1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 51
Текст из файла (страница 51)
е. мы получим, чтоРп Р\ч Р\аР%\ Р'2%РчЪРп Рвъ РазD(A)D(B)(6)Итак о п р е д е л и т е л ь п р о и з в е д е н и я д в у х т е н з о р о в рав е н п р о и з в е д е нию о п р е д е л и т е л ей э т и х т е н з о р о в .Рассмотрим теперь некоторые следствия, вытекающие из данного намиопределения произведения двух тензоров.Прежде всего из формул (5) очевидна дистрибутивность произведения, выражающаяся формуламиВ) — (А» 3)-\-(Av В),(A, i51+ 5 3) = ( 4 B J + (А, В2).Далее, возьмем за тензора(7)А и В две диадыА = pq, В — rs,(8 )и составим их произведение, в результате, как легко вычислить, полу*чится(pq, rs) = (qr) ps.(9)На самом деле, впрочем, нет нужды производить какое-либо вычисление.
В самом деле, применим к тензорам (8) рассуждение началаэтого параграфа. Выберем какой-либо вектор с, тогдаС' = (5 , c) = (rs, с) = Г (s, С).Преобразуем теперь этот вектор при помощи тензораА:С* = (А с') = (pq, с ') = р (q, с ') = р (q, г) (s, с).Ясно, что если мы положимn = (q, r)p s,то окажется, по правилу умножения диады на вектор(П, с) = с",откуда следует, что П *■= Л 5 , т.
е. следует равенство (9).Итак, чтобы перемножить две диады, нужно скалярно помножить второй, вектор первой диады на первый вектор второйдиады и полученное число взять коэффициентом при диаде, пер-Про и звед ен и е331тен зо ро ввым вектором которой служит первый вектор первой диады,а вторым вектором второй вектор второй диады.В силу формул дистрибутивности (7) и в более общем случае произведения суммы нескольких диад на другую сумму нескольких диадбудет иметь место формальное правило: последние вектора диад пер'вого множителя нужно скалярно умножать на первые векторадиад второго множителя, например,м88.8 8( 2 p*q*»2'f c = lЕслиJ= iTiSi ) = 2 2>k = i 1= 1(q**p*s*( 10)А есть тензор с компонентами akl, то вводя вектораa i — ^11*1 Н~ a iih + а 13*э»а 3 = a21lj -(- « 22*2а аз*з»Зд = ЛзПх "Г ®32®2 “Ь ^83^3’мы можем, согласно § 23, написатьА = i,a x - j- laa.2 - j- isa3.Точно также, еслиВ есть тензор с компонентами bkl иbj =+b.2i\2-f- ^зЛ>Ь 2 =^ 1 2 * 1 “ f * ^ 2 2 ^ 2 ~ f~ ^ 3 2 *3 »^3 —^13^1^ 28*2 “ Ь\^ 83 *3 »то можно написатьВ = b ji,Производя теперь перемножение тензоровполучим очевидно, что88П = Л5 = 2А и В по правилу (10), мы2 (аЛ,*,рк = 1 (= 1откуда видно, что компонентами тензора П являютсяРн ~ (®*> bj) = aklbu - j- акфц - j- akSbSi(k, I = 1, 2, 3).Эти выражения совпадают, как и должно быть, с выражениями (5).2.Тот факт, „.что произведение двух тензоров, которое мы толькочто определили, опять оказывается тензором, является очень важным.В самом деле мы можем складывать и перемножать тензоры, и в результате этих действий опять получаются тензоры.
Это дает нам возможность еще 'одной точки зрения на тензоры; именно мы можемрассматривать последние, как особого рода гиперкомплексные числа,образующие замкнутый класс чисел, из которого мы не выходим, еслипроизводим над ними действия сложения и умножения.А финные332о рто го н а л ьн ы етен зо рыОднако алгебра тензоров обладает, рассматриваемая с этой точкизрения, некоторыми особенностями, которые мы сейчас и отметим.Мы уже отметили в предыдущем пункте свойство дистрибутивностипроизведения двух тензоров, выражающееся формулами (7 ).Далее совершенно очевидным представляется свойство ассоциативности по отношению к скалярному множителю т:(тА, В) = т(А, В),(Л, тВ) — т (Л, В),а также и свойство ассоциативности произведения трех тензоров:(АВ, С) = (А, ВС) = ABC,(12)доказательство которого предоставляется читателю.Остановимся теперь на других свойствах, которые отличают алгебрутензоров от обычной алгебры.Прежде всего необходимо резко подчеркнуть н е к о м м у т а т и в н о с т ь произведения двух тензоров.
Вообще говоря, п р о и з в е д е н и едвухт е н з о р о в АВ о т л и ч а е т с яотп р о и з в е д е н и я ВА.Например, если взять за А диаду i ji 2, а за В диаду i j , , то окажется,что АВ = \,\Х1 а ВА == iflf. Следовательно, в произведении несколькихтензоров важно отмечать порядок сомножителей, которые нельзя переставлять между собою.Второе важное отличие алгебры тензоров от обычной алгебры заключается в том, что произведение двух тензоров может обратитьсяв нуль, хотя оба тензора отличны от нуля. Так например, есливзять за А тензорЛ = 1,12 =тоАА =f° 1 °){ОIО о |,о оо )it (i2> ii) i2 = 0- Отсюда видно, что если мы имеем равенствоАВ = О,то мы не можем отсюда заключить, что или А «= 0 или В «=» 0.Разберемся в этом вопросе несколько подробнее.Если мы смотрим на тензор А как на оператор, то, применяя егок радиусу-вектору г, мы получаем новый вектор г ':ЩШг '« 4 г .Если мы рассматриваем совокупность всевозможных векторов г, тосовокупность соответствующих им векторов г ' может «жазаться однойиз следующих четырех видов (см.
