1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 33
Текст из файла (страница 33)
.дх дх . ду ду . дг дгW iW h^ty tW *^или же(тлЛ а(grad^»рглА л \ __IпI/V I Ь\(/| #(1 г \(15>Для ортогональных криволинейных координат между /У, и Л, существует весьма простая связь. В самом деле, в силу (13) мы имеемgrad qt = А, е,,= Я , е„а потому первая из формул ( 10) даетhi = Jf>(/= 1,2,3)(16)(/= 1,2,3)(17)так что, в частности, имеем формулыgndqt =*-j±.3.В дальнейшем мы будем рассматривать исключительно ортогональные криволинейные координаты.
Для таких координат разложения (11)и ( 12) совпадаюта = ^ е, + аае2-f а3е3;(18)мы будем называть а,, а 2 и а3 к р и в о л и н е й н ы м и с о с т а в л я ю щ и м и . в е к т о р а а или же п р о е к ц и я м и в е к т о р а а на осик р и в о л и н е й н ы х к о о р д и н а т . Беря в частности за а вектор dr, мыполучимdr==- ^ d< h + - ^ аЯч +£ * .-H 1dqlel - f H 2dq2e2 - f+ t f 3flty3e3,(19)так что составляющими вектора dr являютсяdst = H (dq{.(i — 1, 2, 3)( 20)Возвышая обе части равенства (19) в квадрат и замечая, что (dr)2 —= ds2, ej = 1, (ef, еЛ) = 0 (г ф k), получим для квадрата длины элемента dr формулуds2= H\ dql + H l d q l+ H 32dq; .(21)Пусть dr = M N, где N бесконечно близкая к М точка; проведемчерез N три координатных поверхности, которые вместе с тремя коор*208В ек т о рн ы й анализдинатными поверхностями, проходящими через точку М, образуют криволинейный бесконечно малый параллелепипед.
Очевидно, ребрами этогопараллелепипеда будут служитьdsx— Hxdqи* ds2 = H 2dq^dss — Hsdqt;(22)но тогда грани его будут иметь величиныd\ — H 2Hsdq2dq3,do2 = HaH 1dqiidqud% = H 1M2dqldq2,|I(23)Jа объем его будет равенdV=dqxdq2dq3.(24)Приведенными в этом пункте формулами очень удобно пользоватьсядля нахождения коэффициентов Ламэ.Так, например, легко видеть, что в цилиндрических координатах ребрами бесконечно малого криволинейного параллелепипеда являютсяds1 = dp, ds2 = pdy, dss= dz.Сравнение с формулами (22)координатпоказывает, что для цилиндрическихЯ т = р, Я , - Г .(25)Точно также для сферических координат имеемdsx= dr, ds2 = rd 6, ds3 — r sin 6dyи поэтомуtfr = l ,=//? = rs in 6.(26)Задача 138.
Найти коэффициенты Ламэ для цилиндрических и сферических координат по формулам (7).4.Для того чтобы пользоваться криволинейными координатами, нужнуметь выражать в этих координатах все основные векторные операции.а)Начнем с рассмотрения grad®. Мы, очевидно, имеем (§ 12, задача 89).grad у (qv q2, qs) = -grad 9 i + ~ ^ r Sradgrad qsи, воспользовавшись формулами (17), сразу получимgrad у = — ■“t**С27)Этот же результат можно получить иначе; в самом деле, проекциейgrad у на ось qi криволинейных координат по самому определению209К ри во л и н ей н ы е коо рд инатыявляетсядо- , но в силу ds( ===Hidq{ мы имеемду _ 1 <?<рdst(/ = 1, 2, 3)H t dqt *т. е.
те же самые выражения для проекций grad <р, что и в формуле (27).Задача 139. Доказать формулу (27), показав, что(Sе, <?<?' л—л Н { dq,Задача 140. Вычислитьgrad 4», d r ) = dtp.в цилиндрических координатах.Ответ.дуе. дуд$H z'Задача 141. Вычислить grad^ в сферических координатах.Л.Д.ЛI^ . е9 дфе9 д^grad уer дг + I d0 + rs in 0 д(р •ШОтвет.(29)б)Рассмотрим diva.
