1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Доказать, что он симметричен также и по первому и третьему индексам. 2) Тензор типа (О, 3) антисимметричен по двум первым и антисимметричен по двум последним индексам. Доказать, что он антисимметричен также и по первому и третьему индексам. 3) Пусть тензор типа (О, 3) симметричен по двум первым индексам и антисимметричен по двум последним индексам. Доказать, что он нулевой. 36.53. 1) Привести пример тензора типа (О, 3), для которого ай ь1 = О,но не симметричного по трем индексам. 2) Привести пример тензора типа (О, 3), для которого аб ь~ = О, но не антисимметричного по трем индексам. 3) Доказать, что для ненулевого тензора а типа (О, 3) возможно одновременное выполнение равенств а0 чй = 0 и а3 ь1 = О.
36.54. Доказать, что любой тензор типа (О, 2) или 12, 0) можно разложить в сумму симметричного и антисимметричного тензоров. 36.55. Разложить в сумму симметричного и антисимметричного тснзоров тензор типа (О, 2), заданный матрицей: Ц А4д; 2) А1в; 3) Азз4. 36.56. Из символа Кронекера с помощью тензорных операций получить тензоры: 1) 6~~~, 2) б",'" " (см. задачи 35.18, 35.20). 36.57. 1) Пусть симметричный тензор а типа (О, 2) имеет в некотором базисе матрицу ранга т.
Доказать, что существуют г линейно независимых ковекторов 1п..., 1с, таких, что с а = 2 1„ З 1„. о=1 2) Сформулировать и доказать обратное утверждение. 3) Квадратичная функция ~р в Ез задана матрицей Авв. Представить ее как сумму квадратов двух линейных функций. Единственно ли зто представление? 3 37. Тензоры в евклидовом пространстве 37.1. Векторы е1, е~~ заданы своими координатами (1, 0) и (сова, в1п о) относительно некоторого ортонормированного базиса ем ео двумерного евклидова пространства. Выписать матрицы: а) метрического, б) контравариантного метрического, в) 342 Гл. Ц.
Тензоры дискриминантного тензоров в базисах: 1) ем ев, '2) ем е~. 37.2. Доказать, что в произвольном базисе евклидова пространства дискриминантный тензор имеет следующие компоненты: с;,,„= О, если среди значений индексов есть равные, и е;,,„= ( — 1) 1б "з")о ъЯеФ Г, если индексы попарно различны.
Здесь Г -- матрица метрического тензора, М(г~ ... 1„) — число нарушений порядка в перестановке (гм ..., 4„); и = 1 для правых базисов, и = — 1 для левых базисов. 37.3. Доказать, что во всех правых ортонормированных базисах дискриминантный тензор имеет следующие компоненты: еп н„= О, если среди индексов есть равные, и ай = ( — 1) ~~и "'"~, если г>... г„попарно различны. Здесь Х(ты .. 1„) число нарушений порядка в перестановке (мм ..., 1„).
37.4. Какой тензор получается, если у метрического тензора поднять один индекс? Оба индекса? 37.5. Какой тензор получается, если у символа Кронекера опустить индекс? Поднять индекс? 37.6. Привести примеры свертывания с метрическим тензором, встречавшиеся в курсе линейной алгебры. 37.7. 1) Тензор а' определяет линейное преобразование в евклидовом пространстве Еп.
Найти тензор, определяющий сопряженное преобразование. 2) Сформулировать условие, при котором тензор а' определяет самосопряженное преобразование. 37.8. Метрический тензор и тензор сн заданы соответственно матрицами: 1) Аьь, Ав, 2) Аьт, Аи, 3) Аз4ы Авш. Найти матрицы тензоров: а) а'.; б) а,,'~: в) аб. 37.9. Верно ли утверждение: если матрица тензора ен симметрична, то симметричны и матрицы тензоров: 1) а,'; 2) аб? 37.10.
