1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Заметим, что из формул (14) § 22 легко вывести,что если фбрмулЫ [Я) имеют место для одной какой-нибудь координатной системы, то эти формулы будут справедливы и в любой координатной системе, ибоI SI Ss »PlH = =S XГ=1 S=\Рте"“ 2 ]Г*=1а ь a lrP lT “^ In P tr ==g=»l~~P щ ,С л о ж ен и еира зло ж ен и етен зо ро в313Покажем, что величины а>1( <п2 и а>8 можно рассматривать как компоненты некоторого аксиального вектора ш. В самом деле, вычислим на*пример8®l8*ЯРЫ““®1 (® 89*22®82®2в) 4 " ®2 (®81®284 “г—1 8 - 14 " ® 3 (® 32®21---- ®81®2з ) *если воспользоваться теперь формулами (20) § 6, то мы получим•[ = — (®i«i 1 4 - ®2®ia 4 - ®8®is)>где верхний знак берется при одноименных системах Ох хх, и Охх^х^,нижний при разноименных.
Аналогично получаются две другие формулы,так что получаем формулы преобразованияз2 «и®/»i=i(7)как раз совпадающие с формулами преобразования аксиального вектора.Таким образом каждому антисимметричному тензору отвечает некоторыйаксиальный вектор, и обратно.Отметим еще, что составляющими антисимметричного тензора по осямявляются векторар1 = — a 9i24-o)2i3 = [1ю],р8 — Пз» Ч - _(8)Заметим, наконец, что тензор, сопряженный с антисимметричным тензором, отличается от последнего только знакомП, = - П .(9)3.Докажем теперь теорему: всякий тензор можно разложить,и притом единственным образом, на сумму двух тензоров, изкоих один б\'дет_сщ^§^Ц(^шым^и. долгой, агшидимметричным,,Пусть дан тензор ГГ и”мы хотим разложить его на сумму двух 'тен-^зоров: симметричного £ и антисимметричного А:Л= £ 4 -Л .Взяв от обеих частей этого равенства сопряженные тензора= = s« 4 “ ^«>в силу формул (9) и (10) получимПс = £ —А,откуда, в соединении с (10), найдем, что необходимо взятьП4 - П,„П-П(10)314Афинны ео рто го н а л ьн ы етен зо рыВ силу равенства (2 1 ) § 22 тензор Е действительно будет симметричным, тензор А антисимметричным; впрочем это очевидно и из того,что элементами тензоров Е и А являютсяг> __ Pkl~iPtk.лa ki------2 ------»__ Pkt2Plk(\ о\Сумма тензоров Е й А дает, очевидно, исходный тензор П, следовательно теорема доказана.4.
В § 22 мы условились символически записывать тензорРп Рха Рп )IП=(13)Р 21 Р 22 />23/>31 />82 />83в видеn = i i P i - f i2P a +а также в виде3(14)i 3P 3 .sп = 2 Ц л 1(15)!* ь -ft=l 1=1В том же параграфе мы ввели в рассмотрение особого рода тензоры,названные нами диадами; в настоящем же параграфе мы определили, чтомы понимаем под сложением тензоров.Покажем теперь, что формулы (14) и (15) справедливы и в том случае, когда правые части этих формул мы понимаем как сумму соответственно трех и девяти диад.
Например, для доказательства формулы (14)достаточно заметить, что по самому определению диадыРпliP i000/>12 />130000’ » ЧРг —0/>21 />2200Раз0, i3p j =00000 0 10/>31 />32 />83 *складывая эти три диады, очевидно получим П. Аналогично доказываетсяи формула (1 5 ).Так как всякий тензор можно представить в форме (14), то мы видим, что всякий тензор м ож но представить в виде суммы трехдиад.— Заметим далее, что мы имеем право сгруппировать в (15) слагаемыеследующим образом:8 .
3П= 2^ Ры U j1=1 'к = 1';сли теперь ввести обозначенияз=( / = 1. 2. 3)У м но ж ениетоПтензортен з о р ана315в ек то рпредставляется опять в виде суммы трех диаднотолько теперь три взаимно перпендикулярных орта ilf I2, ia будутстоять в каждой диаде на последнем месте.Если мы имеем тензор П , представленный в виде суммы трех диадП=bj -j- а2b2-f* а3Ь8,то сопряженный тензор будет очевидно равен сумме трех сопряженныхдиадЦ? = bx ах -f- b2а2Ь3 а3.Задача 161. Разложитьна симметричную и антисимметричную частьдиаду ab. В частности выяснить значение аксиального вектора, соответствующего антисимметричной части.Ответ:ab =£ + AгдеS=(ab + Ьа) =~2 (а1^г+ а2^\) ~2~(аА ”Ьalbi121~2(аА + афд( а А + аА )‘Т Г ( а 2 ^ 3“ Ь а 3^2)- j (яА + аА )ОА=(ab— Ьа) =—<°з«> 83 8а*ь<В г0 — «ч— Ю2• “ = ~2 [Ь, а ] .О§ 24.
