1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

Поэтомуda =,dr j = (Ф, dr) - f (A, dr).(4 0 )Но в силу формул (31), (32) и (38) мы имеем.(А, flfr) = ^ -[r o ta , dr],поэтому получаем разложение fifa на две части:da. =(Ф,dr) + -g[ro t a,dr].(4 1 )У м н ож ен и енатен зо равекто р32ВЭта формула опрзделяет относительные перемещения различных точекбесконечно малого объема, окружающего рассматриваемую точку, в видосуммы двух членов, последний из которых дает поворот объема какцелого, а первый определяет истинную деформацию объема (см. § 29, п. 4).5.Совершенно аналогично скалярному произведению можно опреде­лить векторное произведение тензораП = tiPi + iaPa -f- «зРзна вектор а справа как новый тензор П ', который мы обозначим сим­волом [ГГ, а] и который мы определим формулой[П, а] = I, [рр a] - f ig [р2, a] - f i3 [р8, а].(42)Из самого вида этой формулы видна дистрибутивность векторногопроизведения тензора на вектор.

Если взять за тензор Г1 диаду Ь с, то,как легко проверить, получится[be, а] = b [С, а],(43)т. е. опять надо формально помножить на вектор а тот вектор диады Ьс,который стоит ближе к а. Это правило остается в силе и в случае век­торного перемножения суммы нескольких диад на вектор а справа илислева.Образуем в качестве примера векторное произведениеФ = [» ./ ].где to— некоторый вектор, /— единичный тензор. Так както^ = U i + У з "Ь Мз>Ф = [to, i j i ,[®i ia]*9 + [wi У^з-Помножая тензор Ф на произвольный вектор а справа, получим(Ф, а) = [to, i,] (ip a) -f- [to, i2] (i2, a) - f [to, i3] (i3, a) == К 4 ] a, + [to, i2] a 2[to, i3] a 3 = [to, а].Сравнение полученной формулы с формулами (37) и (38) показывает,что тензор Ф совпадает с тензором А, определенным соотношением (37).Дадим теперь ряд задач, в которых мы выясним еще некоторые во­просы.Задача 162.

Показать, что если тензор П обладает тем свойством,что вектораа ' — (П, а), Ь' = (П, Ь), с ' = (П, с),где а, Ь, С три фиксированных нехомпланарныя вектора, оказываютсякомпланарными между собой, то все вектора (П, и), где и — любойвектор, компланарны и найдется такой отличный от нуля вектор V, что(II, у) — 0. Обратно из наличия такого вектора v следует компланар­ность всех (II, и).326АЗадача 163.финныео рто го н а л ьн ы етен зо рыПоказать, что если тензор П обладает тем свойством,что вектораа' = (П, а), Ь' = (П, Ь), с ' = (11, с)где а, Ь, С — три фиксированных некомпланарных вектора, оказываютсяколлинеарными между собой, то все вектора (П, и), где и — любойвектор, коллинеарны и найдутся два таких неколлинеарных вектораV и w, что (П, v) = 0 и (П, w) = 0. Обратно, из наличия двух такихвекторов v и w следует коллинеарность всех (П, и).Задача 164.

Если для трех некомпланарных векторов а, Ь, с мыимеем(П, а) = 0, (П, Ь) = 0, (П, с) = 0,то (П, и) = 0 для любого вектора и.На основании предыдущих задач все тензора можно разделить на4 класса; а именно возьмем три каких-либо некомпланарных вектора а,Ь, с и составим вектораа' = (П, а),Ь' = (П, Ь), с' = (П, с),тогда могут оказаться четыре следующих случая:1) а' = Ь' = с ' = 0, в этом случае назовем тензор П нулевым тен­зором.

Все составляющие нулевого тензора равны нулю, так как изформул (4) ясно, что в противном случае нашелся бы вектор а такой,что а ' ф 0*2) а ', Ь', с ' коллинеарны, но не все зараз равны нулю — в этомслучае тензор П называется л и н е й н ы м .3) а ', Ь', с ' компланарны, но не коллинеарны — в этом случае тен­зор П называется п л а н а р н ы м .4) а ', Ь ', с' некомпланарны — в этом случае тензор П называетсяпо л ным.Задача 165. Показать, что если рх, р2, р3 и q „ q2, q8 две тройкинекомпланарных векторов, то диада p xq t есть линейный тензор, суммадвух диад P it h -f - Р 2Я2 есть планарный тензор, а сумма трех диадР 1Я1 РзЯа Н" РзЯз есть полный тензор.Задача 166.

Показать, что, обратно, полный тензор всегда можетбыть представлен в виде суммы трех диад, но не может быть предста­влен суммой двух диад.Задача 167. Показать, что планарный тензор может быть предста­влен в виде суммы двух диад, но не может быть представлен однойдиадой.Задача 168. Показать, что линейный тензор может быть предста­влен одной диадой.Задача 169. Если П — тензор, г и г' — радиусы-векторы, то пре­образование г ' = (П, Г) можно рассматривать, как преобразование про­странства. Выяснить, в чем состоит это преобразование для следующихтензоров П:1) П = «/ (а — положительное число),2) П = / —j—аа,У м н ож ен иетен зо рана327векто р3) П = 2пп — /, где п — единичный вектор,4) IT = / -f-a b , где вектор b перпендикулярен вектору а,5) П = U i-M a ia -M e isгдеh>U и Ь»ia, 1з — Дветройкивзаимно перпендикулярных единичных векторов.О т в е т .

