1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

Переменные поля в сплош нойсреде1.В этом парагРяд вопросов, относящихся к теории пере­менных полей, т. е. полей скалярных или век­торных функций, зависящих от времени t.Допустим, что мы рассматриваем некоторую сплошную среду, напри­мер жидкость или газ, находящуюся в движении. Для того чтобы знатьдвижение этой среды, необходимо знать скорость v (Г, t) каждой частицыэтой среды к каждому моменту времени.В § 13 мы уже рассмотрели вопрос об изменении скалярных и век­торных функций в том случае, когда приходится рассматривать движениенекоторой сплошной среды.

Мы установили следующие формулы дляполных производных от скалярных и векторных функций:Черт. 79.Ц г - = | г + (v ' Brad'p).т§ - £ + ( * .( 2)V )*-В этих формулах левая часть представляет производную по времениот рассматриваемой функции, высчитанную в предположении, что зна­чения функции вычисляются в различные моменты времени для однойи той же частицы, перемещающейся в пространстве вместе со всейсплошной средой.

Как видно из формул ( 1) и (2), полная производнаякакой-либо функции состоит из двух частей: местной производной(первый член формулы), характеризующей изменение функции в данномместе пространства, и конвективного члена (второй член формулы), ха­рактеризующего изменение функции благодаря тому, что рассматриваемаячастица, переносится в пространстве.П ерем енн ы еполявсплошной273ср едеВ первой половине настоящего параграфа мы рассмотрим вопрос овычислении полных производных от интегралов от скалярных и векторныхфункций по жидким объемам, поверхностям и линиям.

Мы называемпри этом объем V жидким, если он во все время движения сплошнойсреды состоит из одних и тех ж е частиц этой,среды. Ясно, что,вообще говоря, жидкий объем с течением времени будет деформиро­ваться, так как частицы, его составляющие, двигаются, вообще говоря,с различными скоростями v ( r , t). Поэтому когда мы рассматриваеминтеграл по жидкому объему, например,I=С <РdVt(3 )где ср(г, t) скалярная функция координат и времени, то при вычисленииего производной необходимо учитывать не только изменение функции<р(г, Ш но и изменение самого объема V.2.Вычислим теперь производную по времени от интеграла (3 ).

Пообщему правилу, даем времени i приращение Дt\ за промежуток времениДt частицы, занимавшие к моменту времени t объем V, ограниченныйповерхностью 5 и заштрихованный на черт. 8 0 горизонтальными черточ­ками, заполнят в момент времени t-\-bt объем V', ограниченный поверх­ностью S' и заштрихованный на .черт. 8 0 вертикальными черточками.Обозначим теперь общую часть объемов V и V ' через Vu объем, за­ключенный между поверхностями Sx и S1 и образованный теми части­цами, которые за время Дt вышли из поверхности S, через V2, и нако­нец объем, заключенный между поверхностями 5 3 и 5 , и образованныйтеми частицами, которые за время Дt вошли внутрь поверхности S,через Vg. Очевидно, что V^= Vx-f- Va, Ш Э Щ | 1 Va и поэтому дляприращения интеграла (3) за время Дt получаем выражениеt + M)dV— f y(T, t)dV=*vt+r,= f[ ? ( r ,/ - f ДО— ?(Г , t)\ d V + f cp(r,t-\-At)dV —У\.

■‘ V,’— f cp(r, t)dV.v,Д^з —Щ+ ДО ~W ~ f? (f,г ,+ г ,(4 )По теореме о среднемt+ Шгде О < 0 < 1; кроме того прив V, поэтомуЖJAt-> .0объемW r * < + W ) - ' p(r-H. E. Ко ч а н. — Векторное исчислениеVlr обращается,очевидно,W V = J% d v .13274Векто рн ы йанализЕсли элемент поверхности Щ обозначить через dS, то, как видноиз черт. 8 0 , частицы, проходящие за время At через этог элемент, за ­полнят элемент объема V2 в виде цилиндра с основанием d S и реб­рами, величина и направление которых определяются вектором vA f.Объем этого элемента равен vJtfd S и поэтомуГ ^ Г’ftt J r M )d V = I <?vndS.IНа части поверхности 5 а нормальная составляющая скорости vn от­рицательна, поэтому элемент объема Vg будет равен — vnAtdS и поэтомуЧерт.