Очень удобно для вычисления d iva в криволинейных координатах применить формулу § 14:(j)div а = lim F->0andSVвзяв за V объем бесконечно малого криволинейного параллелепипеда (черт. 63), одной из вершин которого является та точка М , в которойищется значение diva.Грань М М ^ хМй этого параллелепипедаимеет величину dzх= H^H^dq^dq^ нормальная к этой грани составляющая вектора аравна — ах (мы считаем, что М М Х направленов сторону возрастающих значений qx, внешняя женормаль к рассматриваемой грани направленаЧерт.
63.в противоположную сторону), поэтому поток черезграньбудет равен — axH<Jrlbdq2dqB.Противоположная грань M xN bNN% отличается от грани MM%NXM§ толькотем, что ей отвечает значение qx-f- dqx координаты qx, значения жедругих координат на этих двух гранях одни и те же. Поэтому потокчерез грань M xNbN N 2 будет равена1н 1н ,+ dJb M AdqxВ.В.К о ч н я . — Векторноеистлсаени»d9l ) dqj qv14210В екто рн ы й анализСкладывая его с предыдущим выражением, получим для потока через!две грани MM$NXMS и ЩЛ^Л/Л! выражениед (ахН 2На) .
. .— а * - Я1dq4dqзи аналогично для потока через грани ММХМЛМ 9 и Af2/V8/WV1д (а2Н3НЛ . . .dqd4idqidqaи через грани ММХЫЪМ2 и MSN2NNXд (а 3//,Я0) . . .УЯ\Яъ'Складывая все три выражения, получим полный поток (j) ctndS. Деляsего на объем параллелепипеда V = Н ХН 2Н 3 dqxdq,2dqs, получим окончательноill ‘а д Я 3Idq<t%dq3J(30)В частности мы получаем формулыdive_1IН хН 2Нй*(// 2я 8) .dqx I2_ _ _ 1 _ £ (а д ).I f Pctya ’д{НхНЛ~~дд^~‘1<31)Задача 142. Вычислить div а в цилиндрических координатах.Ответ.1 д (рд„) . 1 датда,div а = ----- -----1---- 1§ —з— .рдр1 р ду 1 <?z(32)4 ’Задача 143.
Вычислить div а в сферических координатах...ivad (sin 6 а6) i1 _ ^ Ч ) j ___ 1г2дг‘ г sin6дЬв) Рассмотрим rota. Применим формулу § 16§ (a, dr)rot„ а = lim —8-*01 да9г sin0 ду''211К ри во л и н ей н ы е коо рдинатыЧтобы получить проекцию rot а на координатную линию qx, нужновзять за С контур M M 2NxM sw, площадь бесконечно малого криволинейного прямоугольника, ограниченного этим контуром, равна, как мызнаем,do1 = H 2H 3 dq2dqs.Не трудно далее вычислить ф (a, dr), взятый по замкнутому контуруMM 2NXM 3. Прежде всегоf (a, dr) — a2ds2 — a^H^qi',ММ,далее.,J(a,dr) отличается от предыдущего интеграла только тем, что"Лв нем координата q8 имеет другое значение q3 -j- dq%, значения же друГ (a, dr), поэтомум'м,гих координат те же, что и в интегралеj (a, dr) — | <hH* + d~ da^ " dq3им13j dq2.Точно так же можно вычислить, чтоfJ(a, dr) = a3Hadq3,Xi,NxrtMrvммш(a, dr) = |'dqzJdq3.'ПоэтомуММ,ЩмДеля это выражение наMM,d (a2H2)Шdq2dq3.dov мы и получим требуемое выражение( д ( а 8Н а)*9%1Г д (с^Щ(rot а)2 =ЯдЯа IdqB(rot а)хd (asH 3)И1д (а2Н2) \д9вд ( asHs)dqx(34)Если принять a = elt то получится формулаrot е, = е21 дН11 дНх1— е3-------------------- grad Н х, е,'Н ХН 2 dq2Нх//3//| dq3jj-^r• (35)14*1В ек т о рн ы й анализ212Задача 144.
Исходя из тождества rot grad= 0, доказать формулыГgrad И{, е,jrot е, =(i — 1, 2, 3) (36)и, исходя из них, восстановить формулы (34).Задача 145. Исходя из тождества div [е2, е3] = (е8, rot е2) — (е2, rot е3)и формул (36), получить формулы (31) и затем (30).Задача 146. Вычислить rota в цилиндрических координатах.Ответ.1 да_давrot а ----- г1 —р d<pdz*дашда,dzrot а — -j-v(37)■ф’1 д{ра^)1 дарРР д?дрЗадача 147. Вычислить rota в сферических координатах.Ответ.rot.
