1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Как изменятся его компоненты при переходе к другому базису'? Какая билинейная функция соответствует этому тензору? 35.16. Тензор типа (1, 0) имеет в некотором базисе компоненты 1 , если г =?о, О, если г ф ге (ге фиксированное целое число, 1 < ге < и'). Найти компоненты данного тензора в базисе е' = еЯ. 35.17. Тензор типа 10, 1) имеет в некотором базисе компоненты 1 , если 1 = ге; О, если ю' Ф 1о (1е фиксированное целое число, 1 < ге < п).
Найти компоненты этого тензора в базисе е' = еЯ. 5 55. Определение тензора. ?ензорггые обозначеггия 331 35.18. Каждому базису пространства ь„(п > 2) сопоставлены числа если г = й ф у = 1; если г = 1 ~ з = Й; 1, — 1 0 б„'з = в остальных случаях. Будет ли такое соответствие тензором? Сколько нулевых компонент у этого тензора при и = 3? 35.19. Тензор д типа (Ог 2)имеет в некотором базисе е линейного пространства Е„г',п > 2) компоненты дм = б~~~' (ге, 1Е фиксированные целые числа, 1 < ге < п, 1 < зе < п, символ Яз' определен в задаче 35.18). 1) Выписать явно все компоненты тензора 0 в базисе е при п = 3.
2) Найти компоненты тензора О в базисе е' = еЯ. 35.20. Каждому базису пространства Е„(п > 1: > 1) сопоставлены числа: 1, если (гы ..., ?ь) четная перестановка попарно различных чисел ~м ..., ?ь; — 1, если ~г» ..., гь) нечетная перестановка бгг ...ге зг- зг попарно различных чисел гг, ..., уь; 0 в остальных случаях. Будет ли такое соответствие тензором? 35.21.
1) Тензор типа (О, п) имеет в некотором базисе компоненты ( — 1) Ог "'"г, если все числа гм ..., еь различны; Егг ...г„— 0 г в остальных случаях 1ггг (гг ... г„) - чисто нарушений порядка в перостановке (гз, ..., 1„)). Вычислить компоненты данного тензора в базисе е' = еЯ. 2) Каждому базису пространства Ео сопоставлены числа е;г,„. Будет ли это соответствие тензором типа (О, и)? 35.22. В четырехмерном пространстве дан трехвалентный тензор.
Сколько компонент он имеет? Сколько слагаемых входит в выражение новой компоненты через старую при записи закона преобразования компонент? Сколько сомножителей будет в каждом слагаемом? 332 ?ли Ц. Телоорлл 35.23. В пространстве Е2 дан тензор типа: 1) (1, 1); 2) (2, 0), 3) (1, 2). В развернутой форме, не используя сокращенных обозначений суммирования, написать закон преобразования его компонент. 35.24. В двумерном пространстве задан тензор типа (р, д). Упорядочим его компоненты так, чтобы онлл составили столбец а высоты 2гл о. Записать закон преобразования компонент тензора в видо а = $"а, где л' квадратная матрица порядка 2""' и: 1)р=1, о=1; 2)р=2, у=О; 3)р=1, ц=2.
35.25. Записать в матричной форме закон преобразования компонент тензоров типа: 1) (О, 2); 2) (1, 1); 3) (2, 0). 35.26. Компоненты двухвалентного тензора типа (р, д) образуют в произвольном базисе е линейного пространства Е.„ матрицу А,. Сопоставим базису е матрицу А, л. Доказать, что зто соответствие определяет тензор,и указать его тип, если: 1)р=О, л?=2; 2) р = 1, д = 1 (объяснллть геометрический смысл полученного тензора); 3)р=2, у=О. 35.27.
Тензоры каких типов имеют двумерные матрицы компонент? Трехмерные'? Четырехмерные? й-ьлерные ьлатрицы компонент? 35.28. Трехмерная матрица ~~а, ь~~ второго порядка имеет сеченлле й = 1, состоящее из единиц, а сечение й = 2 из нулей. Выписать а,.ь для всевозможных значений индексов. 35.29.
Трехмерная матрллца ~~ал.ь~~ третьего порядка имеет сечения й = 1 и?л = 2, состоящие из единиц, а сечение й = 3— из нулей. Выписать двумерные сечения данной матрицы, соответствующие г = 1, г = 2, л = 3. 35.30. 1) Сколько различных двумерных сечений имеет трехмерная матрица третьего порядка? Какой порядок имеет каждое сечение? 2) Сколько двумерных сечений имеет четырехмерная матрица второго порядка? 3) Сколько двумерных сечений имеет четырехмерная матрица третьего порядка? ~ Зб. Определение теггзора. Тгнзоргггзе обозначения 333 35.31.
Числа 6'„з~ образуют четырехмерную матрицу второго порядка. 1) Выписать все ее двумерные сечения, соответствующие фиксированным нижним индексам. 2) Найти связь между сечениями матрицы ))бьз ~~ и матрицей ))дм() (символы Я, Оги определены в задачах 35.18, 35.19 соответственно). 35.32.
1) Даны базис е и (р+ Ч)-мерная матрица А. Доказать, что существует тснзор типа (р, д)г имеклций в базисе е матрицу А. 2) Доказать, что существует тензор любого наперед заданного типа. 35.33. Пусть à — — вещественная функция от трех аргументов х Е Е„, у Е Е„, з Е Е„, линейная по каждому из этих аргументов при фиксированных остальных. 1) Выразить значение данной функции через компоненты векторов х, у, з. 2) Показать, что совокупность коэффициентов полученной формы представляет собой тензор типа (О, 3). 3) Выразить компоненты этого тензора через значения 1 на базисных векторах.
