1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 59
Текст из файла (страница 59)
33.7. Доказать, что если прямая имеет две различные общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости. 33.8. Доказать, что если 1е-мерная плоскость пт1 содержит независимую систему точек Ао, Аы ..., Аы общих с плоскостью птз, то гп1 С гпз. 33.9. Доказать, что существует ровно одна й-мерная плоскость, содержащая независимую систему точек Ав, Ам ..., Аь.
33.10. Пусть Ао, Аы ..., Аь --- независимая система точек в к-мерной плоскости гп, а О --- фиксированная точка аффинного пространства. Доказать, что щ состоит из тех и только тех точек А, для которых ОА = ЛоОАо+ Л1ОА1+ + ЛьОАь, где Ло, Лы ..., Ль числа, удовлетворяющие равенству Лв+ +Л,+...+Л„=1.
33.11. Пусть 10 1о, 1з, 14 - — прямые в аффинном пространстве, причем 11 параллельна 1в, а 1з параллельна 14. Пусть, далее, 1з пересекает 11 и 1о в точках А1 и В1 соответственно, а 14 пересекает 11 в точке А~. Доказать что 14 пересекает и 1о в точке Во такой, что А1Ав = В1Во., А1В1 = АоВо.
33.12. Доказать, что любые две прямые и-мерного аффинного пространства (и > 3) целиком содержатся в некоторой трехмерной плоскости. 33.13. При каком необходимом и достаточном условии две прямыс х = ав + а11 и х = бв + 611 содержатся в одной двумерной плоскости? Зе Ю. Аффиннме нрастрансгаеа 311 33.14. Составить уравнения: 1) прямой, проходящей через точки А ( — 1, О, 3, — 2) и В (2, 1, 4, 5); 2) двумерной плоскости, проходящей через точки А ( — 2, 1, 1, 1), В (1, 3, -5, 2) и С (О, 1, 1, 4); 3) трехмерной плоскости (гиперплоскости), проходящей через точки А(1, 1, О, — 1), В(2, — 1, 3, 3), С(1, — 1, 1, 5) и В(0, О, 3, — 1). 33.15.
Пусть А (Х70 х!з, ..., х'„) и В (Х1', х!з, ..., х'„') две различные точки, р и д некоторые числа. Найти координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении р: д. 33.16. Пусть точки А, В, С в и-мерном пространстве не лежат на одной прямой. Доказать, что медианы треугольника АВС проходят через одну точку и делятся в этой точке в отношении 2: 1, считая от вершины.
33.17. Точка М принадлежит гипсрплоскости заданной уравнением а7 х4 +... + а„х„+ ао = О, а вектор ММ7 имеет координатный столбец (аы аз, ..., а„)7 . Доказать, что координаты точки М7 удовлетворял>т неравенству а7Х4 +... + а„х„+ +ао)0. 33.18. Составить параметрические уравнения плоскости, заданной системой линейных уравнений: 1) Азтх = с46; 2) Ашх = сзо, 3) А7оцх = С1зз; 4) Аззох = С774; 5) А767х = С66; 6) А677х = сззз,' 7) Азозх = сзоц' 8) Азццх = С7зз. 33.19.
Составить систему уравнений, определяюшую данную плоскость: 1) х = сзц + ссзз; 2) х = сцз + 61сц4+ сзс66; 3) х = с147 + ес146, '4) х = с166 + сс207~ 5) х = сшо+ 14сгац+ Ззсзоо. 33.20. Составить уравнение гиперплоскости в четырехмерном пространстве, проходящей через точку М ( — 1, 2, 3, 5) параллельно гиперплоскости 2Х~ + Зхз — 4хз + х4 + 5 = О. 33.21. Составить уравнение прямой в четырехмерном пространстве, проходящей через точку М ( — 1, 3, 4, 0) параллельно прямой хз = 2+ 31, хз = — 1+ 1, хз = 71, х4 = 2 — 1. 33.22. Составить уравнения трехмерной плоскости в пяти- мерном пространстве, проходящей: 1) через точку М (О, 1, — 1, 3, 4) параллельно трехмерной плоскости х7 + 2хз + Зхз = т4, х7 + хз + хз + х4 = 2хз, 312 Гл.
13. Аейфинные и точечные евнлидовы пространства 2) через точки ЛХ4 (1, 3, 1, О, 1) и ЛХ2 (О, О, 1, 1, — 1) параллельно двумерной плоскости х4 + х2 — 1 = О, х4 — хз + х4 = О, х1 + хз — х5 + 1 = О; 3) через точки ЛХ1 ( — 1, 2, О, О, 4), ЛХ2 (1, 1, 1, 1, 1), ЛХз (О, 1, 3, — 1, 1) параллельно прямой х1 = 1+ 21, х2 = 3 — 1, хз = х4 1+1~ х5 33.23.
