1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 56
Текст из файла (страница 56)
При этом после каждого элементарного преобразования строк матрицы необходимо выполнить такое же преобразование столбцов. Для того, чтобы получить матрицу перехода к каноническому базису, нужно проделать те же элементарные преобразования со столбцами единичной матрицы. Квадратичная функция к(х) называется полохсительно (отрицательно) определенной, если 1г (х) > 0 (соответственно к(х) ( 0) для всех х из ь", отличных от о. Если 1г(х) > 0 (к (х) < 0) для всех х Е ь", то функция к(х) называется полуопределенной — - неотрицательной (соответственно, неполохсительной).
Такие же термины применяются для квадратичной формы, служащей координатной записью квадратичной функции. Для положительной определенности квадратичной формы с матрицей В = ~)60 ,'~ необходимо и достаточно, чтобы все главные гаиноры Ьь матрицы В были положительными: ь ... ь > О, к = 1, ..., и (4) Ь ... Ььь (критсрий Сильвестра). Пусть Ь(х, у) симметричная билинейная функция в евклидовом пространстве б. Линейное преобразование р пространства б называегсв присоединенным к функции Ь (х, у), если для всех х, у Е б; Ь (х, у) = (х, р (у)).
Присоединенное преобразование является само- сопряженным. Преобразование, присоединенное к билинейной функции, называется также присоединенным к квадратичной функции к(х) = Ь(х, х). Для любой симметричной билинейной функции Ь (х, у) (и квадратичной функции к (х)) в евклидовом пространстве би существует ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид: Ь(х,у) =~ 'Л,б,у, 1й( ) =~ 'ЛД,'.
т3 Векторы такого базиса являются собственными векторами присоединенного преобразования, а коэффициенты А, его собственными значениями. С помощью ортогональной матрицы перехода можно привести к диагональному виду билинейную и квадратичную функцию в произвольном конечномерном линейном пространстве ь.
Для этого в В следует ввести скалярное произведение, относительно которого исходный базис е является ортонормированным,и найти ортонорми- т Зз. Билинейные и квадратичные функции 295 рованный базис е' из собственных векторов присоединенного преобразования. Тогда матрица перехода Я от е к е' будет ортогональной, а матрица В' = о~ВЯ = Я ВЯ вЂ” диагональной. Диагональный вид билинейной (квадратичной) функции можно использовать как промежуточный этап в ее приведении к каноническому виду: надо только умножить на подходящие числа векторы базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.
Пусть 1(з) и и(з) — квадратичные функции (формы) в и- мерном вещественном линейном пространстве ь, причем функция я (я) положительно определена. Тогда в б существует базис, в котором обе формы диагональны, и, более того, я (х) имеет канонический вид. Если Е (т, у) и С (я, у) — симметрические билинейные функции, порождающие квадратичные формы Г(я) и я (т), то искомый базис -- ортонормированиый базис из собственных векторов самосопряженного преобразования, присоединенного к Е (т, у), относительно скалярного произведения, определяемого функцией С (т, у). Пусть Е и С вЂ” матрицы форм Г и и в некотором базисе е. Диагональные коэффициенты формы 1 в подходящем базисе являются корнями уравнения (5) деФ (г' — ЛС) = О, а соответствующие базисные векторы находятся из системы уравне- ний (Š— ЛС) 5=О (б) для каждого корня Л уравнения (5). На практике пару квадратичных форм Г, я приводят к диагональному виду в два этапа; 1) находят базис е', в котором форма я является канонической (например, методом Лагранжа), и преобразуют форму Г к базису е', 2) находят базис е", матрица перехода к которому от базиса е' ортогональна и в котором форма Г имеет диагональный вид: в этом базисе форма к остается канонической.
Если Я матрица перехода от базиса е к промежуточному базису е', а Т матрица перехода от е' к базису е", то матрица перехода от е к ев равна $Т. Функция Ь (х, у) в комплексном линейном пространстве ь называстсв эрмитооой билинейной (иолуторалипсйной), если Ь(т+ у, з) = Ь(т, с) + Ь(у, в), Ь(з, у+ с) = Ь(х, у) + Ь(х, г), Ь(оя, Ду) = о,ЗЬ(х, у) для всех т, у, э й Е и о, Ц й С.
Эрмитова билинейная функция называется симметричной (эрмитовой), если Ь (я, у) = Ь (у, я) для всех х, у й ь". Такая функция порождает квадратичную эрмитову функцию Ь (з) = Ь (л, т). Ее матрица эрмитова: Вт = В. Пусть В, В' — матрицы эрмитовой билинейной функции Ь (я, у) в базисах е, е' комплексного пространства, Я вЂ” матрица перехода 296 Гл. 12. Функции на линейном пространсгаве от е к е', а с, 11 — столбцы координат векторов х, у в базисе е. Тогда Ь(х, у) = 6тВгз, 1с(х) = 6~ВЫ;, В' = Я~ВЯ.
