1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Ортогональной проекцией точки А на плоскостып с направляющим подпространством М называется проекция точки А на ш параллельно Мт. Аналогично определяется ортогональная проекция А1В1 вектора АВ на плоскость пь Правильн м симплексом в точечном евклндовом пространстве называется симплекс, у которого длины всех ребер равны между собой. Параллелепипед П(Ао, ~п ..., сь) называется прямоугольным, если система векторов Тп ..., 1;, ортогональная; к-мерный прямоугольный параллелепипед называется й-мерным кубом, если длины всех его ребер равны между собой.
316 Гл. 13. Аффиппые и точечные евклидовы пространстпва Сферой с центром в точке Ао н раднусоъь Гъ ) О точечного евклидова пространства называется ъгножество точек (А:~ ~АеА~ = В). Расстоянием между двумя множествамн М н Л точечного евклидова пространства называется величина 1п1 ~АВ~. Аем, Вел Углом между ненулевым вектором и плоскостью щ называется угол межлу этим вектором н направгтяющнм подпространством плоскости ш. Углом между прямой 1 и плоскостью т называется угол между направляющим вектором прямой 1 н направляющим нодпространством плоскости щ. Углом меокду двумя плоскостлмы называется угол межлу направляющими подпространствамн этих плоскостей. В задачах Э 34 координаты векторов задаются в ортонормированном базисе, а координаты точек — в декартовой прямоугольной системе координат. 34.1.
Проверить, что расстояние р(А, В) между точками А и В в точечном евклидовом пространстве обладает следующими свойствами: 1) р (А, В) = р (В, А) для лкъбых точек А и В; 2) р(А, В) < р(А, С) + р(В, С) для любых точек А, В, С; 3) для любой точки С такой, что АС = ЛАВ, выполняется равенство р(А, С) = ~Л~ р(А, В). 34.2. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника АВС, заданного координатами вершин; 1) А ( — 1, О, — 1, 2), В (О, 2, О, 3), С (2, 1, 1, 2); 2) А (1, 2, 2, — 1), В (3, О, 3, — 1)., С (2, 1, 1, О); 3) А (О, 1, — 1, 2, — 1), В (4, 1, 1, 2, 3), С (3, 4, 2, 5, — 1).
34.3. Доказать, что множеством точек, равноудаленных от двух заданных различных точек А и В, является гиперплоскость, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку. 34.4. Найти центр и радиус сферы, описанной около четырехмерного симплекса, заданного координатами веригин: 1) Ао (4, -2, — 1, — 1), Аъ (1, 1, 2, 2), Аг (3, 1, О, 0), Аз(0, 2, 3, — 1), А4(1, — 5, — 4, 2); 2) Ао (3, 3, 1, — 1), Аъ (1, 3, 3, 1), Аг (О, 3, 4, — 1), Аз (2, 1, 2, 3), А4 (2 3, О, 1) 34.5. Гиперплоскость ш в четырехмерном точечном евклидовом пространстве содержит тетраэдр, заданный координатами своих вершин: Аг(4, 4, — 1, 1), Аз ( — 2, — 8, — 5, 1), 1 о». 7оненные евк»идовы просгпронстпва 317 Аз(3, 3, 1, 3), А»(1, — 2, 4, 1).
Гиперплоскость ш рассматривается как трехмерное точечное евклидово пространство. Найти в этом пространстве центр и радиус сферы, описанной около данного тетраэдра. 34.6. Доказать, что расстояние от точки А до й-мерной плоскости ш равно: 1) расстоянию между точкой А и ее ортогональной проекцией на ш; 2) длине ортогональной составляющей вектора АВ (В произвольная точка из ш) относительно направляющего подпространства плоскости ш. 34.7. Пусть 1 и ш плоскости с направляющими подпространствами,С и М соответственно, проходящие: 1 .- через точку А и ш " через точку В. Доказать, что расстояние между плоскостями 1 и ш равно длине ортогональной составляющей вектора АВ относительно подпространства Е+ М. 34.8.
Гиперплоскость ш задана уравнением а»х» +... ... + опх„+ ае = О. Доказать, что: 1) вектор с координатным столбцом (ам ..., а„)т ортогонален ш; 2) расстояние от точки А (ум ..., у„) до ш равно у ~....4. „у 4. о/ +...+ф 34.9. Точка А задана координатами, гиперплоскость ш— уравнением. Найти расстояние от А до ш, если; 1) А(9, 2, — 3, 1), ш: Зх»+хз — хз — 5х»+3 = О; 2) А (1, — 3, О, — 2, 4), ш; 2х» — 5хо + хз + Зх» + 5хв — 7 = О. 34.10. Составить уравнение гиперплоскости, параллельной гиперплоскости ш и расположенной от ш на заданном расстоянии 4, если: 1) пк 5х~ + 2хз — 4хз + 2х» = 3, й = 2; 2) ш: х» — 4хо+2хз+2х» = 4, д= 5; 3) пи 2х» — хз — хз + х» + Зхз = — 5, »1 = 3. 34.11.
Найти ортогональную проекцию точки А на гиперплоскость ш: 1) А (7, — 1, 6, Ц, ш: Зх~ — хз + 2хз + х» = 5; 2) А(1, 2, 8, — 2), ш: 2хг — 2хз+ х» = 11; 3) А(3, О, — 1, 2, 6), ш: бх»+ Зхз — 2хз — х»+4х; = — 16. 318 Гл. 1о. Аффинпые и точечные евклидова проетранетпва 34.12. Точки А и В заданы своими координатами. Найти ортогональную проекцию вектора АВ на гиперплоскость ш, если; 1) А( — 3, О, 1,3), В(5,2, 2, 3)„т: 2х~+хз — х4=3; 2) А(3,3, — 8, — 3,4), В(3,2, — 1, — 2,2), ш: х~+хз— — 2хз+ х4 + хз = 5.