задачи 1 6 2 — 168):1°. Все вектора г' = 0, в этом случае А — 0.2°. Все вектора г' коллинеарны, в этом случае Л называется лине йным т е н з о р о м .П ро и зведен и етен зо ро в3333°. Все вектора т' компланарны, в этом случае А называется пл а нарным т е н з о р о м .4°. Совокупность векторов г ' содержит в себе всевозможные вектора,в этом случае А называется п о л н ы м т е н з о р о м .Допустим теперь, что мы имеем равенствоАВ = 0,(13)и посмотрим, какие следствия мы можем отсюда вывести.
Предыдущееравенство эквивалентно тому, что для любого вектора г(АВ, г) = 0.(14)Вг = г ',(15)Но обозначимтогда предыдущее равенство принимает видАг' = 0.(16)Если тензор В полный, то в формуле (15) вектор т' может, принадлежащем выборе г, принять любое значение, а тогда из (16) легкозаключим, что А — 0.Если тензор В планарный, то в формуле (15) все значения вектора т'будут компланарны, а тогда, согласно задаче 163, из формулы (16) следует, что все значения Ат будут коллинеарны. Следовательно А естьлинейный тензор (или нуль).Если тензор В линейный, то в формуле (15) все значения вектора г 'будут коллинеарны, а тогда, согласно задаче 162, из формулы (16) следует, что все значения Ат будут компланарны. Следовательно А естьпланарный тензор (или линейный или нуль).*Наконец, если В есть нулевой тензор, то (13) выполняется длялюбого тензора А.
Таким образом, если в равенстве (13) один из тензоров А или В полный, то другой должен равняться нулю.Покажем теперь, что необходимое и достаточное условие длятого, чтобы тензор П был полным, состоит в неравенственулю определителя тензора П:D (П ) ф 0.(17)В самом деле, приведем тензор П по § 23 к сумме трех диадП == P jij ~f” Рг~Ь" Рз*8'где Ij, i2, i3 — три взаимно перпендикулярных единичных орта, и соста*вим произведенияШд a e jh , ш а = р2, ш з = р , .Для того, чтобы тензор П был полным, необходимо и достаточно,чтобы вектора pt, р2, р3 были бы не компланарны, т.
е. чтобы(Pi. [Рг, р8]) Ф 0;33 4Афинныео рто го н а л ьн ы етен зо рыэто неравенство, записанное в форме определителя, имеет видРи , Ръ\ РтР\2 Р& Pf>2 Ф °»Pi з Ръъ РйЗт. е. совпадает с неравенством (17), что и требовалось доказать.3.Рассмотрим произведения тензора П на самого себя.
Вместо ППпишут, как в обычной алгебре П2,. вместо П2П пишут П3 и т. д.Принимают далее условно, что нулевая степень тензора П равнаединичному тензору П° = /.Дадим теперь определение обратного тензора.Если существует такой тензор А, что имеет место равенствоЛП = /,(18)то тензор А называется обратным, для тензора П и обозначается через П- 1 .Не для всякого тензора П существует обратный тензор.
В самомделе применим формулу (6) к произведению (18) тензоров А и П; мыполучимD (A) D (П.) = D (Г) — 1,следовательно /)(П ) должен быть отличным от нуля, т. е. тензор Пдолжен быть полным. Полнота тензора П есть необходимое и достаточное условие существования обратного тензора П- 1 . В самомделе, допустим, что тензор П — полный и докажем, что существуетобратный тензор.
Действительно, преобразованиег ' = Пгпереводит в этом случае совокупность всевозможных векторов г опятьтаки в совокупность всевозможных векторов г', следовательно по каждому вектору г ' можно определить соответствующий ему вектор г.Следовательног = Ах',где А есть некоторый тензор. Комбинируя это равенство с предыдущим,мы увидим, что ЛП г = г, откуда в силу произвольности г следует, чтоЛП = /, т. е.
Л = 1 Г \Итак для всякого полного тензора П существует обратныйтензор П- 1 , причем, еслитог' = Пг,Г = П” У . ч(19)(20)Согласно основному определению (18)П -1 П = /(2 1 )Про и зведен и е335тен зо ро вНо если мы подставим в (19) выражение (20) то легко увидим, чтоП Е Г 1= 7(22)Отметим еще одно простое правило действия с обратными тензорами(АВ)~ 1 = В~ 1АГ(23)в самом деле(ВТ lA~x, АВ) = В-\А~\А)В = В - 1В = 1 .Вычислим теперь элементы тензора П~ через элементы тензора П.Если полный тензор П задан в диадной формеn = i i P i - f i2p2+ i 3p3(24)то, в силу полноты тензора П, вектора рп р2, р3 не могут быть компланарными, так как D (I1 ) = (plf [р2, р3]) и по условию полнотыD (I1 )4 = 0 . Обозначим через р Д р2*, р3* систему векторов, взаимныхс Pi.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