80.мы и получим, замечая,полную производную от интеграла /3:wf f dV—что 5 =(5>' +ф^УSx - j- SvS,Мы нарочно подробно провели все рассуждение; на самом деле всеэто рассуждение коротко можно передать следующими словами. Измене­ние интеграла /3 происходит от двух причин: от изменения функции <ри от изменения объема V. Если бы изменения объема V не происхо­дило, то за времягралdt/3 приращениефункция <р получила бы приращениеj-щdVdt,~^dt,а инте­что и дает первый член формулы (5).кПусть теперь функция (р не меняется, а изменяется только объем V]это может происходить только потому, что некоторые частицы выходятили входят через поверхность 5 . Через элемент dS этой поверхностиза время dt выходит объем сплошной среды vndtdS\ это увеличениеобъема V доставит интегралу /8 приращение <рvndtdS, а все прираще­ние интеграла /8, происшедшее от изменения объема V, будет, очевидноравно ф<fvndSdt,откуда получается второй член формулы (5 ).Перем ен н ы еполявсплошнойПо теореме Гаусса, поверхностный275средеинтегралможно преобразоватьв объемный(j) <рv ndS—jdiv («рv)dVследовательно, выражение для полной производной от объемного инте­грала можно написать и в таком виде:ГydV=*iLdtfГdiv (cpv)jdV\( 6)vнаконец, воспользовавшись формулойdiv(<pv) = <pdiv v -f- (v, grad <p)и формулой ( 1), можно переписать ( 6 ) также в следующем видеJ 9d V = JСовершенноции а (г , О '(^ + < p d iv v jdV.(7 )аналогичная формула получается для векторной функ­C a d V = J l^ + a d iv v jr f KIУ(8)V3.В качестве применения полученной формулы дадим новый выводгидродинамического уравнения неразрывности (один вывод мы уже имелиВ § 15).Рассматривая движение газа, обозначим через р (г ,t)его плотность.j* pdV обозначает массу М газа, заключенного в объеме V.гV — жидкий, то масса газа М — J pdV должна ^ p a ­Тогда ясно, чтоЕслиобъемнять постоянное значение и, следовательно,ЖdtIir= 0 ,Применяя формулу (7 ), получимI-/ ( - i - + pdivv) dv=°18*276ВТак как объемчается, чтоVможноекто рн ы йбратьанализсовершеннопроизвольным,то полу­.

i | - t p d i v v = 0.(9 )А это и есть уравнение неразрывности.В качестве второго примера примем в формуле (7 ) < р = 1 , тогда длявеличины жидкого объема V получим формулу4 ? “ / &{vvdV>(10)Vв частности, если принятьто получим формулужидкий объембесконечно малыми равнымIV,1dbV8V Жл- ./, , *n4.Перейдем теперь к вычислению полной производной от поверностного интеграла по какой-либо жидкой незамкнутой поверхности S :I * = f a nd S .(1 2 )Изменение потока вектора а через жидкую поверхность S можетпроисходить от двух причин: 1) от изменения самого вектора а и 2) отизменения жидкой поверхности 5 .

От изменения вектора а в зависи­мости от времени t получается приращениеинтеграладаdt~dSdt.(1 3 )Пусть теперь вектор а не меняется, а изме­няется только жидкая поверхность S ; новое по­ложение ее через промежуток времени dt обо­значим черезтогда, очевидно,Черт. 81.d%l %— J a nd S —Stf a ndS.(1 4 )sОбозначим контур поверхности 5 через L (черт. 8 1 ), за время dtэтот контур при своем смещении опишет поверхность 2 > которая вместес поверхностями S иобразует замкнутую поверхность. Если выбран­ное нами направление нормали является внешней нормалью для S v тооно будет внутренней нормалью для 5 . Применим теперь к объему,ограниченному поверхностями S, 5 , и 2 , формулу Гаусса:Переменныеполявсплошной277средено ясно, что элементом поверхностиявляется площадка(элемент кривой L) и vdt, следовательносребрамиdrd Е = [д?г, vdt],далее для элемента объемаd V,очевидно, имеем (черт.