34.13. Найти отношение длины ортогональной проекции произвольного ребра и-мерного куба на его диагональ к длине диагонали. 34.14. Найти точку, ортогонально симметричную точке А относительно гиперплоскости т: 1) А(5, 5, 3, 3), пс 2х~ + Зхз + хз + 2х4+ 2 = 0; 2) А(З, 5, — 3, 5), ш: хз — Зхз+4хз — бх4 — 2 = 0; 3) А(3, 6, 3, 8, 1), т: хз — хз — 2х4+ 2хз — 3 = О. 34.15. Найти ортогональную проекцию точки А на прямую 1: 1) А(1,— 5,2,0); 1: хам=4+1, хз=З+21, хз= — 3 — 1, хе = 7+31; 2) А( — 2,1,4,2); 1: хз = — 3+21, хз = 3 — 1, хз = — 1+1, х4= — 3+о; 3) А(243,— 11); 1: х~=2 — 21, хе= — 1+31, хз= = — 1+21, х4 = 2+1, хз = — г. 34.16.
Точка А не принадлежит плоскости ш. Доказать, что существует единственная прямая, проходящая через точку А, пересекающая т и перпендикулярная к ш. 34.17. Составить уравнения перпецдикуляра, опущенного из точки А на прямую 1: 1) А(1,— 3,— 2,4); 1: х~ =4+31, хе=2+1, хз=З+1, х4 = — 1 — 1; 2) А(1, — 3, — 1,3); 1; х~ = 2+1, хз = 1 — 21, хз = — 1+ +2е, х4=1; 3) А(4,0,1,1,1); 1: х~=1, хз=З вЂ” 21, хз= — 2+1, х4 = — 3+ 2г, хз = е.
34.18. Найти точку, ортогонально симметричную точке А относительно прямой 1; 1) А(4, 1, — 1, — 1), 1-- прямая задачи 34.15, 1); 2) А(2, 5, — 3, — 2), 1 — прямая задачи 34.15, 2). 34.19. Найти угол между вектором, заданным координатным столбцом а, и гиперплоскостью ш, если: 1) а = (О, 1, О, 1)~, т: Зхз — хз+ хз — бхл = 2; 2) а = (1, — 1, 1, 1)~, гп: Зх~ — хз + 2хз + 2х4 = 5; 3) а = (1, — 3, 2, — 1, — 1)т, пп хс + х2 — 2хз+ Зх4 — хз = 1.
34.21. Найти расстояние от точки А до прямой 1: 1) А(0 3 2, — 5); 1: хс = 1+С, х2 = — С, хз = 2+2С, х4 = — 2+ 2С; 2) А(2,— 2,1,5); 1: хс=З+С, х2= — 1+С, хз=2+С, Х4 = 3) А(3, 3, 1,0, 0); 1: хс =2+ЗС, х2=1+2С, хз= — С, х4=1+С~ хо= 1 С~ 4) А(1, — 1, — 1, 1); 1: ХС+х2+ 2хз+1 = О., Зхз+ 2хз— — х4 — 1 = О, ХС вЂ” х2+хз+х4+2 = О. 34.22. Прямая 1~ с направляю4цим вектором аз проходит через точку Ам прямая 12 с направляющим вектором аз проходит через точку А2. Доказать, что: 1) если ас и а2 не коллинеарны, то квадрат расстояния между 1с и 12 равен с1еС Г (А4А2, ам а2)/ с1еС Г (ам о2); 2) если а> и аз коллинеарны, то квадрат расстояния между 14 и 12 равен е1еСГ(АсА2, а~)/~а4~~. 34.23. Найти расстояние между прямыми 14 и 12.
1) 14. Хс =1+С, Х2= — 1, хз= — С, Х4= — 2+С: 12. Х~ =4+С, х2=2С, хз=1+С, х4=С; 2) 1с. Х4=2+С, х2= — 1 — 2С, хз=2+2С, х4=1 — С; 12: хс=З вЂ” С, х2=1+2С, хз= — 1 — 2С, х4=2+С; 3) 1~. ХС =3+1, х2=2, хо=С, х4=3+С, хз= — С; 12. 'Хг = 1+ 2С, х2 = 2С, хз = 1 — С, х4 = С, хз = 2; 4) 1с, 'хс=1+С, х2=2С, хз=1 — С, х4= — 1+С., ха=С; 12. 'Хс = 3+С, Х2 = — 21, хз = — 1 — С, Х4 = 1+1, хз = 2+С; 5) 1с.
'х~ =1 — 2С, х2=0, хз=С, Х4=1+С, хо — — 2; 12: ХС = -1 + С, х2 = — 1 + С, хз = О, х4 = 1, хз = — 2 — С. 34.24. Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскостып, если: 1) А(3, 7, — 2, 1); ип хт = 2+Си х2 = 2+12., хз = Сз+ + С2~ х4 = С2~ 34.2 1) 1с Х2 = С, 2) 1~ =1 — С; = 2С. з о4. Точечные евклидовы проелпронелпва 319 О. Найти угол между прямыми 14 и 12, если: хг=4+С, х2= — 2С, хз=1 — С, х4=2: 12: х~ =3, хз = 5+ С, х4 = — 1; хс = 1+ С, хз = 2+ С, хз = 3+С, х4 = 2С, х- = 12: ХС = С, хз = 5, хз = — 1+С, х4 = 3 — 2С, хз = 320 Гл. 13. Аффинпые и точечные евнлидовы пространства 2) А( — 3,— 1,4,7,— 3); пп хз=Х4+Хз, х2=2+Х2+Хз, хз = 2 + Хм х4 = 1 + Х2 + Хз) х5 = 1 + Х2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
