1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Доказать утверждения: 1) в Е существует базис, в котором главные миноры Ьь матрицы функции 1<(х) отличны от нуля при Й = 1, ..., т и равны нулю при Й = и + 1, ..., п. 2) пусть в некотором базисе главные миноры Ьь (Л = = 1, ..., и) матрицы функции 1с (х) отличны от нуля. Тогда ЗОО Гл. 12. Функции на линейном тароетранегаве 11(х) приводится к диагональной форме ~; г„(Ьс = 1) и 2 1=1 Ь 1 к канонической фоРме ~ еь~~ь, где еь = з18п (Й = 1,...,г).
32.18. При каких значениях параметра Л данная квадра- тичная форма положительно, отрицательно определена или по- луопределена: 1) Лхз1 — 4х1хз + (Л + 3) х~~, 2) — 9х~1 + 6Лх1хз — х~~, 3) Лх~1+ 8хз ~+ хзд+ 16х1хз+ 4х1хз + 4хзхз, 4) х~1 + 2Лх1хз + 2х1хз + 4хз ~— Лхз ~+ 2хзхз1 5) (4 — Л) х~~ + (4 — Л) х~ ~— (2 + Л) хзз + 4х1хз — 8х1хз + + 8хзхзу 32.19.
Пусть 11(х) -- квадратичная функция в линейном пространстве,С. Является ли линейным подпространством в Е множество всех векторов х из Е, для которых к (х) > 0 (к (х) < < 0)2 РассмотРеть пРимеРы 11(х) = х1~+хз ~— хз~ (и = 3) и Ь (х) = х1+ х~ ~(и = 3).
32.20. 1) В матрице положительно определенной квадра- тичной формы увеличили один диагональный элемент. Дока- зать, что дстерминант матрицы увеличился. 2) Доказать, что в матрице положительно определенной квадратичной формы максимальный по модулк1 злемент по- ложителен. 32.21. 1) Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка и функция 1с(Х) = = гг (Х~ Х) является положительно определенной квадратичной функцией.
2) Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка и функция 11 (Х) = 1г (Х ) является квадратичной функцией. Найти ее ранг и сигнатуру. 32.22. Доказать, что функция 1 ГУ у) = УИ)уИ)1з — 1 является симметричной билинейной функцией в пространстве многочленов степени не выгпс п. Привести ее к каноническому виду при п = 3. 1 39. Билинейные и квадратичные функции ЗО1 32.23. Доказать, что ранг билинейной функции равен 1 тогда и только тогда, когда эта функция произведение двух ненулевых линейных функций.
32.24. Доказать, что для представимости квадратичной функции в виде произведения двух линейных вещественных функций необходимо и достаточно, чтобы либо ранг этой квадратичной функции не превосходил 1, либо ранг был равен 2, а сигнатура равна нулю. 32.25. При каком необходимом и достаточном условии квадратичные функции 1с (х) и — 1» (х) могут быть приведены к одному и тому же каноническому виду? 32.26. 1) Пусть Ь(х, у) билинейная функция в линейном пространстве Е.
Назовем функцию Ь (х, у) инвариантной относительно линейного преобразования 1а пространства Е, если Ь (у2 (х), еа (у)) = Ь (х, у) для всех х, у е Е. Доказать, что Ь тогда и только тогда инвариантна относительно у2, когда их матрицы (В и А соответственно) в некотором базисе удовлетворяют равенству АХВА = В. 2) 11айти все линейные преобразования двумерного пространства, относительно которых инвариантна билинейная форма: а) х1У1+ х2У2, б) х1У1 — х2У2. Квадратичные функции в евклидовом пространстве. Пары форм (32.27 — 32.39) 32.27. Квадратичная (билинейная) функция записана в ортонормированном базисе и-мерного евклидова пространства.
Найти ортонормированный базис, в котором данная функция имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид. п= 2: 1) — 4х21 + 10Х1Х2 — 4х22, 4 2 3 2) — Х1 — 2Х1Х2 + — Х2,' 3 4 3) 7х2 + 41/3 х1х2 + Зх2; 4) — х1У1 + Зх1У2 + Зх2У1 — 9х2У2, 1 1 5) — х1У1 + — х1У2 + — х2У1 — х2У2; 2 2 п,=З; б) Х1 + Х1Х2 7) 2х21 — 4Х1х2+ 9х22+4х2хз+ 2хз~, 8) Х1У1 Х1У2 Х2У1 + 2Х292 Х2уз ХЗУ2 + Хауз~ 302 Гл.