Пусть 1 и ш две плоскости в аффинном пространстве с направляющими подпространствами 1; и М соответственно, проходящие: 1 через точку А, ш через точку В. Доказать, что; 1) пересечение 1 с ш непусто тогда и только тогда, когда вектор АВ принадлежит подпространству Г + М; 2) если плоскости !и ш пересекаются, то пересечение 1 й гп представляет собой плоскость с направляющим подпространством Е С М.
33.24. Пусть две плоскости размерностей й4 и й2 в и- мерном аффинном пространстве имеют общую точку, и й1 + + Й2 ) п. Доказать, что размерность пересечения данных плоскостей не меньше, чем Й1 + Й2 — п. Дать формулировки этого утверждения для всех возможных случаев при п = 3 и и = 4. 33.25. Пусть плоскость 1 с направляющим подпространством Е проходит через точку А, плоскость ш с направляющим подпространством М проходит через точку В, не совпадающую с А.
Доказать, что существует и единственна плоскость наименьшей размерности, содержащая как 1, так и ш; при этом направляющим подпространством искомой плоскости является сумма Е+М+Р, где Р подпространство, натянутое на вектор АВ. 33.26. Сформулировать и доказать утверждение, аналогичное утверждению в задаче 33.25, для трех плоскостей. 33.27.
Составить уравнения заданной плоскости в четырехмерном пространстве: 1) двумерной плоскости, содержащей точку А ( — 1, О, 2, 3) ипрямуюх1=1 — 1, х2=3+25, ха=1+5, х4 =35; 2) двумерной плоскости, содержащей параллельные прямыс х4= — 1+21, х2=1, ха=О, х4= — 5 — 1 и х1=3+21, х2= — 4+1, хз=1, х4= 1~ 3) трехмерной плоскости., содержащей точку А ( — 3, О, 1, О) и двумерную плоскость х4 — х2 + хз — 1 = О, х1 + х2 + х4 = О.
з,гЗ. Аффиггггые проегараггетаа 313 33.28. Составить уравнения плоскости наименьшей размерности, содержащей две данные плоскости пятимерного пространства; 1) прямыех1=1 — 1, х2=2+31, ха=41, х4= — 1, х5=3 и х1 = 2+1, х2 = 21, хз = 1+1, х4 = — 1+ 21, х5 = 3 — 1; 2) прямую х1=2+1, х2= — 1, хз= — 1+1, х4=1+21, х5 = — 31 и двумерную плоскость х1 =11+ 322г х2 = — 1+ 411— — 52 хз = — 3+11+12 х4 = 4 — 51+52 хз = — 2+12; 3) двумерные плоскости х1 — ха+ х4 — 1 = О, х1+ 2х4— — х5 — 2 = О, х2 + хз — 2 = 0 и хг = х2 = хз = 1.
33.29. 1) Доказать, что если две плоскости в и-гмерном пространстве абсолютно скрещиваются, то сумма их размерностей не превосходит п — 1. 2) Доказать,что если две плоскости в и-мерном пространстве скрещиваются параллельно г-мерной плоскости, то сумма их размерностей не превосходит и+ с — 1. 33.30. Исследовать взаимное расположение прямой и двумерной плоскости в четырехмерном пространстве, если двумерная плоскость задается уравнениями х1 — 222+ 1 = О, х1+ + 2х2 — Зхз + х4 — 2 = О, а прямая задана параметрически: 1) х1=3+21, т2=5, хе=2+1, х4=1; 2) х1= — 2+31, х2=3 — 2, хз= — 1+21, х4= — 4+41; 3) х1=6+1о х2=5 — 2, ха=1+21, х4=1+31; 4) х1 = — 1+21, х2 = 1+1, хз =1, х4 = 1 — 1.
33.31. Исследовать взаимное расположение двух двумер- ных плоскостей в пятимерном пространстве, если первая плос- кость задается уравнениями х1 = х2 = 1, хз + х4 = х5, а втс рая параметрическими уравнениями: 1) х1=2+11г х2=3, х2=3+252г х4=4, х5=5+ + г1 + г2~ 2) Х1 = — 51г Х2 = 3+ 251г ХЗ = 2+ 21г Х4 = 1+ 21 — 52г х5 = 2+12, 3) хг = 2+11+12, х2 = 3+11+12, хз = 3+ 211+12, х4 = 4+ 11, хв = 5 — 212, 4) х1=11 — 52г ха=1, хз=егг х4=1 — 52г х5=3— г1 + г2г 5) х1 = 1, х2 = 4, хз = 1+ 11+ 12г х4 = 2+ 211 — 212г х5 '1+ Зг1 г2~ 6) х1 = 1, х2 = 1, хз =2+251+12, х4 = — 3+11 — 352, х5 = — 1+ 311 — 212. 314 Гл.
