1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 64
Текст из файла (страница 64)
0), А (1, 1), Аду. 36.10. Записать матрицу из компонент тонзора: 1) адЬ', 2) а;6;; 3) адЬ; 4) а,Ьг как кронекеровское произведение матриц из компонент этих тензоров. 36.11. Пусть а, Ь вЂ” двухвалентные тензоры с матрица- ми А, В. Какого типа должны быть эти тензоры, чтобы матри- ца их тензорного произведения была (правым) кронекеровским произведением: 1) АЗ В; 2) ВЗА? Гл.
Ц. Тевооры 36.12. Линейные функции 1 и я заданы в базисе е коорди- натными строками ое и р. Найти матрицу тензора: 1) 1 З я; 2) 8 З Е Какой геометрический смысл имеют эти тензоры? 36.13. Линейная функция 1 задана в базисе е координат- ной строкой ое, вектор у -- столбцом ц. Найти матрицу тензора т ® у. Какой геометрический смысл имеет этот тензор? 36.14. 1) Пусть х вектор, 1 ковектор. Доказать, что 1®х = х З1. 2) Привести пример тензоров а и Ь, для которых а З Ь ~ о= 5 За. 36.15.
Пусть ты хз, хз — векторы, а еы 10, Гз ковекторы. Какие из приведенных ниже выражений имеют смысл? Если данное выражение есть тензор, указать его тип: 1) х7 З хз+ хз З хз; 2) х7 З хз З хз+ хз З хз; 3) хе З 77 — 21'7 З х7, .4) х1 З 10 + 17 З 17; 5) х7 З 17+ хз З10 6) 1~ Зх7 Зхз+хз Зхз З17, 7) х7 ® хз + хз З хз — х7 З хП 8) 17 З10 — 3(1з З1з). 36.16.
Найти компоненты тснзоров 1), 3), 5), 7), 8) задачи 36.15, если векторы хы хз, хз и ковекторы 10 10, 1з заданы с помоп1ью столбцов и стРок соответственно: сзо, с7з, схь сз, т т т с 10 с 2 2 36.17. 1) Пусть а = х Зу, а векторы х и у имеют в базисе е компоненты 1, О, 0 и О, 1, 0 соответственно. Найти компоненты тензора а в базисе е и в базисе е' = е5', где Я = А007. 2) Пусть а = 1 З я, а ковекторы 1и я имеют в базисе е коор- динатные строки (1, О, 0) и (О, 1, 0) соответственно.
Найти ком- поненты тензора а в базисе е и в базисе е' = еЯ, где Я = А007. 3) Пусть а = х З 1, а вектор х и ковектор 1 имеют в базисе е компоненты 1, О, 0 и О, 1, 0 соответственно. Найти компоненты тснзора а в базисе е и в базисе е' = еЯ, где о = А707. Сравнить результаты задач 1), 2), 3). 36.18. Разложить тензор в произведение одновалентных тензоров, если он имеет: 1) тип (2, 0) и матрипу Аз.', 2) тип (2, 1) и матрипу А07з.
36.19. 1) Пусть а — тензор типа (1, 1) и матрица его ком- понент имеет ранг г. Доказать, что найдутся г линейно незави- симых векторов ам..., а„и г линейно независимых ковекторов ~ аб. Алгебраические операции с тенаорами 337 Г1, ...,Г, таких, чтоа= ~ и ЗГ". а=1 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для тензоров типа (2, 0).
36.20. 1) Пусть тензор а типа (О, 2) имеет в некотором базисе матрицу ранга г. Доказать, что существуют г линейно независимых ковекторов 11,..., 1, и г линейно независимых ковекторов 31, ..., К, таких, что и, = > 1а З яа. а=1 2) Представить билинейную функцию 3~101 + 2~1112 + + ЗС 1?~ + 2С~1?~ как произведение линейных. Единственно ли такое представление? 3) Билинейная функция Г в некотором базисе линейного пространства задана матрицей А4з4. Представить ее как сумму двух произведений пар линейных функций; 1(т, у) = = Г1 (Х) Я1 (У) + Г2 (Х) Яо (У).
ЕДИНСТВЕННО ЛИ ЭтО ПРЕДСтаВЛЕНИЕ? Свертывание (36.21 — 36.29) 36.21. Исходя из законов преобразования тензоров а'ы а', о'з а,, огг, а~~~~, С~, ПрОВЕрИтЬ ЗаКОН ПрЕОбраЗОВаНИя КОМПОНЕНТ сверток; 1) и',; 2) агУ,; 3) а,Ь1; 4) а'~ 36.22. Исходя из геометрического смысла тензоров а;, ~', а', б;., объяснить геометрический смысл сверток: 1) агс,', 2) а'~1; 3) ЬцС'с,г. 36.23. Можно ли свернуть: 1) вектор и ковектор? 2) вектор и вектор? 3) пару ковекторов? 36.24. Записать произведение линейных преобразований в тензорных обозначениях. 36.25.
Тензоры а'., С', гее заданы матрицами: А2зз, с1о4, сю4 ° Вы !полить свертки ° Т 1) а'~г; 2) а'зе,; 3) аггее. 36.26. Сколько различных тензоров можно образовать при помощи свертывания из данного тензора типа (2, 2)? 36.27. Тензор а'„~ задан матрицей: 1) Авзг', 2) Авзз. Найти матрицы сверток: а) а'Р; б) а',~. 338 Гл. Ц. Тензоры 36.28. Тензор аьг~ задан матрицей: 1) Аелз, 2) Аезз; 3) Аавл. Вычислить свертки: а) а',.г; б) а'„г; в) а'„г,.; г) а,'~:, д) а,'.г.; е) а", 36.29. 1) Каждому базису пространства Е„сопоставлен упорядоченный набор чисел а',г~ (все индексы пробегают значения от 1 до и).
