1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 61
Текст из файла (страница 61)
34.25. Найти ортогональную проекцию точки А на плоскостыв, если: 1) А( — 3, 2, 2, — 2); пп хз =2+Х1+Х2, ха=4+2Хм хЗ=Хм х4= Х2 2) А(3, 2, 1, 4, — 1): пп х1 = 1+Хм хз = — 1+Х2, хз = = 2+Хз+Х2, х4 = — 2 — Хм хз = Х2', 3) А(0, — 1,5,1, — 2); пп х4 =1+Хм х2=Хз, хз=1+ + Хз+Х2, х4 = — 2+Хз, хз = — 1+ Х2. 34.26.
Найти точку, ортогонально симметричную точке А относительно плоскости 4п, если: 1) А (5, 3, — 1, — 1); пп х4 = 1 + Хм х2 = Х2, хз = — 2 + + Х2~ т4 = 1+Х1~ 2) А(3, 5, О, 2, 2); пп х4 =Хм ха =2+Ха, хз = — 3+Хм х4=3 — Х1 — Х2, х5=1. 34.27. Пусть пт плоскость с направляющим подпространством М, проходящая через точку Ао, а Л,..., Ь-- базис в М. Доказать,что квадрат расстояния от точки Аз до плоскости гп равен йеХГ(АеАм Хм ..., )ь),1е1еХГф, ..., Я. 34.28. Найти расстояние от точки А до плоскости пп 1) в задаче 34.24, 1); 2) в задаче 34.24, 2). 34.29. Найти расстояние от точки А до плоскости гп, заданной параметрически, если: 1) А(1, 2, 1, 1); гп: х4 = — 2Х4+4Х2, хз = — 1+Хз — Х2, хз= ХЗ: х4=Х1 Х2~ 2) А(3, 1, 1, 0); пп х4 = — 2+Хм хз = — Х1+2Х2, хз = = Х1 — Х2, х4 = 1 — Х1 — Х2,' 3) А(1,2,1,3,0); пп х1=11Хм х2= Х4 ~ Х2, хз= = 1+Хз, х4 = — 1 — Х2, хз = Хь 34.30.
Найти расстояние от точки А до плоскости п4, заданной системой линейных уравнений, если: 1) А(1, О, О, 1); ип х1+2х2+ 2хз — Зх4 = 7, х1 — 2хз+ + 2х4 = — 6; 2) А(1, 2, О, 0); пп х4+х2 — хз — х4 = 1, 2х2 — Зхз+ + х4 = 2, 2х1+ хз — Зх4 = О. 34.31. Точки А и В заданы своими координатами. Найти угол между вектором АВ и плоскостью п1, если: 3 о4'. Точечные евнлидовм нроетрвнстпва 321 1) А(1,2,2,3), В(4,0,0,2); 1п; х1=1+11, х2=2+ + ег~ ХЗ = о1 + ег~ Х4 = 31 2) А(0,1,— 1,0,1), В(3,1,0,1,2); ш: х1=11+12, хг=5, хз = еъ х4 = 11+ еъ хз = 2+11~ 3) А( — 1, — 1, 1, О, 1), В(2, 1, 1, 1, 0); гп: х1 = 11+ оз, хг = 2+ 42, хз = 1 — 12, х4 = — 11+ Зз, хз = — 2Зз.
34.32. Плоскости 1 и 1п из и-мерного точечного евклидова пространства с направляющими подпространствами Е и М соответственно прохолят: 1 через точку А, гп через точку В. Пусть д1, ..., дь - базис в подпространстве Е + М. Доказать, что квадрат расстояния между плоскостями 1и ш равен с1е1Г(АВ, д1, ..., дь)1111еФГ(д1, ..., дь). 34.33. Найти расстояние между плоскостями 1 и гп: 1) 1: х1 = 2 — 21, хг = 4+ 1, хз = 1+ 1, х4 = 0; ш: х1 = 1 — 211, хг = 1+211+312; хз = 1+З1, х4 = 1+ + 211 + 242; 2) 1: т1 = 3 + 41 + 212, хг = — З1, хз = 1 + 11 — Зг, Х4 = — 41 — ог', ПП Х1 = 241 + 42, Х2 = 1 — 341 + ег, хз = — 8 — гг, х4 = 1 + 11 — 12,' 3)1; х1=2+е, х2=24, хз=1, х4=1, хз=О; ш: х1=0, х2= 1+11+42, хз =3+212, х4 =211, хз= = 1+ 11 — 12; 4) 1 х1 = 1+ог~ х2 = ег~ хз = о1~ х4 = о1~ хз = 2о1~ ш: х1 =12+213, хг = 2+11+213, хз = т4 = 1+41 — Ьг+Зз, хз = 2+ З1 — 12 + 2Зз; 5) 1; 2х1 — хз + Зх4 = О, 2х1 — 2хг + Зхз — Зх4 = 8; ш: хг = — Зхз — 2х4 = 2, х1 — хз — х4 = 0; 6) 1: х1+ тг — хз = 1, 2х1+ хг — х4 = 4; ш: х1+хг+ + хз = -1, х1+ хз + х4 = 1, 2х1 — хг — х4 = О.