Билинейные и квадратичные функции в вещественном линейном пространстве (32.1 — 32.26) 32.1. Составить матрицу данной билинейной формы н записать соответствующую ей квадратичную форму в и-мерном линейном пространстве: 1) х1у1 (н = 1); 2) х1у1 (и = 2); 3) 2х1у1 — х1уз — хау1 — 5хзуз (и = 2); 4) х1Уз — Зх1Уз + 7хзУз + хзУ1 — ЗхзУ1 + 7хзУз + тзУз (и = = 3); 5) 2; хгУг; г=1 6) ~ хгуи — г-' 1~ 7) ~ угуд г=1 (г — Я<1 32.2.
Восстановить симметричную билинейную форму в пмерном линейном пространстве по данной квадратичной форме и составить ее матрицу: 1) — зхз1 (п = 1); 2) — 18х1хз + 9хзз (и = 2); 3) х, +4х1хз+4х1хз+ бхз+12хзхз+ 7хз (и, = 3); Многочлен, служащий координатной записью билинейной (квадратичной) зрмитовой функции, называется соответственно билинейной (квадратичной) эрмигиввой форлгой. Квадратичная форма в и-мерном комплексном пространстве приводится к каноническому вину 2„' С~, где г ранг формы. 1=1 Квадратичная зръгитова форма приводится к каноническому вип ду 2 в С ~~, где вг равны 1, --1 или О.
Закон инерции и крите=1 рий положительной определенности (критерий Сильвестра) квадратичной эрмитовой формы формулируются точно "гак же, как для вещественной квадратичной формы. Для квадратичной эрмитовой формы 1с (х) в унитарном пространстве существует ортонормированный базис, в котором она диагональна: к (х) = 2 Лг ф ~~. Если В— 1=1 матрица формы в ортонормированном базисе, то коэффициенты Л. являются характеристическими числами матрицы В.
З 32. Билил~ейиые и кеадратаичиые функции 297 и — 1 4) 2х, — бхлхг — Зхг (и = 3); 5) 2 х хеь1. 32.3. Записать квадратичную форму, имеющую данную матрицу: 1) Алт; 2) Азт; 3) Азот, 4) Агзо; 5) Алз4; 6) Алтл' 7) Азоз' 8) Аоз4. 32.4. 1) Восстановить симметричную билинейную функ- цию по порожденной ей квадратичной функции.
2) Доказать, что любую билинейную функцию Ь (х, у) можно единственным образом представить как сумму Ь (х, у) = = Ьл (х, у) + Ь (х, у), где Ьл (х, у) = Ь е (у, х), а Ь (х, д) = = — Ь (у, х). Доказать, что при этом Ь(х, х) = Ьл. (х, х). 32.5. Как изменится матрица билинейной (квадратичнолй) функции, если изменить базис ел, ..., еи следующим образом: 1) поменять местами 1-й и у-й векторы базиса; 2) умножить лтй базисный вектор на число Л ч'= О; 3) вектор е, заменить на е, + Лед (1 у= д); 4) векторы базиса расположить в обратном порядке? 32.6. Квадратичная функция и линейное преобразование имеют в некотором базисе одинаковые ълатрицы.
Какой должна быть матрица перехода от этого базиса к другому базису для того, чтобы в другом базисе матрицы квадратичной функции и линейного преобразования также совпадали? 32.7. Квадратичная функция дана в базисе ел, ..., еи. За- писать эту квадратичную функцию в базисе е'1, ..., е'„: 1) 25хгл — 14хлхг+ 2хгг, ел — — ел+ ег, е~г — — — ел+ ег,' 2) Зхлг+ 10хлхг + 9хгг, е', = 2ел — ег, ег — — ел — ег, 1 1, 1 1 3) 4хгл — 12хлхг + 9хгг, ел — — — ел — — ег, е~г — — — ел + — ег, 4) хл+ 4хлхг+ 4хлхз — хз, ел — — ел+ ег+ ез, е~г — — 2е1— 2...
2 — ег + еЗ, е~ —— — е1 + 2ег — Зеэ, 5) х1 + 2хлхг — хлхз — хг + 2хгхз + хз, ел — — 2ел — ез, е~г —— 2 2 2 = — ел+ 2ег — ез, е~ — — — ег+ ез, 6) 5хгл+ 5хгг+ Зхз2+ 2хлхг+ 2ъ 2хлхз+ 2ъ'2хгхз, е~л — — ел+ +ег — 2'72ез, е!г — — ел — ег, е~з —— ъ'2ел+ ъ'2ег+ ез, и — 1 7) ~„х,х,л.л, е,'=е,+е141+,.,+еи, 1=1,2, ...,и. 1=1 32.8. Привести данную квадратичную форму к канониче- скому виду с помощью метода Лагранжа или элементарных 298 Гл. 12.