35.34. Линейные функции Г, 8, Ь на Ез имеют в базисе е коэффициенты ехм езз, еез, Д, ~дв, (дз; 'у~г 'уа, 'уз соответственно. Сопоставим тройке векторов х, у, з из Ез число: 1) Г(х)я(у)Ь(з); 2) Г(х)г" (у)Г(з); 3) Г (х)г (у) Г (з) + 8 (х) 8 (у)8 (з) + Ь (х)Ь (у)Ь (з). Показать, что каждая из построенных функций определяет тензор в Ез, указать его тип и выписать матрипу в базисе е.
35.35. Каждой тройке векторов пространства Ез сопоставлено число Е (х, у, з), определяемое через компоненты этих векторов в некотором базисе - с', с', ~~:, з1, г1, 0; ч, ч, ч' одной из следующих формул: Ц 1(х, у, ) = ~'у'~3 + ~'у'~', 3 2) Г(х, у, з) = 2 ~'г1'~'. г=.з Указать тип соответствующего тензора и выписать его матрицу. 35.36. Пусть Б — — линейное пространство билинейных функций на Е„, а ез: ń— з В линейное отображение.
Показать, что гр определяет тензор типа (О, 3) в пространстве Е„. Гл. Ц. Тевооры 35.37. Тензор типа (р, д) в базисе ез, ез, ез пространства е.з задан матрицсй А. Найти его матрицу в базисе е~н ез, е!з, если: / / / 1) р = 2, ц = 1, А = Атзе е~ —— ез, ез — — ез, ез — — ез: 1 / / 2) р=2, у=1, А=Атзт, ез — — — ез, ез — — — ез, ез — — — ез, 3) р = О, д = 3, А = Атзз, е~ — — 2ем е~з — — — ез, ез — — Зез.
35.38. Определить, как изменяются компоненты тензора типа (1, 2), заданного в пространстве С„, при произвольной перестановке базисных векторов. 35.39. Тензор типа (р, д) в базисе е пространства Ез задан матрицей А. Найти его матрицу в базисе е' = еЯ, если: 1) р=1, у=2, А=Аезз, Я=Аз4; 2) р=О, д=З, А=Аьз4, Я=Аиб 3) р = О, д = 3, А = Аез4, Я = Аз4', 4)р=2, е?=1, А=Аез4, Я=Ась 3 36.
Алгебраические операции с тензорами Линейные операции, умножение тензоров (36.1 — 36.20) 36.1. Проверить закон преобразования компонент суммы тензоров а'„и Ь'ы исходя из закона преобразования компонент слагаемых. 36.2. Как связана сумма линейных преобразований с суммой соответствукзщих тензоров? 36.3. Пусть А, — матрица линейного преобразования ~р. В, матрица билинейной функции Ь в базисе е. Определена ли сумма А, + В,? Будет ли тснзором соответствие, сопоставляющее каждому базису е сумму матриц А, + В,? 36.4. Тензоры а и Ь одного типа имеют в базисе е матрицы компонент А и В.
Найти компоненты тензоров: а) а+ Ь; б) 2а+ ЗЬ; в) Ь вЂ” 2а в том же базисе, если: 1) А = Авве, В = Авз~, 2) А = Аезм В = Авзз, 3) А = Аезз, В = Аезз, 4) А = Аезз, В = Аезт. 36.5. Заданы матрицы А, В, С, Р из компонент четырех тензоров. Определить, являются ли тензоры линейно зависимыми, если: 1) А = Аевз, В = Аевз, С = Аевз, Р = Аезз 2) А = Аезо, В = Азы, С = Аезз, Р = Аезз' 3) А = Аеез, В = Аезз, С = Аезо, Р = Аезз.
36.6. 1) Какова размерность линейного пространства Е тензоров типа (р, д) в двумерном пространстве? в' об. Алгебраические операции с теизорами 335 2) Указать какой-нибудь базис в С. 3) Указать еще один базис в Е. 36.7. Базису е двумерного линейного пространства соот- ветствует базис е* в пространстве тензоров типа: 1) (О, 1); 2) (1, 1): 3) (р) (О, 2); 4) (1, 2). Базис е* состоит из тснзоров, имеющих в базисе е одну ком- поненту, равную 1, а остальные . равные О.
Как преобразует- ся базис е', если базис е преобразуется матрицей перехода Я? 36.8. Проверить закон преобразования компонент тензо- ра а З 6, исходя из законов преобразования компонент сомно- жителей а'„, Ь',. 36.9. Найти тип и матрицу тснзора а З 6, если: тип а матрица а тип 6 матрица 6 1) (1, 0), сдз, (1, .0), сзд; 2) (1, 0), сдз, (О, 1), сг; 3) (1, 0), сд, (1, О), сзд, 4) (О, '1), 'ст,",, (0~ 1)~ 5) (О, 2), Адт, (О, 1), ст; 6) (О, 1), ст, (О, 2), Ад„ 7) (2, 0), А„, (1, 0), св; 8) (1, 1), Адв, (1, 0), св; 9) (1, 0), св (2, 0), Адв, 10) (1, 0), св, (1, 1), А„; 11) (О, 3), Авве, (О, 1), с~т,; 12) (О, 1), ст (О., 3), Авве; 13) (1, .2), Авы, (О, 1), свт; 14) (О, 1), св, (1, 2), Авы,' 15) (О, 2), Адг, (О, 2), Адв, 16) (О, .2), Адв, (О, 2), Аы; 17) (1, .1), Адз, (1, 1), Апб 18) (2,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
