1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Привести следующие квадратичные формы к кано- ническому виду: 1) 4х — 12гх1хв — 9х~; 2) 9х1 + 24(г + 1) х1хз + 16ха, 3) х1хсб 2) 2. 4) еехз ех х + х2 е езке/3. 5) (1 + г) х1 ~+ (2 + 21) х1хз + гхз ~+ Зхз', 6) х~~ + (2 — 21)хатха + 2х1хз + 2гх~~ + (2+ 21) хзхз + (1+ г) х~~., 7) — х~1 — 4гх1хз — (2 — 21) х1хз + 4х~ ~— (4+ 41) хзхз + 2гхзз.
32.42. Составить матрицы данных эрмитовых билинейных форм в п-мерном пространстве: 1) — гх1у1 (и = 1); 2) — гх1у1 (и = 2): 3) Зхгу~ + 4гх1уз — 5хзу1+ гхзуз (и = 2); 4) — 31х~д~ + 2х1уз + 2хзд1 + (1 — г) хауз (и = 2); 5) (1 + г) х1да + (1+ г) хзу1 — 5хздз (п = 2); 6) (1 + г) х1ув + (1 — г) хзу1 — бхзуз (п = 2); 7) х~д1 — Зхзуз + (2+ г) хауз — гх1уз + (4+ г)хзу~ (н = 3); 8) 2х|у1 — бх2уз + (1 + Зъ'2) хауз + Зх1уз + Зх2у1 + (2— — 51) х1уз + (2+ 51) хзу~ + 4гхзуз — 4гхзуз (и = 3); и 9) 2 х,де 32.43. Какие из эрмитовых билинейных форм в задаче 32.42 симметричны? Записать соответствующие им эрмитовы квадратичные формы. 306 Гл. 1е.
Функции на линейном нроегаранегаое 32.44. Записать эрмитову квадратичную форму; имеюпгую данную матрицу: 1) А4г, 2) Агэ (при е = ег '~з); 3) Агав, 4) Алэь 32.45. Эрмитова квадратичная форма записана в ортонормированном базисе и-мерного унитарного пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная эрмитова квадратичная форма имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид: 1) 2~х1~г+1хгхг — 1хгх~ + 2 ~хг~ (в = 2); 2) )х1(г+ (3 — 41)х~хг+ (3+41)хгхг+ гхг) (и = 2); 3) )х1)~ + ех1хг + ехгх1 + (хг! (е = е и ) (и = 2); 4) 3 )х1)~ + 3 )хг)~ — 5 )хз(~ — 1х1хг + 1хгхг (и = 3); 5) )х1(~+ )хг)~+ )хз! +х1хг+хгх1+1х1хз — 1хзх1+1хгхз— — 1хзхг (и = 3); 6) 12/х1/ — (1+1) хгхг — (1 — 1) хгх1+ 2хгхз+ 2хзхг + (3+ + 31) х1х4 + (3 — 31) хлх1 + 12 /хг/ + (1 — 1) хгхз + (1 + 1)хзхг— — 2хгхл — 2х4Уг + 8 !ха~~ — (1 + 1) хзха — (1 — 1) х4хз + 8 ~х4~ (и = 4).
32.46. Восстановить симметричную эрмитову билинейную функцию Ь (х, у) по эрмитовой квадратичной функции К (х) = = Ь(х, х). 32.47. Доказать, что в линейном пространстве комплексных матриц порядка и функция 1с (Х) = 1г (Х Х ) является положительно определенной зрмитовой квадратичной функцией. Глава 13 АФФИННЫЕ И ТО "ХЕтлНЫЕ ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА й 33. Аффинные пространства В этом параграфе используются следующие основные понятия: вещесгпвенное п-мерное аффинпое пространсгаво и его пространсгпво векторов, декартова система координат, декартаовы координаты и координатный столбец точки, пезавис мая система точек, гллоскоспль в аффинном глространсгпве, прям я линия, гиперплоскость, направляющее подпространство плоскости, проекции точки и вектора на плоскость параллельно другой плоскости, отрезок, выпуклое множество, выпуклая оболочка множества, симплекс, треугольник, тетраэдр, грани и ребра симплекса, пар ллслепипед, пара, лелограмм, граница, грани, ребра, вершины, диагона и, параллелепипеда.