Функции на линейном нроетрансгаое преобразований ее матрицы. Найти ранг, положительный и от- рицательный индексы инерции и сигнатуру этой формы: 1) 4хз~ + 4хзх2+ 5Х2~, 2) х1 — хзх2 — х2, 3) Х1Х21 4) 25ХЗЗ + ЗОХЗХ2 + 9Х22, 5) 2Х1хг — хз — 2ХЗ, 2 2. 6) 24х|х2 — 16Х23 — 9х22, 7) хз~ + 4хзхз + х2 + 2хзхз + 4хз,' 8) хз~ + 2хзх2 + 2хзхз — Зхз — бхзхз — 4хз' 9) 2хзз + 8хзх2+ 4хзхз+ 9х22+ 19Х32', 10) 9Х1 — 12ХЗХ2 — бх1хз + 4Х2 + 4хзхз + хз', 11) 8х21 + 8Х2 ~+ х23 + 16х1хг + 4хзхз + 4хзхз', 12) (Р) хзх2 + Х2хз + ХЗхз', 13) Х1 + 2х2 + 2ХЗ+ ЗХЗ + 2х~х2+ 2хзхз + 2хзх4', 14) Х1 — 2хзхз+х2 — 2хзх4+хз — 2хзхз+Х4 — 2хлхв+хз+ 2 2 2 2 2 +хе 15) хзх2 + 2хзхз — Зхзх4; 16) Х1х2 + х2хз — хз — х2 — хз. 32.9.
Выяснить, какие квадратичные формы иэ задачи 32.8 являются положительно определенными, отрицательно определенными, полуопределенными. 32.10. Привести к каноническому виду даннукз билиней- ную форму: 1) Х1уз + Х1у2 + хзуз + Зхзуз' 2) Х1уз — хзу2 — хзуз + хзу2., 3) 13хзуз — 5х1У2 — 5хзу1 + 2хзу2; 4) — хзу2 — хауз + хзу2; 5) х1У2 + хзУЗ + х1УЗ + ХЗУ1 + х2У3 + хзУ2~ 6) хзуз+2хзу2+ЗхзУз+х1УЗ+хзу1+хзуз+хзуз+2х2Уз+ +2хЗУ2 7) ХЗУ1 + Х1У2 + ХЗУЗ + Х2УЗ.
32.11. Доказать, что несимметричную билинейную функ- цию нельзя привести к диагональному виду. 32.12. Привести квадратичную форму, зависящую от дей- ствительного параметра Л, к каноническому виду при всевоз- можных значениях Л: 1) Зхз~ — 2Х1Х2+ Лх22, 2) 8хз~ + Лх1х2 + 2х22; 3) 2х2 + 8хз х2 + 4Х1хз + бх2 + ЛХ32; у Я9.
Билинейные и кеадратаичпые функции 299 4) х21 + х2 2+ 4хз~ + Лхл~ + 4х1хз + 2х1х4 + 2х2 та + 2хзх4 + +5хзх4; 5) Зх2 + бх1хв + 2х1 хз + 4хзхз + Лхах4 + хз + хзх4 + х4. 32.13. Привести к каноническому виду данную квадратич- ную форму в и;мерном пространстве: и и — 1 1) х2 + 2 2„х9 — 2 2 х х 4.1. 4=2 4=1 и — 1 2) х21+ 2 ~ ( — 1)'х;х411, 4=1 3) ~~; х2+ 2 хех", 4) 2; х;х", 1=1 1<4<1<и 1<1<1<и 5) — 2;1х2+ 2 2; 4х,х1; е=1 1<1<1<и и 6) 2,' ((1 — 1)2+1) х2+2 2 1х;хаи 1=1 1<1<1<и 32.14.
Доказать, что для положительной определенности квадратичной функции к (х) необходимо и достаточно любое из условий: 1) 1<(е;) > 0 (1 = 1, ..., п) ДлЯ любого базиса е1, ..., еи; 2) 14(х) приводится к диагональному виду с положитель- ными коэффициентами; 3) 1< (х) приводится к каноническому виду 51 +... + С„. 32.15. Показать, что для положительной определенности квадратичной функции необходима, но недостаточна положи- тельность всех диагональных элементов ее матрицы в некото- ром базисе. 32.16.
Доказать, что квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы чередуются следующим образом; .Ь1<0, Ь2>0, Ьз<0, ..., в1КпЬп — — ( — 1) 32.17. Пусть ранг квадратичной функции 14 (х) в и-мерном линейном пространстве Е равен г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