Метрический тензор и тензор а' заданы соответственно матрицами: 1) Аьв, А4о, :2) Азот, Аззз. Найти матрицы тензоров: а) а,'.~; б) а,'.~. 37.11. Метрический тензор и тензор а'ь заданы соотвст1ь отвеяно матрицами: 5 38. Поливекторы и аллешние формы 343 1) А55~ ~650~ 2) А55~ А651~ Найти матрицу тензора: а) а; ь, 3 38. Поливекторы и внешние формы 38.1. Функция Г, от двух векторов на трехмерном векторном пространстве сопоставляет любым векторам х и у смешанное произведение (а, х, у). Доказать, что 1, --.
2-форма. 3) Азот Агзз б) а'ль; в) а".ь; г) нлд". 37.12. Метрический тензор и тензор а'„л, заданы соответ- ственно матрицами: 1) Авт, Аввт; 2) Аш, А664. Найти матрицы тензоров: а) ал и, б) алд"л. 37.13. Упростить выражения: 1) (аодд" + б~абд~ь) ды, 2) б'б~~д"'а6, 3) сн дл "дндм. 37.14. Известно, что а'~ = д'дл ал„,ь. Выразить ал ь че- рез а, лд 37.15 (р). Пусть у линейное преобразование евклидова пространства, р' сопряженное преобразование. У тснзора, соответствующего произведению преобразований ~р~р*, опуска- ют индекс. Показать, что полученный тензор имеет тип (О, 2) и симметричен.
37.16. В двумерном евклидовом пространстве Ез векто- ру С~ сопоставляется вектор дон ь~~. Доказать, что этим опре- делено линейное преобразование пространства Ез, и выяснить его геометрический смысл. 37.17. В трехмерном евклидовом пространстве паре векто- ров Сл, О1 сопоставляется вектор ~ = д 'слл ~лил. Доказать, что вектор л, есть векторное произведение векторов г' и ллл.
37.18. В четырехмерном евклидовом пространстве векто- рам х, у, в с компонентами (', цл, л, сопоставляется линейная функция л с коэффициентами ллл = сл ьл~лд'~ . Доказать, что л(х) = л(д) = л(г) = о. 37.19. В четырехмерном евклидовом пространстве векто- рам х, д, з с компонентами (', цл, ~ сопоставляется вектор и с компонентами д~ сл, ьб'цлс 1) Доказать, что вектор и ортогонален векторам х, у, 5. 2) Доказать, что вектор и, соответствующий тройке х, у, отличается множителем — 1 от вектора и, соответствующего тройке у, х, в. 344 Гл.
Ц. Теизорлл Выразить ее матрицу в ортонормированном базисе через ко- ординаты вектора а. 38.2. Найти связь между векторным произведением двух векторов и их внешним произведением. 38.3. Написать матрицу 2-формы ш в базисе е простран- ства Е4, если дано ее выражение через 1-формы, составляющие базис, биортогональный е: 1) е1,,5. 2) е Лез+е2Ле4.
3) = 71 Л 42 + 71 Л лз + 41 Л 74 + е2 Л ез + ез Л 44. 38.4. Найти внешнее произведение двух 1-форм, заданных координатными строками: 1) с79~ с75, 2) с95, С93, т т. т т. т т . т т 3) 0174~ С166~ 1) 0156) 0193' 38.5. Найти внешнее произведение трех 1-форм, заданных координатными строками: Т Т Т. оЛ 7 Т Т. ал Т Т Т 1) С12, С13, С14', 21 С99, С52, С51', 3) С83, С124, С118', 4) 0172~ С154~ С218~ 5) 0197~ С198, С207'., 6) С255, С256, С257. 38.6. 2-форма задана матрицей, 1-форма задана коорди- натной строкой.
Найти их внепплее произведение. 1) А254, сТ81, 2) А254, сьТ6', 3) А252, с9Т1, 4) А499 с162', 5) А432 0204. т т' 38.7. Пусть и, ил, о и ло — внешние формы степеней соот- ветственно р, р, д и т. Доказать, что: 1) (Ли) Л о = Л1и Л о); 2) (и + ил) Л о = и Л о + ил Л о; 3) (иЛо)Лю=иЛ(оЛол); 4) и Ло = ( — 1)"'о Ли. 38.8. Доказать, что значение д-формы на системе векторов хл,..., хл фактически зависит только от д-вектора хл Л... Л хл. 38.9.