Единственную точку В аффинного пространства такую, что АВ = х, обозначаем Р (А,х). Система точек Аа, Аы, .., Ау аффинного пространства называется независ мой (или системой в общем положепии), если система векторов АаАы АаАг, ..., АеАь является линейно независимой. Рассмотрим плоскость т в аффинном пространстве А. Пусть Аа фиксированная точка, принадлежащая плоскости, Ьы ..., Ьь — базис направляющего надпространства плоскости, а О— фиксированная точка аффиниого пространства.
Радиус-векгпором точки А относительно точки О называется вектор ОА. Точка А с радиус-вектором т принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда х = хе + ЬлЬл + . + $ьЬл Параметры 1ы ..., 1ь принимают произвольные значения и однозначно определяются точкой А. Если ввести декартову систему координат с началом в точке О, то все векторы в уравнении (1) могут быть заменены их координатными столбцами в атой системе координат О, е: х = ха +111лг+ . + 1ь1ль. Наконец, записывая уравнение (1) покоординатно в базисе е, мы получим параметрические уравнения плоскости щ в системе коорди- натО, е: х; = х,е+слЬп +...
+1лЬоп л = 1, ..., Й 308 Гл. 1Ж Аффинкые и точечные ееклидовы пространства Пусть ш и ш' — две плоскосги в аффинном пространстве А с пространством векторов ь', а М и М' — направляющие надпространства этих плоскостей. Если М с М' или М' с М, то плоскости ш и ш' называются параллельными. Если га и |п' не имеют общих точек и не параллельны, то эти плоскости называются скрещивающимися. Различают два случая: если нри этом М П М' = 1о), то плоскости называются абсолютно скрещивающимися; если же гп и ш' скрещиваются, а пересечение М й М' содержит ненулевой вектор, но не совпадает ни с одним из надпространств М и М', то плоскости называются скрещивающимися пара лельпо подпростраистеу М О М'. Если прямая сумма направляющих подпространств М и М' плоскостей ш и ш' совпадает с пространством векторов Е, то плоскости ш и ш' имеют единстненную общую точку.
В этом случае определено понятие проекции точки А й А на одну из этих плоскостей параллельно другой, а именно: проекцией точки А на плоскость ш' параллельно плоскостпи гп (или параллельно М) называется точка пересечения плоскости ш' с плоскостью, имеющей направляющее надпространство М и содержащей точку А. Отрезком АВ, соединяющим точки А и В аффинного пространства, называется множество всех точек вида Р(А, 1АВ), 1 й )О, 1]. Хотя в аффинном пространстве расстояние между точками не определено, тем не менее ъюжно ввести понятие деления отрезка в заданном отношении. Если р и д некоторые числа, р + а ~ О, то говорят, что точка С делит отрезок АВ в отноп1ении р: а, если аАС = рСВ.
Если отношение р: а отрицательно, то точка С лежит вне отрезка АВ. Серединой отрезка называется точка, делящая этот отрезок в отношении 1: 1. Множество Я точек аффинного пространства называется еье пуклым, если для любых двух точек из Я весь отрезок, их соединяющий, целиком содержится в Д. Выпуклой оболочкой некоторого множества М аффинного пространства называется пересечение всех выпуклых множеств, содержащих М. Выпуклая оболочка независимой системы точек Ае, Ам ..., Аъ называется й-мерным симплексом с вершиналги Ае, Аы ..., Аъ. Нульмерным симплексом является точка, одномерным — отрезок; двумерный симплекс с вершинами Ае, Аы Аг называется треугольником, трехмерный симплекс с вершинами Ае, Аы Аш Аз называется тетраэдром.
