1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 44
Текст из файла (страница 44)
84)287средеМ<‘5г = АШ' = г' —г,где г ' и г радиусы-векторы точек М и М'относительно какого-нибудь произвольно выбранного начала координат О, тоjh!diМОЧерт. 84.ибо производная по времени от радиуса-вектораг есть как раз вектор скорости v, разность же v ' — v представляетизменение скорости при переходе от точки М к М'.Итаки следовательнокккчто и доказывает вновь формулу (51).Из формулы (51) очень легко вывеститеорему Томсона:Если deuMcenue Реальной жидкости npoucxodum nod deuствием сил, имеющих однозначный потенциал, и если плотностьесть функция daвлeнuя (в частности если жидкость несжи•маема), то циркуляция скорости по любому жидкому контуруво все время dвuжeнuя остается постоянной.В самом деле, при указанных в теореме условиях основные уравнения гидродинамики могут быть написаны, как показано в § 17, в виде(52)Поэтому правая часть формулы (51) принимает видкки по известному свойству градиента обращается в нуль.
Итак(53)откуда вытекает, чток(54)2 88Векто рн ы йанализт. е. циркуляция скорости по любому жидкому контуру остается постоянной.Этот же самый результат можно получить и непосредственно изформулы (46), полагая в последней a = v:d_(j) (v,dtк=+ [rot v, v], d r j.(55)кНо в § 17 мы видели что при соблюдении условий теоремы Томсона~ -(- [rot v, v] = grad П = grad l u — P ----следовательно правая часть формулы (55) обращается в нуль, и мы опятьвосстанавливаем формулы (53) и (54).Так как<£ (v,dr) =КГ rot„VflfS,3где 5 есть поверхность, опирающаяся на контур К, то, путем применения рассуждений, совершенно аналогичных тем, которые были приведеныв пункте 5, можно доказать, что, при соблюдении условий теоремыТомсона, вихревые линии обладают свойством сохраняемости, также каки интенсивности вихревых трубок, т.
е. можно вновь доказать теоремыГельмгольца, полученные нами в п. 6.9.В этом пункте мы рассмотрим некоторые вопросы, связанныс изучением уравнения (с — постоянное число, р(х, у, z, t) — заданнаяфункция):д2<? , <?2<р . d2cpдхс1ад\.,W ~ р^ ’ У* ’ ^^ ^левую часть которого мы будем иногда обозначать знаком □<?:1В § 17 мы видели, что изучение малых колебаний сжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил сводится к изучению уравнения□ <Р= 0,(58)которое называется в о л н о в ы м у р а в н е н и е м , так как в движениижидкости, определяемом этим уравнением, возмущения распространяютсяво все стороны со скоростью, равной с. При с — оо уравнение (58)превращается в уравнение Лапласа, а уравнение (56) в уравнение Пуассона.
Имея это в виду, мы постараемся применить к исследованию уравнений (56) и (58) те же методы, которые мы использовали при решенииуравнений Пуассона и Лапласа.П ерем ен н ы еполявсплош ной289средеМы видели, что решением уравнения ПуассонаД? — р(*.у, г)(59)является Ньютонов потенциалi Г р(^» it--QdV- .f(*. у.
г) ----- I -------------(60,где г — расстояние между точкой Р (х ,у ,г ) и переменной точкой Q(£, ■/], С),принадлежащей тому объему, по которому производится интегрирование.При этом функция — обладает тем замечательным свойством, что рассматриваемая, как функция точки Р , она удовлетворяет уравнению Лапласа47 -= °(6 i )всюду, кроме точки Q.Попробуем обобщить эти результаты на случай неоднородного вол—■ должна здесь играть такаянового уравнения (56). Роль функциифункция Ф (г,t), которая всюду, кроме точки Q, удовлетворяет урав-и ен и ю,», олч1 <72ФА* - ? З Р - ° -1 '<•*>Возьмем точку Q за начало сферических координат, так что положение точки Р относительно точки Q определяется координатами г, в, Ф.Переписав уравнение (62) в сферических координатах и замечая, что Ф,по условию, не зависит от 0 и <|>, найдем уравнениеI ' M ? ) ___ 1££^ Ф =0>дгг9(в»)с 2 dt3Отметим теперь одно простое, но важное преобразование.
* Ш ).г9рр|д2Ф . 2 дФ __ 1 дЦгФ)дг2 ' г дгг дг'* ’(64)доказательство которого не представляет ни малейших затруднений.Помножая уравнение (63) на г, можем переписать его в видедг*с2di*''Легко теперь видеть, что функцияЛФ(г, < ) = / ( < - - С ) ,Н.Е.К • ч а я. —Вевторжое i c u u t n i *(66)19В екто рн ы й2 9 0где / естьуравненияции—ганализпроизвольная функция своего аргумента, есть решениеИтак, мы приходим к заключению, что роль функ(6 5 ).дляобобщенного волнового уравнения (5 8 )должнаигратьфункцияф (Г, *) —I<L± .,6 7 )Чтобы выяснить механическое значение этой функции, вспомним, чтов той задаче о малых колебаниях сжимаемой жидкости, решение которой приводится к исследованию уравнения (58), вектор скорости определяется формулойv = grad <р.( 68)Но(6 9 )При малых г вторым членом в скобках можно пренебречь в сравнении с первым.
Поэтому вблизи полюса Q мы имеем приближенноеравенствоV - —Ш И .г3(70)Но это равенство соответствует, как мы знаем, источнику обильности— 4Tif(t). Следовательно движение жидкости, имеющее потенциал скорости (67), можно себе представлять происходящим в силу того, чтов полюсе Q находится точечный источник интенсивности —меняю щейся с течением времени.