34.34. В и-мерном пространстве плоскости 1п1 и шг размерностей й1 и 142 соответственно абсолютно скрещиваются. Доказать, что; 1) существует единственная плоскость размерности ив — Й1 — йг, ортогональная к 1п1 и к шг и пересекающая каждую из этих плоскостей; 2) существует единственная прямая, ортогональная к п11 и к шг и пересекающая каждую из этих плоскостей. 34.35.
Найти уравнения плоскости максимальной размерности, ортогональной к заданным плоскостям ш1 и шг и пересекающей каждую из этих плоскостей, а также уравнения 322 Гл. 1д. Аффинные и точечные евклидовы пространства общего перпендикуляра к пц и ш2, если: 1) щ4 и щз прямые в задаче 34.23, 1); 2) щ1 и щз прямые в задаче 34.23, 3); 3) пц и щ2 плоскости в задаче 34.33, 3). 34.36.
Найти угол между плоскостями пц: хг = 2+14+ +12, хе=ха=1ы х4= — 1+8~ — 12 ищв. х4=14+21з, хе= = 3+ г2, хз = 2 — гг — 2г2, х4 = — Ьз. 34.37. В правильном пятимерном симплексе АеА4АзАзА4Ав найти Угол: 1) между гранями АоА4Аз и АеАзА4 2) между гранями АоА4Аз и АоАзА4Ав! 3) между гранями АеА4А2 и АгА2АзА4Аы Глава 14 ТЕНЗОРЫ В з 35 используются следующие основные понятия: инвариант, тензор типа (р, а) (р раз контравариантный, а раз конариантный, (р+ у)-валеитпый тензор), ковектор, компоненты теизора, матрица из компонент гпеизорп, закон преобразования компонент тензора при зал1ене базиса.
Линейное и-мерное пространство обозначается через пп. Всюду в этой главе предполагается,что пространство ь„ вещественное. Тензор обозначается одной буквой, его компоненты той же буквой с индексами. Например, компоненты тензора а типа (2, 1) обозначаются через а~~ (предполагается,что индексы л,у, й принимают всевозможные натуральные значения от 1 до п, где и -- размерность пространства). Через а з можно обозначать и сам тензор. Нижние и верхние индексы называются также ковариаптпными и контравариантными соответственно.
Для элементов матрицы Я перехода от одного базиса к другому принято стандартное обозначение а' (г — номер строки, у — номер столбца). Через т' обозначаются элементы матрицы Т, обратной к Я. Компоненты тензора типа (2, 1) при переходе к новому базису изменяются по формуле З г л Ь ал = а1' т; т ал . з В правой части равенства предполагается суммирование по индексам г', у', 1.
Все индексы пробегают натуральные зна тения от 1 до п. Аналогичный вид имеет закон преобразования компонент произвольного тензора. Говорят, что пиление индексы преобразуютсл с помощью злемепгпое матрицы перехода о, а верхние — с помощью злемю*тпон обратной матрицы. Инвариант, т.е. числовую величину, не зависящую от базиса, считают тензором типа (О, 0) (с одной компонентой). Относительным инвариантом веса р называется числовая величина, которая при переходе от базиса е к базису еб умножается на (ое1 Я)г. Тензоры, все компоненты которых равны О, называются нулевыми. В некоторых задачах употребляется тензор типа (1, 1), называемый символом Кроиекера.
Кто компоненты во всех базисах определяются формулой ~1 при 1 = з, б' = '10 при л ~ ~. 324 Гл. Ц. Тепзоры В тех случаях, когда нужно выписать все компоненты какого-либо тензора, мы пользуемся матричной записькл. Скажем о ней подробнее. Предварительно все индексы тензора упорядочим следующим образом; сначала все верхние индексы слева направо, затем все нижние индексы слева направо '). Упорядочив индексы, мы можем совокупность компонент двухвалентного тензора записать в виде квадратной матрицы порядка п; при этом первьш индекс коллпоненты полагаем равным номеру строки, второй — номеру столбца. Аналогично, совокупность компонент трехвалентного тензора можно расположить в виде гпрехмерной матрицы и-го порядка. Чтобы записать трехмерную матрицу, поступаем следующим образом.