1) преобразование подобия; 2) растяжение в направлениивектора а; 3) поворот около оси п на 180°; 4) сдвиг плоскостей(Ь, г) = const параллельно направлению вектора а; 5) поворот простран­ства, при котором оси f , i2, i3 переходят в оси 1х, i2, i’ , сопрово­ждаемый зеркальным отражением пространства, £сли ориентация осейf' i2, 13 отлична от ориентации осейi2, i3.Задача 170. Дана лилейная векторная функция т' = [а, [Ь, г]] == (П, г). При каких условиях тензор П будет симметричным?О т в е т . При условии, что а и b коллинеарны.Задача 171. Для того, чтобы тензор П был антисимметричным, не­обходимо и достаточно, чтобы для любого вектора а выполнялосьравенство(а, (П, а)) = 0.Доказать это.Задача 172.

Показать, что кинетическая энергия Т твердого тела,вращающегося около неподвижной точки, может быть выражена фор­мулой7*=* у (ю, (У, » )),где У— тензор моментов инерции, <d— вектор угловой скорости.Задача 173. Дан тензор П. Разложим его на симметричную и анти­симметричную часть и обозначим через w вектор — соответствующийантисимметричной части. Доказать формулу(U, (П, V)) — (V, (П, U)) = — 2(d), [u, V])где и и v любые вектора.Задача 174.

Доказать, что[а, П ], = — [П „ а].Задача 175. Найти представление в виде суммы трех диад тензора П,преобразующего три некомпланарных вектора а, Ь, С в три данных век*тора р, q, г, т. е. тензора П такого, чтоП а = р, ПЬ = q, Пс = г.Р е ш е н и е . Обозначим через а*, Ь*, с * тройку векторов, взаимныхс системой векторов а, Ь, С (см. § 8). Тогда очевидно будетП = pa* -f* q‘j * 4 - rc*.В самом деле, принимая во внимание формулы (19) § 8, легко убе­диться, что этот тензор удовлетворяет всем поставленным условиям.328А финныео рто го н а л ьн ы етен зо рыС другой стороны, ясно, ч т о может быть только один тензор, удовле­творяющий требованиям задачи, так как если бы существовало дваразличных тензора Пх и П.2, дающих решение задачи, то тензор Ф=»s= Пх — П2 удовлетворял бы условиямФа = ФЬ = Фс = Ои следовательно не мог бы быть отличным от нуля.Задача 176.

Доказать, что если а, Ь, с — три некомпланарныхвектора, то имеет место тождествоаа* -f- b b * + c c * = !или, что то же,.а [Ь, с]b [с, a ]-f-с [а, Ь] = (а, [Ь, с])1.Задача 177. Тождество предыдущей задачи, в силу непрерывности,должно остаться тождеством и для компланарных векторов а, Ь, С.Исходя отсюда и предполагая, что вектора а, Ь, С обладают тем свой­ством, что из них может быть образован замкнутый треугольник, дока­зать теорему синусов плоской тригонометрии.§ 25. Произведение тензоров.1.В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о перемножении тензоров. Пусть мы имеем тензор А с элементами ап и тензор В с элемен­тами bhl.

Мы сейчас постараемся дать определение произведения тензораА на тензор В.К этому определению естественнее всего подойти, исходя из данногонами в предыдущем параграфе определения тензора, как оператора.В самом деле, рассмотрим какой-нибудь вектор с и преобразуем егопри помощи тензора В , т. е. образуем скалярное произведение тензора Вна вектор С, в результате мы получим новый вектор с ':с' = (В, с) = Вс.(1)Преобразуем теперь полученный вектор с ' при помощи тензора А,т. е. образуем скалярное произведение тензора А на вектор с '; в ре­зультате мы получим вектор с"'.с" = (А, С') = (А, Вс)АВс.(2)В окончательном результате мы получаем преобразование вектора Св вектор с".

Это преобразование осуществляется при помощи некоюрого тензора П:С' = (П, с) = Пс.(3)Сравнивая это выражение с предыдущим, мы естественно приходимк мысли назвать тензор II с к а л я р н ы м п р о и з в е д е н и е м т е н з о р о з Л и S и к тому, чтобы обозначить его черезП = (Л, В ) ^ А В .(4>Про и звед ен и е329тен зо ро вНайдем теперь выражение компонентов ри тензора П через компо*ненты аы и Ьп тензоров А к В.Если составляющие векторов с, с ', С" обозначим, как обычно, черезсь Ск , ск , то из формулы (1) будем иметь31=1далее из формулы (2) находимзГ=1следовательно8 зr=l i=lС другой стороны, из (3) видим, что3Сравнивая эти выражения с предыдущими, находим, что надо принять3(5)Итак с к а л я р н ы м п р о и з в е д е н и е м АВ (для краткости мы бу*дем говорить просто о произведении) д в у х т е н з о р о в А и В с ком*п о н е н т а м и ак1 и Ьы н а з ы в а е т с я т е н з о р П, с о с т а в л я ю щ и ек о т о р о г о о п р е д е л я ю т с я ф о р м у л а м и (5).Полученные выражения для элементов тензора АВ совпадают с темивыражениями, которые приходится рассматривать при перемноженииопределителей.

Рассматривая тензор А, мы можем составить определи*тель из элементов этого тензора, который мы будем обозначать сим­волом D (А):а и й12 aizD (A )=doi #22 агйa31 a 32 a 33Точно так же образуем определитель тензораЬ\г ^13D (В) — 671 Ь ,г Ь2зЬы Ьм ЬдаВ:330А финныео рто го н а л ьн ы етен зо рыЕсли мы будем умножать определитель D ( А) на определитель D (В)по обычному правилу, но только непременно у м н о ж а я с т р о к ио п р е д е л и т е л я D(A) на с т о л б ц ы о п р е д е л и т е л я D(B), то,как легко убедиться, для элементов определителя D (A) D ( В) получимкак раз выражения (5), т.

Характеристики

Список файлов книги