1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Р2> Рз:п * ______(Ра» Ра!(P i. lPa. Рз1)п*3[Ps.Pi]_ # __[Pu Pal(Рп [Ра* Рз1) ’________ (P i.I P 2. P 8)] ’/2 е\Составим тензор^ = P j*Ji + P2*‘2 + P a %Образуем теперь по формуле (10) произведение П Л ; пользуясь формулами (1 9 ) § 8 увидим, чтоПАijijL 4 "^3^3 =а это равенство в силу (22) показывает, чтоА = ГГ” . ИтакП ' ^ Р Л + Р А + Р з^ з На основании этой формулы легко выразить составляющиезора П— через составляющие тензора П. Но мы поступим иначе.Формула (19), написанная в составляющих, имеет вид=PuXl + Рхр 2 + />23*3=/ > 81*1 + / > 3 2 * 2 Н ~ ЛЛ(26)тен(2 7 )536А финныео рто го н а л ьн ы етен зо рыxv х2} Хг по обычномуРешая эту систему уравнений относительноправилу Крамера, легко найдем, чтоЛ Л “ЬР*21Х2 “Ь А лD( П)^22Х2 ~Ь" ^32^3D (n )г|1 1^23^2 ~ЬХЛ(28)I^33Х3DQL)где Я ы суть алгебраические дополнения элементов£>(П)ЙР\\Р\ЧР 13Р пРм?23Ра\Ра2Разв определителер к1, умноженные на (— \)k+l.
Напримерт. е. миноры элементовРъь РчъРач*р'21РазPl2—-- __РагPi 3РазФормулы (28) суть не что иное, как формула (20), написанная в составляющих; поэтому мы получаем следующие формулы для элементов тен—1.зора П{ п -1L£>(П)*(29)4.Выше было указано, что тензора можно рассматривать как особогорода числа. Покажем сейчас, что обыкновенные комплексные числаможно трактовать как тензора частного вида в пространстве двух измеоений.Рассмотрим следующее преобразование пространствахл — р (xt cos f -{- х2sin <р),*8 — Р (“ *1 Sil1 Ч+ Х2C0S ?)•(3 0 )где р > 0 и ср— два вещественных числа.
Это преобразование состоиточевидно в повороте на угол <р около начала координат и последующемравномерном расширении или сжатии во все стороны.Преобразование (30) можно записать в видег' —Пг,где„П=Iрсср cos 9р sinI —р ssinpi 9р cos ?М.)(3 1 )Про и звед ен и етен зо ро в337По правилу сложения тензоров мы можем написатьII = pc os ? | 0j j - f - p s i n < p j __jQ J = р cos ср/-f- psincp/,(3 2 )где через У мы обозначили тензор0 1!1 о)У=(33)соответствующий очевидно повороту плоскости на угол 90° в направлении от оси х х к х2. Составим теперь У2, простое вычисление по формулам (5) дает, чтоИiов1 й й йчто впрочем ясно и так, ибо У2 соответствует очевидно повороту плоскости на 180° около начала координат.Мы видим, что тензор У подчиняется тем же правилам перемножениячто и комплексная единица I.
Можно поэтому отождествить У с ком*плексной единицей i и вместо (3 2 ) написатьП = *р cos с?Г -1I »р sin вti.(34)Таким образом тензора вида (31) можно рассматривать, как обычныекомплексные числа.В качестве весьма простого применения, положим в формулах (31)и (34) р = 1, тогда получим тензор поворота около начала координатна угол ср. Ясно, ч т о тензор П в означает в этом случае операцию поворота на угол пер. Поэтому мы приходим к известной формуле Моавра(cos ср—|—г sin ср)" == cosщ -f- i sin яср.5.В предыдущем пункте был рассмотрен вопрос о тензоре поворотав плоскости. Теперь мы рассмотримвопрос о повороте твердого тела в пространстве около неподвижной точки О.Проведем в твердом теле оси координат x v Хг, Х3 и пусть после поворота эти оси совпали с осями координатf g » Х2> Х3'Положение осей xlt х2, хд относительно осей xv хг, хд характеризуетсятаблицей косинусов ew § 22.
ОднакоЧерт. 90.весьма часто для определения этогоположения пользуются другими величинами. В механике обычно употребляют так называемые углы Эйлера ср,0 (черт. 90). Здесь 0?есть угол между осями хл и х 3, ср— угол между осью х, и лиН.Е.К о ч н и . — Векторноенечисленно22338Афинныео рто го н а л ьн ы етен зо рынией узлов ON (так называется линия пересечения плоскостей Ox.xtи Oxtxa), отсчитываемый от оси Охх в направлении к оси Ох., и ^ —ОМ и осью Oxt, отсчитываемый от линииON в положительном направлении вокруг оси Ох'л.Все девять косинусов аы могут быть выражены через три углаЭйлера.