Умножение тензора на вектор-1. Пусть нам дан тензорPi 1 Р 13 Pi*П = Ij Pi + h Рз “Ь h Рз =Рч1 Р22 РъъРыи вектора—ах-j-12 #2 “Ъ 1з( 1)Рй2 Ръ 3•( 2)Под с к а л я р н ы м п р о и з в е д е н и е м т е н з о р а П на в е к т о р ас п р а в а мы будем понимать новый вектор а ', который мы будем обозначать символом (П, а) или, более коротко в тех случаях, когда это неможет вызвать недоразумений, П а и который мы определим формулойа, = (П,а) = Па = 11 (plf a) + i2 (р2, а) + !3 (р3,а ) === (Р\\ ~\rPi2 a*~\~Piз аъ)“Ь(Ра 1 а\"\‘Р2^ аа“1“Л8 йв)4“+ i3(Psi Я1 +Р32 аа4"Лв аз)>(3)316А финныео рто го н а л ьн ы етен зо рытак что проекциями этого вектора а' являютсяах —Рп~\~Рл Q-i~\~PisРчаРа»)aa'—P&i ai “Ь/^з Да Н- ЯзеiДд ==Рч,1|(4)Таким образом скалярное произведение тензора П на вектор аесть вектор, составляющие которого линейным однородным об разом выражаются через составляющие вектора а, причемкоэффициентами являются компоненты тензора Г1.
Вектор а' == (П, а) называется поэтому еще л и н е й н о й в е к т о р н о й ф у н к ци е й в е к т о р а а.Из самого вида формул (4) ясна дистрибутивность и ассоциативностьскалярного произведения тензора на вектор, выражающаяся формулами(П, -f- Па, а) = (Пи а) -{- (П2, а), (П, ах-j- а2) = (П, ах) -|- (П, а2),(5)(П, тл) = т (П, а).Рассмотрим частный случай, когда тензор П есть диада(П = b с == {(Ьх схс2 Ьг с3 )Ьъ сх Ь2 с2 Ь.2 с3 }Ь3 схс2 b3 Cj Jв этом случае формулы (4) приводятся ка х = Ь Х (с, а)а3 = Ь 2 (с, а)в/ = £„ (с, а)и, следовательно, мы получаем, что(Ьс, а) = Ь (с, а ) .(6)Мы видим отсюда, что для того чтобы скалярно помножить диаду навектор, достаточно формально помножитьна этот вектор ближайший к нему вектор диады.Если тензор П есть сумма нескольких диад, напримерП — Pi 4 i + P a Ча + Ра Чз»то в силу дистрибутивности произведения мы получим аналогичный результат(Pi Чг + Рэ Ча-ЬРа Чз» a) = Pi (Чп а ) + р а (Чз* а) + Рз (Чз.
а ) .(7)При перемножении тензора на вектор важно указывать порядок умножения. Условимся понимать под скалярным произведением заданного формулой (Д) тензора П на вектор а слева новый вектор а", который мыУ м н ож ен и е тен зо р ан а вектор317будем обозначать символом (а, П) или короче а П, и который мы определим формулойа " — (а, П) = (a, ix) рх - f (а, 12) р2 + (a, i8) р3 * а, рх+ а2р8а3р8 (8)и в проекциях== й1 Р\\ *Ь==—Р 12 “Ьai А за2 Рпа 2Р п “Ьа-д р31 >|а 8Рз2 > [(9 )аг Р 23 ~ f а з Раз • JДля произведения вектора на диаду получим аналогично (6)(а, b с) = (а, Ь) си далее, аналогично (7),(a, Pi qi + P2 Ч2 + Рз Чз) = (а, P i) 4i + (a, p2) q2 ~ H a , p3) q8.
(10)Формулы (7) и (10) приводят к очень простому практическому правилу: для скалярного умножения суммы нескольких диад на вектор достаточно помножить последний скалярно на ближайший к нему векторкаждой диады.Сравнение формул (4) и (9) приводит к одному важному выводу, выражающемуся формулой(а, П) = (Пв, а).(11)Формула (8) допускает интересное геометрическое толкование. В самом деле, сопоставим формулыа — a,\ i j - [~я2|(12)a " = fli P i + «2 Р2+ а з Рз JМы видим, что произведение (а, П) так составлено из векторовPi> Р2> Рз.