Зафиксировав какое-либо значение й третьего индекса, мы получаем двумерный слой или двумерное сечение трехмерной матрицы — квадратную матрицу Ал порядка и. В матрице Ал компоненты данного тензора расположены так, что значение первого индекса компоненты равно номеру строки, второго — номеру столбца, а третий индекс равен й.
Теперь все компоненты данного тензора можно записать в виде (плоской) прямоугольной матрицы А = ~) А1 А2 ... Ав ~~г1 2) размеров п х и, образованной из элементов блоков Аы Матрипу А 2 также условно называем трехмерной матрицей. Например, при п = 2 компоненты тензора а'л образуют «трехмерную матрицу второго порядка» 1 1 1 1 11 21 12 22 2 2 2 2 а11 а21 а12 а22 содержащую два двумерных слоя.
Компоненты четырехвалснтного тснзора в Е„образуют четырехмеряую матрицу порядка и. Зафиксировав какие.-либо значения к, 1 двух последних индексов, мы получаем квадратную матрицу Аы порядка и — двумерное сечение четырехмерной матрицы. В матрице Аы компоненты данного тензора расположены так, что значение первого индекса кол1поненты совпадает с номером строки, значение второго — с номером столбца, а третий и четвертый индексы равны соответственно л. и й Теперь все компоненты данного тензора можно записать в виде плоской квадратной матрицы А = ~, 'Аы порядка п2, образованной из элементов блоков Ам.
Матрица А также может быть названа условно четырехмерной матрицей. Например, при и = 2 тензору а„уы соответствует «четырехмерная матрица Двя некоторых тензоров в евклндовом пространстве употребляется другой способ упорядочивания индексов. О нем сказано ниже, в комментарии к э 37. Описание матричной записи компонент тензора относится к любым тензорам, у которых все индексы квк-то упорядочены.
2 Значок показывает, что элементы матрицы — числа, а не матрии Пы, — см. введение к гл. 6. 325 Гл. Ц. Тепзоры второго порядка» содержащая четыре двумерных слоя. В 3 36 рассматриваются следующие тензорные операции: сложение тензоров, умножение на число, умнозсение тензоров, свергаывание по одному верхнему и одному низснему индексу, свертывание двух тензоров, транспонирование, си метрирование и альтпернирование тензора по некоторому мнозсеству низсних или верхних индексов. Вообще говоря, тснзор, полученный в результате некоторой алгебраической операции, обозначается новой буквой. Так, тензор,полученный транспонированием тензора агп можно обозначить Ь,; при этом для всех компонент выполнено равенство Ь;: = а,.
Операция симметрирования обозначается заключением в круглые скобки тех индексов тензора, по которым производится симметрирование. Если внутри скобок оказались индексы, по которым симметрирования нет, эти индексы выделяются прямыми чертами. Например, тензор Ь, ы = а<,~з,ьу получается из а,, ы снмметрированием по индексам 1, Ь. Аналогичное замечание можно сделать об операции альтернирования, обозначаемой с помощью заключения в квадратные скобки индексов, по которым производится альтернирование.
Умножение тензоров обозначается значком З или точкой. Умножение тензоров не коммутативно. Так, если а, и Ьы — компоненты тензоров а и Ь, то можно записать а 8 Ь = с, Ь З а = а; при этом с; ьн = а„;Ьы, а, ы = Ь, аы. Тензоры с, д получаются один из другого транспонированием. В 3 37 рассматриваются тензоры в п-мерном евклидовом пространстве б„. В б„определен метрический тензор д. Его компоненты в произвольном базисе еы..., е„определяются через скалярные произведения базисных векторов формулой д, = (е„е~). Тензор д— симметричный типа (О, 2); его компоненты образую г в каждом базисе магрипу Грама Г этого базиса.
Матрица Г 1 определяет симметричный тензор д* типа (2, 0) — коппцисварианпгпый метрический тензор пространства бо. Его компоненты обозначаются через д'з. Имеют место формулы: д'ьдь = б', дгьд"1 = б~. В ортонормированном базисе компоненты тензоров д,ь и д'~ образуют единичные матрицы. В евклидовом пространстве опрсделенгя операции поднятия и опускания индекса. Для того чтобы у тензора можно было опустить индекс, необходимо, чтобы данный тензор имел хотя бы один верхний индекс. В результате опускания индекса из тензора а получается новый тензор, у которого число нижних индексов увеличено на 1, а число верхних индексов уменьшено на 1 по сравнению с а. Новый 326 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