Однако в силу сжимаемости жидкости,эти изменения интенсивности источника не сразу передаются на всюбесконечную жидкость; в самом деле из формулы (6 7 ) видно, чтов точке Я , отстоящей отточки Q на расстоянии г, сказывается та интен-rа так как—гсивность источника, которая имела место в момент t* ------—;есть как раз время, необходимое для пробега расстояния г со скоростью с , то можно сказать, что первоначальное возмущение в точке Qдостигает какой-либо точки Р с запаздыванием, равным как раз времени пробега от Q до Р со скоростью с. Поэтому выражение (6 7 )можно назвать запаздывающим потенциалом.
Заметим, что так какзначения функции (6 7 ) одинаковы для фиксированного значения г, тодвижение, определяемое формулой (6 7 ), представляет сферическуюволну.Принимая теперь во внимание, что решение уравнения Пуассона (59)дается Ньютоновым потенциалом (6 0 ), мы можем ожидать, что решениеIП ерем ен н ы еполявсплош н ойуравнения (56) может быть представлено в виде291средезапаздывающего Ньютонова потенциала:_1f( x , у, г, О(7 1 )4тВ § 19 мы проверили непосредственным вычислением, что функция (49) удовлетворяет уравнению (48). Повторим теперь это вычисление для функции (71). При этом мы будем предполагать, что функция р, ее первые частные производные и вторая частная производная,взятая два раза по t, непрерывны и ограничены всюду, за исключениемконечного числа поверхностей, на которых они могут терпеть разрывы,и что на бесконечности р является бесконечно малой величиной порядкане ниже третьего.Для большей ясности, мы условимся в следующем обозначении: символом [/) мы будем обозначать функцию оту\, С, t, в которойвместогt подставлено значение t -------- (таким образом [/] есть запаздывающее значение f).Выбрав теперь точку Ро, разобьем в (71) область интегрирования надве части: на сферу V, радиуса s с центром в точке Р 0 и на всюостающуюся часть пространства и введем обозначения,ТаСА О4*Гр (*-т ) dVГ(72)_?а (А О2щ ш д ШКогда точка Р меняется внутри сферы Vv то подинтегральнаяфункция второго интеграла не обращается в бесконечность, и можнопроизводить диференцирование функции <ра по х, у, Z, t под знакоминтеграла.
ПоэтомуНКа ъ(Р ,, ГIоГ Л -—С >&и так как при этом диференцировании точка Q считается постоянной,а функция (67) удовлетворяет волновому уравнению, то□ ? а ( А 0 = 0.(73)Переходим теперь к вычислению D<pt(A 0* Будем при этом предполагать, что точка (Я 0, 0» а следовательно, при достаточно малом ■ и19*Векторный лнллиа292весь объем V лежит внутри той области, где функция р, ее первыепроизводные и вторая производная, взятая два раза по t, непрерывны.Вычисление проще всего произвести таким способом. Разобьем ух{Р, f)на две части?! (Л 0 - ы(Р.
t)гдеЬАР, О ------- £о.(74)t)d,V/^(75)Р»есть обыкновенный Ньютонов потенциал, а?„(р. о —,Г e (Q ,t- ^ )- p (Q , ОйJ-------------V ----------------- ^(76)причем числитель подинтегральной функции вместе с г обращаетсял нуль, а сама подинтегральная функция остается конечной.Мы уже знаем, чтоД ?п (Л 0 « Р ( Ао-(7 7 )Так как в интеграле для 9 19(Я , t) подинтегральная функция необращается в бесконечность, то вычисление Ayia(P , t) можно проиввести очень просто. Прежде всегоg r.d ?11(P , 0 - £1If( I *Лм! >+•+ j i \ p ( Q.
< - ~ ) - p ( Q , 0 ) j g r a d r d H ,(78)причем легко видеть, что подинтегральная функция остается ограниченной при г —►0; в самом деле, разложим ее в ряд Тейлора, ограничившись первыми двумя членамиcr1 »к?. Яcrdtdt! » (< » ■ < ~ т )са*-т ||||» ()} = 7г|— £1'2dt3llil I Idt,.*(< *■ ‘ - ¥ ) 1с*dt*где б иположительные числа, меньшие 1. Сложение этих равенствпоказывает, что подинтегральная функция в (78) остается ограничен*П ервм ен н ы еполявСПЛОШНОЙ СРЕДЕ263ной. Можно поэтому отыскивать div grad <pia( P , t), диференцируя подзнаком интеграла.
Пользуясь формулой задачи 143 и замечая, чтопроекция grad г на направление г равна 1, сразу найдем, чтоA (P A = J _? ia ( » 04a-Ь p | q .f1 1 f lг2 dr | сШЖt ----- — P(Q, Оd p ( Q’ tdtc )____1 j ' d2p (Q > ij ) dV:— i------S I —[ д‘Р (ф» *с~) dVdt*4ircVir. (79)Сложение (77) и (79 ) дает нам, что1шНИ151Ii(80)и так как очевидно,дни, чточтидРч?>.( р , < > _______j .
f<?ita4те г,(81)df3то сразу находим, что□ ? i( A 0 = р (Р ,* ).(82)Принимая еще во внимание (73), приходим к окончательному выводу□ ? (Р ,t) = P(P, t)(83)решением неоднородного волнового уравнения (83) являетсязапаздывающий Ньютонов потенциал (71).т. е.10.Наряду с запаздывающим объемным потенциалом (71) мы можемрассматривать также и запаздывающие потенциалы простого слояГо(е. Ti.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