12. Функции на линейном ироетраггегиее 9) 2х1Уз + 2хзУ1 — 2х1Уз — 2хзУ1 + 4хзУз + 4хзУз + 4хзУз— — Зхзуз' 10) (р) 2хз + 4хзхз — 2хзхз — хз + 4хзхз + 2хз; 1 Зг 11) Зх1 — 2х1хз — 2х1хз + Зхз — 2хзхз + Зхз, 12) Зхз1 + 8х1хз — 8х1хз — 7хз з— 8хзхз + Зхф 13) х1 — х1хз+ х1тз+ хз+ хзхз+ хз', 14) 4х1+ 4т1хз — 12х1хз+ хз — бхзхз + 9хз, 15) х1уз + хзу1 — 2х1уз — 2хзу1 — х1У1 — хзуз + 2хзуз + + 2хзуз — 4хзуз; 16) х1Уз + хзУ1 + х1Уз + хзУ1 + хзУз — хзУз. в=4; 17) хз1 + 2х1хз+ 2х1хз + 2х1х4+ х~ ~— 2хзхз — 2хзх4+ хз ~— 2хзх4 + х4г 18) х1 — 2х1хз + бх1хз + 8х1х4 + 4хз — 2хзх4 — бхзх4 + х4 19) 2х — 4х1хз+4х1хз+бхз ~— бхзхз+2хзх4+бхз~+2хзх4+ 2. + 4х4,. 20) х1 + 2х1хз + 2х1хз + 2хзх4 — хз — хз — х4', 1 1 1 1 21) — х1уз + — хзу1 + — хзу4 + — х4уз; 2 2 2 2 22) Зх1 — 8х1хз — Зхз — хз + 4хзх4 — 4х4, 2 3 3 2.
23) 2; хз+ 2,' х;хо', г=-.1 1<г<1<п п 2п — 1 24) 2; ( — 1)змзх,уй, 25) 2; тзтзп 6 г, 1=1 г=1 зи 2п и — 1 26) 4 хг + Е хгхзи г4 1г 27) л хгхгз 1' г= 1 г=.1 г==1 32.28. Найти канонический вид, ранг и сигнатуру каждой из квадратичных и билинейных форм задачи 32.27. 32.29. Доказать, что квадратичная форма является поло- жительно определенной тогда и только тогда, когда все харак- теристические числа ее матрицы положительны, и отрицатель- но определенной тогда и только тогда, когда отрицательны. 32.30. Пусть все характеристические числа вещественной симметрической матрицы А принадлежат отрезку ~а, 5).
Дока- зать, что квадратичная форма с матрицей А — ЛЕ' положитель- но определена при Л < а и отрицательно определена при Л > Ь. 32.31. Доказать, что квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты ха- рактеристического многочлена ее матрицы отличны от нуля 4 Я2. Билинейные и наадратаичьие фувниии 303 и знаки этих коэффициентов чередуются, причем свободный член положителен. 32.32. 1) Доказать, что линейное преобразование ~р евклидова пространства, присоединенное к заданной в нем симметричной билинейной функции Ь (х, у), является самосопряженным.
2) Пусть в некотором базисе е билинейная функция Ь (х, у) имеет симметричную матрицу В, а матрица Грама базиса е равна Г. Найти матрипу преобразования, присоединенного к функции Ь (х, у). 32.33. В базисе е евклидова пространства задана квадра- тичная форма. Найти в том же базисе матрицу присоединенно- го к ней преобразования, если матрица Грама базиса е равна Г: 1) 4х| + 16х|хз + бхз, Г = А56~ 2) 4хз| — бх|хз — 5хз., Г = А55, 3) 2Х|хз — хз~, Г = Ао, 4) 2Х| + 4Х|хз — 2х|хз — хз ~+ 4хзхз + 2хз~, Г = Азот', 5) 5хз|+ ха~+ 4х~з+ 2х|хз + 4х|хз+ 4хзхз, Г = Азов', 6) х~| + хз ~+ хз з+ хл + 2х|хз + 2Х|хз + 2х|х4 — 2х хз— — 2хзх4 — 2хзх4, Г = А4|ь 32.34.
Пусть в некотороы базисе е и-мерного евклидова пространства с матрицей Грама Г квадратичная функция 1| (х) имеет матрицу В. Доказать, что ортонормированный базис, в котором 1| (х) диагональна, и ес диагональные коэффициенты в этов| базисе находятся как решения обобщенной задачи на собственные зна |ения и собственные векторы: В1 = ЛГа (1 Е Е Я.„). 32.35.
