1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Ц. Тепзоры тензор во всех ортонормированных базисах илсеет те же компоненты, что и старый. Перечисленные требования однозначно определяют операцию опускания индекса. В неортонормированном базисе компоненты старого и нового тензоров уже не совпадают. Аналогично определяется операция поднятия индекса. Тензор, полученный из данного тензора в результате поднятия или опускания индекса, обозначается той же буквой, но с иным расположением индексов.
Если некоторый верхний индекс появился взамен нижнего, то на месте исчезнувшего индекса оставляется пропуск или ставится точка, а вновь появившийся верхний индекс ставится над ней. Порядок перечисления индексов в преобразованном тензоре должен остаться тем же, что и в исходноьс, т. е.
при упорядо сивании индексов вновь появившийся верхний индекс занимает место исчезнувшего нижнего. При этом обычное правило порядка сгвсе верхние индексы раныпе всех нижних) может быть нарушено. Точки отмечают места нарушения. Для того чтобы опустить индекс у тензора а, заданного своими компонентами в произвольном базисе, можно вычислить свертку произведения асЗ д или д З а и,при необходимости, изменить порядок индексов в полученном тензоре (транспонировать его матрицу). Аналогично, с помощью тензорных произведений а с с д* и д* З а, осуществляется подъем индекса.
Поясним сказанное примерами. Е Опускание индекса у тензора а'. В результате опускания индекса должен получиться тензор типа (О, 2). Обычный порядок индексов у тензоров а' и а, совпадает, поэтому опускание индекса у тензора а', приводи г к тензору а, = д,ьаь. 2. Подъем первого индекса у тензора а;. аналогичен: сь ьс а; = д аз = аь д 3. Поднимем второй индекс у тензора асз т. е. вычислим тензор ас».
Вычисляя компоненты свергкн а,ьд»ь = 6~ по обычным правилам, индекс у считаем первым, с — вторым. В тензоре а,» индекс »в первый, у — второй (при тех же значениях компонент). Матрица тензора ас» транспонирована по отношению к матрице тензора Ь,'. 4. Аналогично, тензор а.'ь может быть вычислен как свертка а'сьдб, но при записи его матрицы порядок индексов должен быть таким: с, у, Й. В некоторых задачах используются ориенгаац л н-мерпого евклидова пространства и дискр лси»са»стный тензор. Приведем их определения. Все базисы пространства б„могут быть разделены на два класса твк, что детерминант матрицы перехода от любого базиса из одного класса к базису из другого класса отрицателен, а детерлсинант матрицы перехода, связывающей два базиса из одного класса, положителен.
В пространстве Е„задана ориентация, если 327 Гл. Ц. Тепзоры выбран один из двух классов базисов. По аналогии с трехмерным случаем базисы этого класса можно называть правыми, а базисы другого класса левыми. Ориентацию пространства можно задать, например, выбрав один какой-нибудь базис в качестве представителя правых базисов. Если ориентация выбрана, пространство называется ориентированным. Дискримипаптпый тепзор в ориентированном евклидовом пространстве определяется как тензор типа (О, и), имеющий в некотором правом ортонормированном базисе координаты если среди значений индексов есть равные, вп ...а (-1) Гп "' '"~, если значения индексов попарно различны. Через Х (11 ...
1„) обозначено число нарушений порядка в перестановке (1, ... 1„).Пользуясь законом преобразования компонент, мы можем найти компоненты дискриминантного тензора в любом базисе. В частности, его компоненты в любом правом ортонормированном базисе те же, что и в исходном. В 3 38 используются следующие понятия: поливекпюр (р-вектор), внешпял форма степени д (ц-форма), простой (разложимый) поливентор, разложимал впешплл форма. Теоремы и определения, касающиеся поливекторов, совершенно аналогичны теоремам и определениям, касающимся внешних форм. Поэтому задачи, сформулированные для поливекторов, могут быть поставлены и для внешних форм, и наоборот.
Под внешним произведением внешних форм и и и степеней р и в понимается их тензорное произведение, альтернированнос по всем индексам и умноженное на число (р+ д)Яр!д!). Оно обозначается и Л и. Аналогично определяется внешнее произведение поливекторов. Разложимый р-вектор представим в виде и = х1 Л ... Л хю где хп..., хр — векторы.
Внешнее произведение линейно по каждому сомножителю. В силу этого для данного р-вектора и множество таких векторов х, для которых и Л х = о, является линейным подпространством ь'. Говорят, что надпространство ь определяется (или порождается) р-вектором и. В задачах этого параграфа мы, если не оговорено противное, задаем поливекторы (и внешние формы) с помощью их существенных компонент тех компонент и" "''", для которых значения индексов удовлетворяют условию 11 < 1з «... 1р (остальные компоненты поливектора и определяются по существенным с помощью условий антисимметрии).
Существенные компоненты мы будем располагать в столбец или строку в лексикографическом порядке: компонента ип ..' располагается перед ип .-з, если для некоторого з ) 1 выполнено 11 = ум ..., 1, , = у, „ 1, < уп Например, бивекто- Гл. Ц. Теизври ру (2-вектору) в ьз соответствует столбец существенных компонент (и'~, и'з, иы, игз, и~~, и~~)~, а 3-форме в Ез соотвегствует строка (Лгз, Лгн Лзм Лзз) Под значением и-формы 1 иа системе 4 векторов кп ..., кз поннмаетсв свертка произведения 1 Сгз к1 я...