13. Аффинные и точечные евнлидовы пространство 33.32. Доказать, что две прямые в четырехмерном пространстве, заданныс уравнениями х = сгоз + 1с1зг и х = сгш + + 1сгш, имеют единственную общую точку. Найти координаты этой точки и составить уравнения двумерной плоскости, содержащей данные прямые. 33.33. Точками аффинного пространства являются многочлены степени не выше 4, векторами являются те же многочлены: р1 (е) рг (е) = рг (е) — р1 (г). Первая прямая содержит точки 21 — 21 и 1 +1 — 1, вторая прямая содержит точки 4 4 3 5 + 10ег + 2ез и — 1 — 2ег + 2ез.
Доказать, что эти прямые имеют единственную общую точку, и найти эту точку (многочлен). 33.34. Составить параметрические уравнения прямой в четьтрехмерном пространстве, содержащей точку с координатным столбцом сгм и пересекающей прямые х = сггг +1сгог и х = сг1з + 1сг1о, найти координаты точек пересечения. 33.35. Система точек Ам ..., Аы Вм ..., В независима. Доказать, что существуют непересекающиеся плоскости 1 и ш размерностей Й вЂ” 1 и г — 1 соответственно такие, что плоскость 1 содержит точки Ам ..., Аь, а плоскость ш содержит точки Вм ..., В .
33.36. Пусть 1 и гп - плоскости аффинного пространства такие, что пространство векторов аффинного пространства является прямой суммой направляющих подпространств Е и М этих плоскостей. Доказать,что: 1) проекция любой точки аффинного пространства на плоскость 1 параллельно плоскости ш определена однозначно; 2) проекция любого вектора АВ на плоскость 1 параллельно плоскости ш является проекцией этого вектора на подпространство Е параллельно подпространству М.
33.37. Найти координаты проекции точки Л4 (5, О, — 3, 4) четырехмерного пространства; 1) на гиперплоскость х1 + хг — хз + 2хл = 2 параллельно прямой хз = 1 — 1, хг = 3 + 41, хз = 31, х4 = 1 + 1; 2) на двумерную плоскость х1 — хг + хз + 1 = О, х1+ хг = х4 параллельно двумерной плоскости х1+ хг + хз + х4 = О., хз— — 2х4 3=0. 33.38. Является ли выпуклым множество точек в и-ъюрном аффинном пространстве (и = 1, 2, ...), координаты хм ..., х„ которых в декартовой системс координат удовлетворяют условию: г о4. Точечные евклидовы пространства 315 1) а4Х1 + ... + а„хп + ао = О; 2) а4Х1+...
+ а„х„+ ао > О; 4) Л4Х1+... + Л х~ > 1, где Л, > О, 4 = 1, ..., и: 5)Х1>О,хз>О,...,х„>О; 6)х4х2...х„>02 33.39. Доказать выпуклость к-мерного параллелепипеда. 33.40. Доказать, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством. 33.41. Найти проекцию четырехмерного симплекса, ограниченного гиперплоскостями х1 = О, хз = О, хз = О, х4 = О и Х4 + хз + хз + х4 = 1, на гиперплоскость х4 + хз + хз + х4 = О параллельно прямой х4 = хз = хз = Х4. 33.42. Доказать, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, называемой центром параллелепипеда.
33.43. Для 14-мерного параллелепипеда найти число: 1) различных р-мерных граней; 2) различных диагоналей. 33.44. Определить форму и вершины сечений четырехмерного параллелепипеда — 1 < х; ( 1, 4 = 1, 2, 3, 4, гиперплоскостью Х4+ ха+ ха+ Х4 = О. й 34. Точечные евклидовы пространства В этом параграфе ис1юльзуются следующие основные понятия: точечное ев лидово пространство, расстояние между точками, декартова прямоугольн я система координат, ортогональные проекции точки и вектора на плоскость, правильный симплекс, прямоугольный параллелепипед, к-мерный куб, объем И-мерпого параллелепипеда, сфера., центр и радиус сферы, расспюяние между двумя множествами, угол мегкду вектором и плоскостью, между прямой и плоскостью, угол меоюду двумя плоскостями,. Декартова система координат О, е называется декартовой прямоугольной системой координат, если базис е ортонормированный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