Пусть М г-мерное линейное подпространство и- мерного евклидова пространства. Функция |с (х) равна квадрату длины ортогональной проекции век гора х на подпространство М. Доказать, что функция к (х) является квадратичной. Найти диагональный вид, который имеет эта функция в некотором ортонормированном базисе. 32.36. Проверить, что по меньшей мере одна из двух данных квадратичных форм является знакоопределенной. Найти замену координат, приводящую эти две формы одновременно к диагональному виду., и записать этот диагональный вид обеих форм. 1) г = х| + 2х|хз + Зхз, я = 4Х| + 16х|хз + бхз', 304 Гл.
12. Функции на линейном простлравсспве 5 2) 1= 2хг! — Зх1хг — — хг~, 8 = 2хг1+бх1хг+ 5хгг, 2 3) 1 = 11х1 — 6хьхг + хг, 8 = 13х! — 10х1хг + Зхг, 4) 1 = 9хг! — 10х!хг + Зхгг, 8 = 2х!хг — хг, 5) 1= хг! — 2х1хг+ хгг, 8 = 17хг1+ 8х1хг+ хгг, г 6) 1= хг1+ 2х1хг+ 5хгг, 8 = 2х1хг — — хг! — хгг, 7) 1= (1+4ъ 6)хг1+ 2ъ бх!хг, 8 = 5х11+4х1хг+ хгг, 8) 1= (1+ 2тъ а~ + а) х1+ 2ъ и + ах1хг, 8 = (1+ тг) х1~+ + 2тх!хг+хг, где т и а вещественные параметры, а + и > г г >О:, 9) ! = 5х1 + 2х1тг + 4х1хз + хг + 4хгхз + 4хз, 8 = 5т!— — 2х! хг + 4х1хз + хг + 2хз,.
10) 1 = 15хг г— 4хз г— 10х1хг — 8х1хз + 22хгхз, 8 = х1г— — 2х!хз + 4хг + 4хгхз + 5хз,. 11) (Р) 1= бхг1+ бх1хз+ хг г— 6хгхз+ 6хзг, 8 = 2х1~+2х!хз+ + хгг — 2хгхз + 2хзг, 12) Г=2х~~-2х!хг-2х!хз+хг~+2хз ~8=9х~1-12х1хг- — 24х1хз + 4х + 16хгхз + 16хг; 13) 1 = х! + 7хг + 16хз + 19х4 — 4х1хг + 10х1тз г г г — 10х!х4 — 26хгхз + 8хгх4 — 2хзх4, и = — хг! + 2х1хг — 2хг г+ + 4хгхз — 5х + бхзхл — 10хл 14) 1 = х! — 4хгхз + 4хз — 4хзхл + 4х4, 8 = х! — 2х1хг + + 2хгг — 2хгхз + 2хз~ — 2хзхл + 2х~~.
32.37. Доказать, что если среди линейных комбинаций двух квадратичных функций имеется положительно опреде- ленная, то эти две функции одновременно приводятся к диа- гональной форме. Показать на примере, что это условие не является необходимым. 32.38. В некотором базисе е и-хссрного линейного про- странства квадратичные функции 1 и 8 имеют соответственно матрицы Г и С. Пусть в базисе е', заданном матрицей перехода о от базиса е, функция 8 имеет каноническую форму 2 ~,'.,а ,г п 1=1 функция ! -- диагональнук1 форму 2,' Л,Я . Доказать, что: /г 1=! 1) с1еС(Š— ЛС) = (с1е1Я)г(Л! — Л) ... (˄— Л); 2) векторы базиса е' находятся из системы уравнений (г'— — ЛС) с = о для каждого корня Л уравнения с1еС (г' — ЛС) = О. 32.39.
Не находя замены координат, .приводящей положи- тельно определенную квадратичную форму 8 к каноническому З ае. Билинейные и кеадратичние функции 305 виду, а квадратичную форму Е к диагональному виду, найти этот диагональный вид формы 8 1) Г = х~1 + 2х1хз + хз~, я = 10х1 + бх1хз + х~~, 2) Г = 89х~1 — 42х1ха + 5х~~, 8 = 41х~~ — 18х1хз + 2х~~, 3) 1 = 7х1хз + 31хз~, 8 = х1~ + 2х1хз + 2хз~, а 1 в 4) 1 = 8х1 — 5х1хз + — хю 8 = х1 — х1хз + — хз.
2 ' 2 Билинейные и квадратичные функции в комплексном пространстве (32.40 — 32.47) 32.40. Показать, что: 1) если Ь(х, у) —. билинейная функция в и-мерном комплексном арифметическом пространстве, то функция Ь(х, у) = = Ь (х, у) является эрмитовой билинейной; 2) если Ь(х, у) эрмитова билинейная функция в пространстве С„, то Ь (х, у) = Ь (х, у) билинейная функция. 32.41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
