому, которое было проде*лано при выводе формулы (4 3 ), но только должны исходить не извторой формулы Грина (3 8 ), а из первой формулы Грина/[? М(grad <р, grad -»]d V= < £ ? * t d s .Г1Полагая в этой формуле ф = — и применяя ее к объемуVt (черт.
66 ),мы найдем формулу (при этом точка Р считается неподвижной, так чтовсе диференцирования происходят по точке Q ):dS.Производянайдем, чтопереход4'?Р = Jк пределув -► 0и пользуясьформулой (42),I( g rade ®, gradQ- i - JdV — (j) < ? - ^ - d S .(5 8 )Полагая в этой формуле о===р, мы и получим из (57) формулуAp ¥ = - 4 i r P j),( 59 )определяющую значение Д*Г в точке Р, лежащей внутри объема V.В случае функции (4 9 ) областью V является все бесконечное пространство. Возьмем любую точку Р, в окрестности которой функция рнепрерывна вместе со своими первыми частными производными; тогда240Векто рн ы йahали*пусть Vx— объем, принадлежащий этой окрестности и заключающийточку Р , a V2— вся остальная часть пространства. Вводя обозначенияV , (x,y,z) =I 'S M j k M I L , V , ( x , y , z ) - Г 1 й ’Л 9 ^ .
,Ггvtбудем иметь &pW1= — 4тсрр в силу (5 9 ) и= 0 в силу ( 5 1 ) .' Складывая два полученных равенства, найдем формулуА? =Р»что и требовалось доказать.Итак вектора(х, у,* ) =— 1gradpJР(60)является решением системы уравненийrot а = 0(6 1 )div а = р7. Переходим теперь к нашей второй задач*: решению системыdiv а = 0 1Гrot а == w J(6 2 )причем, конечно, предполагается, что вектор ш удовлетворяет условиюdiv ю = 0 .Кроме того, мы наложим на вектор w следующие ограничения:вектор ь)(х,у,г) есть непрерывная вместе со своими первыми частнымипроизводными функция всюду, за исключением, быть может, конечногочисла поверхностей.
На этих поверхностях разрыва нормальнаясоставляющая вектора о> должна оставаться непрерывной,и только касательная составляющая вектора о> может терпеть разрыв. На бесконечности мы потребуем от вектора а> выполнения условия, аналогичного условию ( 3 3 ) для функции р, а именно|/?2+ x© | < i 4при R - + o o ,(6 3 )где 0 < Х < 1, R — Y x* -\-у* - j есть расстояние точки М, в которойберется значение а>, до начала координат и Л —-конечная величина.Из первого из уравнений (6 2 ) следует, чтоа а» rot А,где вектор А, носящий названиеОпределению.векторного потенциала,(64)подлежитО п р ед елен и е век то р апоего241вихрю и р асхо ж д ен и юЗаметим теперь, что, не нарушая общности, можно считать, чтоdiv А = 0 .(65)В самом деле, пусть мы нашли вектор А^ такой, что a = rotA lf ночто div A j ф 0.
Положим тогда, чтоА = A, - f grad |ясно тогда, что опять будетrot А = rot A j -f- rot grad= rot A, = a,div A == div A j -j- div grad | == div A| - j- Mи можно подобрать <|< так, чтобыА4* = — div A j,тогда, очевидно, будут удовлетворены как уравнение (64), так и уравнение (65).Второе уравнение системы (6 2 ) дает теперьrot rot А = (иили в силу формулы (2 6 ) § 17grad div А — АА = to,а в силу формулы (65)( 66 )АА = — со.Таким образом для определения А получилось векторное уравнениеПуассона, равносильное трем скалярнымААх =— ах,АЛ „ = —АЛ, = — ш„решения которых даются в силу (4 9 ) формулами:Г ю*($. ч. 9С)dVл*4тсI€/г^ Q dV1А,лJ____ L Г4т:Г!Ьl)dV4*./гили, в векторной форме,А (х,1у, z) = — JГш (5, *ь С) dV------ •,(6 7 )ООа.Е .