В самом деле, мы можем осуществить поворот осей ОХлХoXaI , 'в новое положение и х гхлх9 путем трех последовательных поворотов:1 ) на угол ср около оси ха, при этом ось Ох, перейдет в линиюузлов ON, 2 ) на угол б около линии узлов ON, при этом ось Охвперейдет в Охг и 3) на угол <|« около оси Ох3, при этом ось ONперейдет в ось Oxv В результате этих трех поворотов ось Охх перейдет в Oxlf ось Охз в Oxj , и следовательно ось Ох2 в Охг, т.
е. телоугол между линией узловузловиз старого положения перейдет в новое.Но каждому из трех указанных поворотов отвечает свой тензорповорота, а именно повороту на угол ср соответствует преобразование=х хcos ср-}- х2 sin ср,6з = — х х sin <р-}- х%cos ср,*3 =^8>где ось 0?х совпадает с линией узловВ тензорной форме мы будем иметьON, а ось 0\3 с осью Охг.Г — Фг,где г вектор с составляющими ?х, ?2, £в> а ® тензорcosФ.ср sin ср О— sin <р cos 9ООО1Точно так же поворотам на углы б и f соответствуют преобразованияto = a r ,где to вектор сссоставляющими y]j, iq9, т)9> причем осьОг^ совпадаетON, а ось От\г с осью Oxt , а& и V — тензора(6=100COS»}»cos 0 sin 0i 0—sin0 cos 01 0w=— sinsin0COS00°1 1В результате мы получаем окончательное преобразованиег ' щ ^ОФг,1Про и зведен и е339тен зо ро ви так как он о долж н о со вп а д а ть с п р еоб р азован и ем*1 = *11*1 + *12*2 + *13*3**2 = *21*1 “Ь ®23*2 "f" ®23*3»*8*31*1 "4” *32*2 ~1~ *33*3»то мы получаем возможность, составив произведение трех тензоров ЧГ&Фпо формулам (5), вычислить все девять косинусов аы:аи = cos 9 cos ф — sin <р sin $ cos 0,al2 = sin <pc o s <b- J - cos a sin <|<cos 0,в ц = sin ф sin 6 ,a 21 = — cos » sin ф— sin9coscos 0 ,Я2 3 = COSa3! = sin9sin 0 ,a82 =— — sin <psin $ Я cos <p cos ф cos 0 ,Sin 0,— co s <psin 0 ,a 83 = cos 0 .Задача 178.
Доказать симметричность тензора П П .Задача 179. Доказать, что (Пе)- 1 = (П- 1 )е.Задача 180. Показать, что всякому тензору П можно сопоставитьтензор П*, обладающий тем свойством, что для любыхров и и v имеет место равенстводвух векто(П *, [u, v]) = [Пи, П у ].Найти выражение тензора П * в диадной форме, еслиП = iipi - f - i|Pi + *зРз = PiU “Ь р 2*2 + Рз*зО т в е т . П* = [р2, Рз] Ii —|—[Рз» Р»1 *аЧ" [Pi* Ра! VЗадача 181. Показать, чтоП , - П * = £>(П)/и, исходя отсюда, найти выражения для составляющих { П *}Л1 тензора П*.О т в е т . {П*}*| = Я Н, где Ри — величины, определенные в п. 3.Задача 182.
Показать, что Д -(П *) = [£>(П)]а.Задача 183. Показать, что если Щ 12, 13 орты, направленные по осяи* 1 » * 2 » *з»а it) i2i ^з — орты, направленные по взаимно перпендикулярным осям х . , х2, х8 (черт. 90), имеющим ту же ориентацию, что и оси*i> х2, х8, то тензор поворота П может быть представлен в формеП = U i + U a 4 " Мз*Задача 184. Показать, что если ПП, = / и О (П) > 0, то П естьтензор поворота.§ 26. Симметричные тензоры. Тензорный эллипсоид.1.Рассмотрим симметричный тензор П, так что его элементы удовлетворяют соотношениямРы ~Pin- ( * , / — 1 . 2 , 3 )(1)22*34 0Афинныео рто го н а л ьн ы етен зо рыДокажем следующее важное свойство симметричных тензоров:( Ь , (П, а )) = ( а , (П, Ь ))( :)т.