Пусть 11, ..., 19 . 1-формы. Найти значение р-фор- мы 1 Л... Л 1е на системе векторов х1, ..., хр. 38.10. 2-форма в,С4 задана строкой ее существенных ком- понент лр, а векторы х и у - координатнызли столбцами 5„17. Найти значение 2-формы на паре х, у: т 1) л17 = С279' Е, = 0174~ 71 = С186 т 2) лр = С269, Е, = с171; 17 = сы7. 38.11. Доказать, что для линейной зависимости векторов ал, ..., ар необходимо и достаточно, чтобы ал Л... Л ар — — О.
3 о8. Полиоенторы и онеи4ние формы 345 38.12. Пусть еы ..., е„-- базис в Е„. Доказать, что: 1) бивекторы ез Л е для всех пар 1, у' таких, что 4 < г', образуют базис в пространстве бивекторов пространства Е„. 2) р-векторы е;, Л... Л е,, для всех сочетаний индексов 40 ..., гр (44 «... 1р) образуют базис в пространстве рвскторов пространства Е„. 38.13. Базису е = (ем ег, ез, е4) пространства Е4 сопоставим базис е = (е4 Л ег, е4 Л ез, е4 Л е4, ег Л ез, ег Л е4, ез Л е4) соответствующего пространства бивекторов, а базису е' " аналогично построенный базис е'.
Найти матрицу перехода от е к е', если матрица перехода от е к е' есть Я. 38.14. Внешнее произведение и"'"'" — ' векторов хм ... ..., х„4 из Е„их4еет и существенных компонент. Доказать, что при замене базиса в Е„с матрицей перехода Я строка а = = 1а,..., а") из существенных компонент а' = и ' '"" преобразуется по формуле а' = аЯ(де1 Я) 38.15. Используя результат задачи 38.8, доказать, что линейное пространство р-форм может быть отождествлено с сопряженным к линейному пространству р-векторов.
38.16. Доказать, что в Ез каждый бивектор разложим. 38.17. Доказать, что для разложимости бивектора и'1 в С4 необходимо и достаточно выполнение равенства и42и34— 13 24 + 14 23 0 38.18. Пусть ам аг, аз и а4 — линейно независимые векторы. Разложимы ли бивекторы: 1) а4 Л аг + аз Л а4,' 2) аз Л аг+ а4 Ла4+ а| Лаг,. 3) а4 Л аг + аз Л а4+ аз Л аз + аг Л а4? 38.19. Разложим ли бивектор в Е4, задаваемый в некотором базисе столбцом существенных компонент а: Ц а = сгтд', 2) а = сгвд, .3) а = сгтз, 4) а = сгз1? 38.20. Доказать, что подпространство, порождаемое рвектором, имеет размерность т < р, причем равенство достигается для разложимых р-векторов и только для них. 38.21.
1) Пусть разложимый бивектор в базисе еы ..., е„ имеет компоненты и'о. Доказать, что векторы Р = ибе.. лежат в пространстве, порождаемом этим бивектором. 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для разложимых р-векторов. 346 Гл. Ц. Теизоры 38.22. Может ли размерность подпространства, порождаемого бивектором в пространстве Е4, равняться 1? 3? 38.23. В некотором базисе пространства Г4 бивектор и определен столбцом существенных компонент а. Найти линейное подпространство, порождаемое этим бивектором: С279; 2) а С2691 3) а С278~ '1) а С286. 38.24. Доказать, что разложимый р-вектор, определяющий подпространство Ер, может быть найден по этому подпространству с точностью до числового множителя.
38.25. Подпространство Е2 в пространстве Е4 задано системой линейных уравнений с матрицей А. Найти коъ4поненты бивектора, определяющего ь2. 1) А = А662; 2) А = Абаз; 3) А = А666 38.26. Подпространства Е7 и Е2 в пространстве Е4 поро- ждены соответственно вектором х и бивектором и. Вектор за- дан координатным столбцом е„ а бивектор -- столбцом суще- ственных компонент а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