З кю В частности, 2-форма определяет билинейную функцию, матрица которой в любом базисе кососвмметрична: Р~А(г 11 '" г.г Матрица Г называется матрицей 2-формы в рассматриваемом базисе. й 35. Определение тензора. Тензорные обозначения, пространственные матрицы 35.1.
Пусть с', ~г и згг, цг — координаты векторов т и р в произвольнолл базисе двумерного линейного пространства. Сопоставим этому базису числа: 1 1 1) с~ + с~; 2) с~ + гг~; 3) Как изменяются эти числа прн замене базиса? Проверьте, является ли каждая из данных величин тензором. 35.2. Сопоставим каждому базису в линейном пространстве,б„: 1) число 1; 2) упорядоченный набор чисел 1, ...., п.
Будет ли данное соответствие тензором? Инвариантом? 35.3. Пусть ~р —. линейное преобразование линейного пространства Ез. Обозначим через А = ~) а'. ~~ его матрицу в произвольном базисе и сопоставим этому базису число: 1) г1еФА; 2) совс1е1А; 3) В6А; 4) пес 4тА' 5) аг г+ аг. 6) агг + аг + пз В каких случаях этим определен инвариант? 35.4. Пусть Ь билинейная функция, В = (~ Ь;з )~ ее матрица в произвсльном базисе пространства Ев.
Сопоставила этому базису число: 1) г1елВ; 2) бп+...+5~, :3) бп; 4) с1еФВТВ; 5) В6В; 6) в16пг1сФВ. Как изменяется каждая из этих величин при замене базиса? В каких случаях она определяет инвариант? 35.5. Пусть 1 — линейная функция на линейном пространстве й„и (ап ..., а„) — — строка ее коэффициентов в произвольном базисе. Сопоставим этому базису: 1) число а1 +... + а„; ~ Яб.
Определение тепзора. Тензорнне обозначения 329 2) упорядоченный набор чисел ам ..., а„. Как изменяются данные величины при замене базиса? Какие из них являются тензорами? Инвариантами? 35.6. 1) Какого типа тензор в Е„определяет билинейная функция'? Как найти компоненты этого тензора? 2) Какого типа тензор в Е„определяет квадратичная функция? Как найти компоненты этого тензора? 35.7.
Линейные функции Г, 8 имеют в базисе е пространства Еп коэффициенты ам ..., а„и Ьы ..., Ь„соответственно. Показать, что функции; 1) 1'; 2) 18 определяют тензоры в,С„, указать их типы и выписать для каждого компоненты в базисе е. 35.8. Линейныс функции Г, 8 имеют в базисе е пространства Е„коэффициенты ам ..., а„и Ьы ..., Ь„соответственно. Сопоставим каждой паре векторов х, у из Еп число: 1) Г (х) и (у); 2) Г (х) Г (у). Показать, что каждая из полученных функций определяет тензор в Еп, указать его тип и выписать компоненты в базисе е. 35.9. Каждой паре векторов х, у линейного пространства Сп (и > 3) сопоставлено число 1 (х, у), опредсляемое через компоненты ~з, ..., ~п и з1з, ..., з1п этих векторов, заданные в базисе е, одной из следующих формул: п 1) Г(х, у) = ~1з1з; 2) Г(х, у) = ~ ~'з1' Указать тип соответствующего тензора и выписать его компоненты в базисе е.
35.10. Функция 1: Еп — > зг (п > 2) определяется через компоненты (', ..., сп вектора х, заданные в базисе е, одной из формул: 1) ~ (х) = (' + ~', 2) ~ (х) = ((')' + 2р'ра; 3) ~ (х) = (б1 + ... + ~")', 4) ~ (х) = ~„ -(~*)'. 1 Указать тип соответствующего тензора и выписать его компоненты в базисе е.
35.11. Пусть Е„* — пространство всех линейных функций, определенных на линейном пространстве Е„, а р; Е*„— + 2 линейная функция на Е„*. Показать, что ез определяет тензор типа (1, О) на Е„. 330 Гл. Ц. Таизорм 35.12. Даны тензоры а,, а', ~', и', 6;. Величины с, д, д, 6 определены в каждом базисе формулами: 1) с = а,.Г'О~; 2) д = ся ~'~~; 3) д = а'6;(з; 4) 6 = 6;~', Опираясь на закон преобразования компонент данных тензоров, показать непосредственно, что эти величины являются инвариантами. 35.13.
Даны тензоры а', ~', 6,. Величины с', 4 определены в каждом базисе формулами с' = а'.(~ и д, = а~6. соответственно. Опираясь на закон преобразования компонент данных тензоров,показать,что с' есть вектор, а И; . ковектор. 35.14. Тензор типа (1, 1) имеет в некотором базисе компоненты (1, если г =д; ~0, если г ~?1 Изменяются ли его компоненты при переходе к другому базису? Какой геометрический смысл имеет этот тензор? 35.15. Тензор типа (О, 2) имеет в некотором базисе компоненты ~ 1, если г = д; А,= ) О, если г ф~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