К о ч ц ц, — В ш о { н мисчисление16242Векто рн ы йанализПроверим теперь, что* найденный нами вектор А удовлетворяет условию (65). Вычисляем' для этого/ divp ( ^ p ) dV’>divp A = ^ divp /(68)OQ09применим теперь формулу (56), положив в ней ® =как переменной точкой считается Р, то векторстоянным и значит divp a = 0 ; поэтому получима^a — w (Q ). Такдолжен считаться поjdivp ( ^ r - ) ) = (w (Q )f gradp - i - j .В силу формулы (54) эта формула принимает видdivp (=— ( W(Q ). s rade-у )•(69)Применим теперь формулу (56), но в обратную сторону, а именно(a,grade ср) = diVg (<ра) — <рdive а ,положив в ней а = to (Q ),у— —и считая уже переменной точку Q.Тогда получим, замечая, что по условию divQм (Q) == О,(<*> (Q ).
gradg 7 - ) = divQ ( - ^ 7 ^ ) ;5сравнение с формулой (69) приводит нас к равенству"jа тогда из (68 ) получается, чтоdivp A =-^/ Hv, ( ^)dV.(70)СОНам нужно вычислить этот интеграл по всему бесконечному пространству. Но вычислим его сначала по объему VRI заключенному внутрисферы Sj.
очень большого радиуса /?; по формуле Гаусса имеемfф^с/S(7 1 )V*(при этом, как всегда, нужно предварительно выделить точкурой 2 радиуса е и затем устремить в к нулю)*РсфеОп ределени еПо поводу этойГауссавекторапоегови хрюира схо ж д ен и юформулы сделаем следующее замечание.243Формулумы вывели только для того случая, когда вектор а и его производныенепрерывны внутри объема V. Но если объем V можно разбить наконечное число областей Vlt V# .
. . ,ограниченных, поверхностями Sv«Sjg, . . . , Sk, в каждой из которых вектор а и его производные непрерывны, то мы, очевидно, будем иметьЕсли £ поверхность разрыва, лежащая внутри V, то в сумму поверхностных интегралов (7 3 ) каждая часть такой поверхности разрывавойдет дважды: один раз как граница области V„ другой раз как граница смежной области Vj, причем направления нормалей для этих двухобластей будут взаимно противоположны; в случае непрерывности нормальной к поверхности разрыва составляющей вектора а поверхностныеинтегралы по всем поверхностям разрыва, лежащим внутри V, сократятся, и формула (7 3 ) перейдет в (7 2 ).Возвращаясь к формуле (7 1 ), заметим, что по условию, на поверхности сферы 5с^ ©я есть малая величина порядка —^I |х , —1 есть величинапорядка -=■, поверхность сферы равна 4тг/?а, следовательно, весь интегралдесть малая величина порядка —и стремится к 0 , когда R стремитсядк бесконечности, поэтому распространенный по всему пространствуинтеграл будет равен нулю:ООи значитdiv А = 0.Итак, решением системы уравнений (62) является244Векто рн ы йанализ8.Если нам задано во всем бесконечном пространстве расхожденивектора а и его вихрьdiv а = р(75)rot а = ад,(7 6 )оо(77)ООПри этом мы предполагаем функции р и ад непрерывными и ограниченными вместе- с их первыми производными во всем пространстве,за исключением разве лишь конечного числа поверхностей.На этих поверхностях вектор ад может терпеть разрыв только в касательной своей составляющей, нормальная же его составляющая должнаоставаться непрерывной.
Функция ад должна удовлетворять еще условиюdiv ад = 0. Мы предполагаем далее, что функции р и ад во всех точкахпространства удовлетворяют неравенствам(7 8 )где 0 < Х < 1, К — конечное число, a R = У £а - f - i) a - J - С8 есть расстояние точки, в которой берутся значения р и ад, до начала координат.Докажем теперь, что найденное нами решение (7 6 ) системы ( 7 5 )есть е д и н с т в е н н о е решение этой системы, удовлетворяющее следующему условию на бесконечности(7 9 )L есть конечное число.Сначала докажем, что не может быть двух решений системы (7 5 ),удовлетворяющих условию (7 9 ). В самом деле пустьи а 2 два решениясистемы (7 5 ) и пусть оба эти решения удовлетворяют условию (7 9 ).Составим разность b = a t — а 2.
Тогда из (7 5 ) ясно, что во всем бесконечном пространствеdiv b = О,гдеrot b = 0.Из последнего уравнения видно, чтоО п ределен и евекто рапоегови хрюира схо ж д ен и ю245Далее из ( 7 9 ) находим, чтоI grad у |<(8 0 )при всех достаточно больш их R . Возьм ем теперь лю бы е две точки Ми /И', лежащ ие на радиусе из начала коор ди н ат; тогд а мы будем иметь№ЛГ\Ф(М ') — У (М) = j(grad у, d r) =ыjи^d r,(8 1 )причем в силу т о го , ч то при больш их R ,2Lду< -1 +~дгинтегралв правойчасти предыдущейЬ ’формулы будетсходи ться, еслиAY —►оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