аrot, аrot9а1d(aesin 0)г sin 0^01даг11 д(raf)1 d (гаь)dr1 darгг dO *г sin 0 dcрdrdaeг sinг(38)Задача 148. Вектор — , где гесть радиус-вектор, является сог®леноидальным вектором (§ 14) и, следовательно, может быть представленв виде вихря некоторого вектора а (§ 16). Найти вектор а.У к а з а н и е . Воспользовавшись сферическими координатами, пспробовать сделать предположение, что у вектора а отлична от нуля толькосоставляющая a .Г1 0Ответ. — = rota, где аг= 0, я0==0, af = - tg - .г)Рассмотрим оператор Лапласа. Так как Д<|>= div grad ty, то, воспользовавшись формулами (27) и (30), мы сразу получим выражениеоператора ЛапласаY1| д (Н 2Н я д-'Лд /HgHj ду \ .H xH^Hb \dqx \ Н х dqx) ' dq%\ t fa d q j ~/ я , Я* d±dq*I(ЗЭ)213К ри во л и н ей н ы е коо рд инатыТак, например, в цилиндрических координатах будем иметьм._1I ЙшэорdpIЦ f‘ ш ш ж ш -ж11|а в сферическихd(s,oel )1^г3dr1дЬ"^"r 2 sin 0г2 sin2 6 ду* ’^Задача 149.
Вычислить Дгт . Найти частное решение уравнения До = —•Отве т .Ьгт = т(гп-\- 1)г” -2; Д ^ г | = - ^ - .5. Разберем несколько задач на криволинейные координаты.Задача 150. Вектор а задан своими проекциями на оси сферических координат г, 0, 9 :2£ c o s 0Д, = — - з ...,Asin 0% =.( 42)где k постоянное число.
Выяснить, является ли вектор а потенциальными если а = grad <{*, то найти ф. Найти векторные линии вектора а.Р е ш е н и е . Векторные линии вектора а нужно определять в криволинейных координатах из уравнения[dr, а] = 0 ,которое в силу формул (19) и (11)dr = H xdqxzx-\-H2dq.2e2+ H &d q ^ ,a = й1е1-j“Ь йзезприводит нас к равенствамH 1dql _ Hjdq-i __ H adq8аха%а3В данном случае находимd r __ rdb__ rsin Ш-fилиdr2 cos 0__ rdft _ d ysin 00 ’после интегрирования получаем следующие уравнения векторных линий:V — Ciг = С 2 sin2 0.(43)214В екто рн ы й анализСоставляя по формулам (38) rot а, убеждаемся, что rot а = О, следовательно вектор а — потенциальный. Чтобы найти ty, составляем..4. ,,п ., о,2^ cos 0 dir , A sin 0d0(a, dr) = ardr -f-aerdO + я /sin 6d? = --- ^ ---- 1--- -g— =.
/ k cos 6 \-----откуда следует, чтоa = grad |(44)Составляя по формуле (33) diva, легко обнаружить, что div a = О,т. e. вектор а является также и соленоидальным вектором. Мы можемпоэтому представить вектор а в формеа = rot А.(45)Чтобы найти вектор А, воспользуемся формулами (38), причем примем Л , = 0. Тогда получим систему уравнений2£cos0г®11dbrs in 0Л sin 6г3дАнrsinbdy*d(<4? sin0)1 д(А9г)=гЙ Г~ *1 д(гАв>Гдг *Второе и третье уравнения этой системы дают.k sin 8 ..r \ = — — h /(e* ?)»л4в — г<в» ?)»где / и g — произвольные функции 0 и f. Теперь первое уравнениедаетd [sin 6/ ( 6, о)]3g_ _ 0дЬд<ри может быть удовлетворено, если взять /(0,<р) = ^ ’(0,<р) = 0. Итака = rot А,где А есть вектор с составляющимиЛЛЛЛААг — 0, Ац— 0, Ау —^ S in^0•....(^®)К ри во л и н ей н ы е215ко о рд и н атыЗадача 151.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