е. скалярное произведение из Ъ и скалярного произведения симметричного тензора П на вектор а не меняется при перестановке векторова и Ь.В самом деле,S33(Ь, (П, а ) ) « 2 й» 2А А — jк= 1г= 133(а , (П, Ь)) = 21-18а*2к = 1 1=18А А = 2к= 132 АДАк = 1 1=1и в силу (1) оба выражения равны.2.Симметричные тензоры допускают интересную геометрическую итерпретацию, к изложению которой мы и перейдем.Заметим, что вектор а можно графически представлять не только направленным отрезком (как обычно), но и плоскостью(а, г) — 1(3)где г — радиус-вектор переменной точки (черт.
91). В самом деле, так как,ч,1(а, г) = ага = 1 , то га = — , т. е. геометрическое место концов радиусоввекторов, исходящих из начала координат и удовлетворяющих уравнению (3), есть плоскость, перпендикулярная вектору а и отстоящая отначала координат на расстоянии — . Поэтому вектор а перпендикуляренк* плоскости (3) и имеет длину, обратную расстоянию начала координатдо этой плоскости. На прямой, проходящей через начало координат иимеющей направление п, плоскость (3) отсекает отрезок длины р = — .Будем аналогично поступать с симметричным тензором П.
Рассмотримповерхность(г, (П, г ) ) = 1 ,(4)где г — радиус-вектор переменной точки. Производя перемножение, длялевой части уравнения (4) найдем выражениеF ~ P l l X l 4 ” р 2 2 Х2 4 " Р з з Х 9 4 " ^ Р ц Х 1Х 2 4 " ^“РгЪХ 2Х Ъ4 ~ ^Р%\Х 3 * 1 =1 * (^ )Таким образом мы имеем дело с поверхностью второго порядка, имеющейцентр (черт. 92). По самому способу получения поверхность эта не зависитот выбора системы координат. Найдем точки пересечения этой поверхности с координатными осями. На оси Охх имеем х2= х3= 0, поэтому1С им м етричны е341тен зо рыно так как всякий радиус, исходящий из начала координат и имеющийнаправление п, может быть взят за ось х х, то, значит, этот радиус пересекает поверхность (4 ) в точке, отстоящей от начала координат на расстоянииГ(6)-т хТаким образом, если на каждой прямой, проходящей через началокоординат, отложить отрезок, обратный корню квадратному изтогеометрическое место концов этих отрезков даст поверхность второго порядка ( 5 ) .
Если для всякого напра- \вления п величина р пп положительна — случай, наиболееважный в приложениях, — поверхность (5 ) будет очевидно эллипсоидом, ибо все р будут ограничены. Поэтомууравнение (5) называется уравнением т е н з о р н о г оэ л л и п с о и д а (хотя оно может представлять и другиеповерхности второго порядка). Если тензор есть тензорЧерт. 91.моментов инерции, то р лп —т. е. рлп есть в этомслучае момент инерции относительно оси п, величинавсегда положительная, поэтому, строя по указанному выше правилуповерхность, мы получаем эллипсоид инерции.Если для некоторых направлений р ян принимает отрицательные значения, то в правых частях формул (4) и (б ) можно вместо 1 брать ± 1,а в правой части формулы (6 ) вместо р ап брать |/?11П[.Скалярное произведение (II, г) имеет простое геометрическое значение. А именно докажем, что если вектор г оканчивается в точке Мповерхности (4), то векторГ, = (П, Г)(7)имеет направление нормали к плоскости, касательной к поверхностив точке М.В самом деле, если точка М, оставаясь на поверхности, испытаетбесконечно малое смещение, то радиус-вектор г получит бесконечномалое приращение dr, лежащее в касательной плоскости к поверхности в точке М.
При этом мы\ «/ *будем иметьd (Г, (П, Г )) = О(ибо на поверхности (г, (П, г )) = 1), или(dr,(П, г ) ) + (г , ( П , Л ) ) = 0 .Черт. 92.Но по основному свойству симметричных тензоров оба слагаемыхравны, следовательно(dr, г ,) = О,т. е. г , перпендикулярен к любому направлению, лежащему в касательной плоскости к поверхности в точке М, что и требовалось доказать.Впрочем это обстоятельство непосредственно вытекает из формулы (3 6 )§ 24.342А финныео рто го н а льн ы е тен зо рыrt - ON =Так как (г, гг) = 1, то(П, г ) получаем выражение1,откуда для величины вектораГ' = ШЗ адач а 185.®Показать что для антисимметричного тензораАимеетместо равенство(b, (A, a)) -f- (а, (А, Ь)) = Одля любых векторов а и Ь.З адач а 186. Во что переходит поверхность (г, г) = 1 при преобразовании г ' = (П , г), где П полный тензор?О т в е т : В эллипсоид ( г ', 7 г ' ) = 1 , где 7 ' = П в 1 П.§ 27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