3 1 )d V — dSvndt,(1 6 )поэтому из (1 5 ) получаем:Jf апdS = Jand s —div a •vndSdt —J(a, [dr, vdf\).(17)Наконец, мы имеем согласно формуле для скалярно-векторного п роиз­веденияJ (a, [dr, vdt]) = — dt f ([a, v], dr)Jj(18)Lи на основании формулы СтоксаJ ([a , v], dr) = f rot„ [a, v] dS.L8(19)На основании (1 4 ), (1 7 ) , (1 8 ) и ( 1 9 ) получим:d Jz = [ У [vn div a - f rot,, [a, v]) ds] dt(20)sи, вспоминая еще (1 3 ) , получим окончательный результат- j f f andS = j f |- f vn div a + rot„ [a, v] J dS.(21)В случае замкнутости поверхности S, контур L стягивается в точку,следовательно, интегралы (1 9 ) обращаются в нуль и формула (2 1 ) упро*щается—(f) and S =<£ (+v n div a J dSi(22)Формулу (2 1 ) можно преобразовать еще дальш е, если воспользоватьсяформулой ( 6 ) § 1 7:rot [a, v] = (v, V )a — (a, V )v + adivv— vdiva.278В екто рн ы йанализВ самом деле мы имеем в силу этой формулы, что- f v d i v a - f r o t [ a , v] = - ^ - - f - ( v , V ) a — (a, V ) v 4 - a d i w ==— (a, v ) v - f a d l v v.Поэтому формула (21) может быть переписана еще в следующей формеfМ -S =8f— (а, V ) v + a div v, n) dS.(23)65.Переходим к применениям полученных в предыдущем пунктформул.Выведем прежде всего условие того, чтобы поток вектора а черезлюбую жидкую площадку S не менялся бы с течением времени.

В этомслучае^ f a„dS = 0,(2 4 )8и следовательно формула (23) приводит нас к условию:f— ( а > V ) v -f-a d iv v , n )dS = 0,(25)8причем это равенство должно иметь место для любой поверхности 5 .Отсюда следует, что во всех точках рассматриваемой области должнобытьds.- jjj — (a,v ) v - f - a d i w = 0.(26)Чтобы выяснить значение полученного нами условия (26), введемновое понятие сохраняемости векторных линий.Пусть имеем нестационарное поле вектора а (г, t). Проведем вектор­ные линии этого вектора, отвечающие моменту t, т. е. линии, в каждойтечке которых вектор а имеет направление касательной к этой линии.Мы уже знаем (§ 11), что уравнением векторных линий является[dr,г] =0,(27)или в декартовых координатахd x ________ dy________ ______ dzах (х, у, z, t) ~ ау(х,у, z, t) ~~ at (x,y,z,t)*При этом время t, при интегрировании уравнений (28), мы рассмат­риваем как параметр, имеющий фиксированное значение.Перем ен н ы еполявсп лош н ойср еде279Проведем теперь векторные линии вектора а, соответствующие дру­гому моменту времени tf.

Тогда могут иметь место два случая.Вообще говоря, рассматривая какую-нибудь векторную линию, соот­ветствующую моменту ?, мы обнаружим, что она состоит из частицсреды, которые в момент t принадлежали р а з л и ч н ы м векторным ли­ниям.

Но, в частном случае, может оказаться, что частицы, составляю­щие к моменту t' векторную линию, в момент t тоже образовывали век­торную линию. Если это последнее обстоятельство имеет место длялюбых моментов времени t и if и для любых векторных линий данноговектора а , то мы говорим, что в е к т о р н ы е л и н и и в е к т о р а а об­ладают свойством сохраняемости.В случае, если векторные линии вектора а обладают свойством со­храняемости, каждая векторная трубка будет во все время движениясплошной среды оставаться векторной трубкой, так как она ограниченасовокупностью векторных линий, каждая из которых остается все времявекторной линией. Но в этом случае опять-таки можно различить дваподслучая: первым подслучаем будет тот, когда интенсивность векторнойтрубки меняется с течением времени; вторым же подслучаем будет тот,когда интенсивность любой векторной трубки во все время движениясохраняет свою величину.

Характеристики

Список файлов книги