Всякий р-мерный симплекс, вершинами которого являются некоторые точки Ве, Вы ..., Вр из ллножества вершин данного й-мерного сиъшлекса, называется р-мериой гранью данного й-мерного симплекса (О ( й ( р). Одномерные грани симплекса называются ребрами. Пусть заданы точка Ае аффинного пространства А с пространством векторов ь' и система уы ..., 1ъ линейно независимых векторов ь. Множество всех точек вида у 33. Аффинные просгпранстеа 309 Р(Ае, ФгБ+ +Сгуг), 0(йг (1, у = 1., й (2) называется И-мерным параллелепипедом П (Ае, ~ы ..., уг) с вершиной Ае, построенным на векторах уы ..., гг.
Нульмерным параллелепипедом является точка, одномерным параллелепипедом — отрезок; двумерный параллелепипед называется параллелограммом. Границей параллелепипеда П (Ае, Уы ..., 1г) называется подмножество тех его точек, для которых значения по крайней мере одного из параметров йу в (2) равны либо О,либо 1. Множество точек границы параллелепипеда, для которых какие-нибудь фиксированные р параметров принимают произвольные значения, а значения остальных й — р параметров постоянны и равны либо О, либо 1, называется р-мгрной гранью параллелеивпеда (й = О, 1,..., р — 1).
Вершиной параллелепипеда называется любая его нульмерная грань (т. е. точка границы, для которой каждый из параметров 1. принимает значение либо О, либо Ц. Одномерные грани параллелепипеда называются его ребрами. Отрезок, соединяющий какие-либо две вершины параллелепипеда и не лежащий ни в одной из его граней, называется диагональю параллелепипеда. 33.1. Проверить, что и-мерное линейное пространство Е является аффинным пространством с пространством векторов, совпадающим с Е, если точками этого аффинного простран- ства считать векторы из Е и всякой упорядоченной паре век- торов а, Ь ставить в соответствие вектор т = Ь вЂ” а. 33.2. Доказать, что в аффинном пространстве А: 1) АА = о для любой точки А из А; 2) Р (А, о) = А для любой точки А из А: 3) АВ = — ВА для любых точек А и В из А; 4) равенство АВ = А1В1 имеет место тогда и только тогда, когда АА1 = ВВ1.
33.3. 1) Доказать, что система точек Ао, Аы ..., Аь аф- финного пространства независима тогда и только тогда, когда не сугцествует плоскости размерности, меньшей Й, содержащей эту систему точек. 2) Доказать, что система точек Ао, Аг, ..., Аь аффинно- го пространства независима тогда и только тогда, когда для произвольной точки О из равенств ЛоОАо + ЛгОАг + .. + ЛьОАь = о, Л„ + Л, + ...
+ Ль = О следует,что Ло = Лг = ... = Ль = О. 310 Гл. 1Ж Аерфиииые и точечные евклидовы пространство 33.4. Независима ли система точек с координатами: Ц (О, 1, Ц, (1, О, Ц, (1, 1, О); 2) (О, 1, Ц, (1, О, Ц, (1, 1, 0), (2, 2, 2); 3) (О, 1, Ц, (1, О, Ц, (1, 1, 0), (2/3, 2/3, 2/3)? 33.5. Показать, что понятие независимости системы точек Ао, Аы ..., Аь равноправно относительно всех точек этой системы. А именно, если система векторов АоАы АвАз,..., АоАь линейно независима, то линейно независима и любая система А'Аа,, А'А' — ы А1Адти ..., АоАы 1 = 1, 2, ..., й. 33.6. Пусть гп и п1' — плоскости с направляющими подпространствами М и М~. Доказать, что: Ц если М с М', то либо гп и еп' не имеют общих точек, либо пт с гп', 2) если М = М', то гп и щ' либо не имеют общих точек, либо совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