как вектор а составлен из основных ортов it, i2 i3.Ограничимся, для ясности, случаем двумерного пространства, так чтоa = a 1!i -f-fl2i2>а " = «iP i -f- л2р2.Построим на взаимно перпендикулярных ортах i, и i2 квадратнуюрешетку из растяжимых прутьев, соединенных шарнирами, как показанона черт. 87.Теперь так сдвинем и растянем стержни, чтобы образовалась параллелограматическая решетка (черт. 88), стороны каждого параллелограмакоторой дают векторы рг и р2.
Тогда радиус-вектор а = ОМ любойточки М решетки относительно точки О перейдет при такой деформации решетки в новый радиус-вектор а " = О'М' (О' и М' новые положения точек О и М). На чертежах даны а и а " для ах = 3, сц, — 2.2.В результате скалярного умножения тензора П на вектор а мыполучаем новый вектор а ' = (П, а). Поэтому на тензор П можно еще318А финны ео рто го н а л ьн ы етен зо рысмотреть как на оператор, совершающий преобразование одного вектора а в другой вектор л', проекции которого определяются формулами (4). Покажем, что эту точку зрения можно положить в основуеще одного определения тензора.Для того чтобы лучше уяснить себе сущность дела, докажем однутеорему, относящуюся к векторам.Если для всякой, прямолинейной прямоугольной системы координат Оххх%хз мы имеем совокупность трех величин bv b2} ЬЛ•г0/ИМЧерт.
87.и если при переходе к любой другой (конечно тоже прямолинейной прямоугольной) системе координат и для любого вектора а выполняется условиеaiJr a2 ^ 2 Jr«8= = a i ^ i Jr а2 К ~Ь аа К(1 3 )то величины Ьи Ь%, Ьь определяют вектор Ь.Для доказательства положим ax= 1, а2 = 0, а3 = О и заметим, чтотогда из (13) получитсяK = ai b1-j~a2b2-j-a3 Ьг \но, в силу того, что а есть вектор и в силу формул (2) § 22 будемиметьах= cos (xv X j), а2= cos (х2, д:^), а3 = cos (х3, х\),следовательно^ =cos(xt, x[)-\-b2 cos (x2, * ' ) - И 3 cos (xa, x\).Аналогично устанавливаются формулыполученных трех формул выражает по §величины bv b2 и Ь5 определяют векторДокажем теперь аналогичную теоремудля b’ и b'z. Совокупность же22, п. 1 как раз тот факт, чтоЬ.для тензоров.Пусть для каждой прямолинейной прямоугольной системыкоординат мы имеем совокупность девяти величин ры (А, /=■У= 1 , 2, 3),м н ож ен иетен зо рана319векто ри пусть линейные соотношенияby = P n ai-\-Pi2a a + P iz a e,Ьъ Pi\a\Jr P ‘22ai -\~РшаЪ>Щ — Psia i~Ь Рвъа г>=(1 4 )определяют в любой координатной системе совокупность трехвеличин bv b2, Ь3.Если эти величины оказываются проекциями некоторого вектора всегда, как только за а х, а 2> аа взяты проекции какогонибудь вектора, то девять величин р м, являющихся коэффициентами линейных соотношений (14), определяют некоторый тензор П.Для доказательства возьмем какую-либо систему координат Ох1х2х дIи постараемся выразить величину pkl через девять величин рг8.
Удобновзять за а вектор, который в новойвляющие а , = 1,а8 = 0 (s ф [)',системе координат имеет состатогда из формулы (1 4 ) получимТак как b и а по условию являются векторами, тоSГ=1поэтому, на основании формул (1 4 ),ззРы= bH= S3 3Ьгз= Г=12 2 akr Ргв as8= 1Г = 1 3=1а эти соотношения и являются выражением тогофакта, что величиныPki образуют тензор.3.В качестве применения предыдущей теоремырассмотрим еще несколько примеров тензоров.Допустим, что твердое тело вращается околонеподвижной точки О (черт.
89).Найдем выражение главного момента количествадвижения этого тела относительно точки О черезЧерт. 89.вектор его угловой скорости ш.Пусть положение точки М тела относительно точки О определяетсярадиус-вектором г, тогда скорость точки М будет равна (§ 9, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