Известно, что для произвольного вектора с~ числа а'„г, ~ь являются компонентами тензора типа (2, 2). Доказать, что а,'ьг -- тензор типа (2, 3). 2) Каждому базису пространства Е„сопоставлен упорядоченный набор чисел а'~ (все индексы пробегают значения от 1 до п). Известно, что для произвольного тензора и, типа (1, 2) ь числа аьгг и~. ЯвлЯютсЯ компонентами тензоРа типа (О, 2). Доказать, что аьг~ тензор типа (2, 3). Транспонирование, симметрирование, альтернирование. Симметричные и антисимметричные тензоры (36.30 — 36.57).
36.30. Можно ли транспонировать тензор: 1) типа (1, 1); 2) типа (2, 0)? 36.31. Один тензор типа (О, 2) получается из другого транспонированием. Как связаны соответствующие билинейные функции? 36.32. Тензоры 1) снг; 2) а'г; 3) а~г: 4) а'ь заданы соответственно матрицами Ань Ань Аате, Аете. Найти матрицы транспонированных тензоров. 36.33. 1) Сколько различных тснзоров могкно получить с помощью операции транспонирования из данного тензора г ач" н. 2) Тензор типа (О, 3) задан матрицей Авте. Выписать матрицы всех тензоров, получаемых из него транспонированием.
Изменится ли ответ, если данный тензор имеет тип (3, 0)? 3) Тензор а с компонентами а; ь задан матрицей Атзт. Выписать матрицы транспонированных тензоров е и с, если Ь; ь = = а ьь с, ь = а,ь . 4) Тензор а с компонентами си Ги задан матрицей Ант. Выписать матрицы транспонированных тензоров 6 и с, если Бц~~ = иь и, с, и = агь ' т" Зб. Алгебраические операции с теиаорами 339 36.34. Пусть а„Ь тензоры типа (1, 1). Выразить тензор с= ЬЗа через 4= а®Ь. 36.35. Не используя сокращенных обозначений, выпишите все компоненты тензоров, заданных в пространстве Ез: 1) х'у~; 2) хйу"); 3) хйу"); 4) х'а ь, 5) х'а,ь, 6) х"а,'; 7) х~"а,'~; 8) х~"а,'1; 36.36.
Тензор аб задан матрицей: 1) А1о, '2) Атт; 3) Аз4, 4) Аззз. Найти компоненты тензоров: а) арт>; б) а~'т~. 36.37. Тензор аь.ь задан матрицей: 1) Аозо', 2) -Аоы; 3) Атзю. Найти компоненты тензоРов: а) аб ~ь, б) а;т ь~, в) а~,6 ь~, г) ар.ьр 36.38. Тензор а'„т, задан матрицей: 1) Аоо4; 2) Аоз4 Найти компоненты тензоров: а) аы, б) а „), в) а „, . 36.39.
Тензор а, ь задан матрицей: 1) Аозо, 2) Аоы, 3) Атзо. Найти компоненты тензоров: а) асб) ь, б) а; Вь); в) аЬ у ьр 36.40. Тензор а~~~ задан матрицей: 1) Аоо4; 2) Аоз4 Найти компоненты тензоров: а) а ч', б) а „; в) а 36.41. Тензор абь задан матрицей: 1) Атго', 2) Атш. Найти компоненты тензоРов: а) аЬ ь); б) ар.ьр 36.42.
Тензор типа (О, 3) задан матрицей: 1) Атзз,' 2) Атзз; 3) Атзю; 4) Аозо, '5) Атзз Выяснить, является ли тензор симметричным (антисимметрич- ным), и если да, то по каким индексам. 36.43. Тензор а'. задан матрицей А: 1) Азз, 2) Азот. Вычислить инварианты: а) а,', б) а~,.а~~), в) а~,.ага~~). Сравнить найденные инварианты с коэффициентами характеристическо- го многочлена матрицы А.
340 Гл. Ц. Теггооргл 36.44. 1) Доказать, что тснзор е,г л„(см. задачу 35.21) кососимметричен по любой паре индексов. 2) Доказать, что тензор е„,„кососимметричен по любому подмножеству множества индексов. 3) Доказать, что тензор Б" "'" (см. задачу 35.20) кососимметричен по любой паре верхних индексов. 4) Доказать, что тензор о'.г "'" кососимметричен по люболг -Зе му подмножеству множества верхних индексов. 5) Доказать утверждение 4) для нижних индексов. 36.45.
Пусть а,. и 5гу — компоненты соответственно симметричного и антисимметричного тензоров. Вычислить свертку а; ЬО. 36.46. Для тензора д",'"";, определенного в задаче 35.20, и пРоизвольных тензоРов ал" 1" и блг лл доказать, что: 36.47. Пусть ал ьЯл(ь = 0 для любого вектора ~'.
Доказать, что аггуьг = О. 36.48. Доказать, что а,'а,' = а( а~~р ага~ = а~~,а~ О Лг) г лг 5 го г ь 36.49. Вычислить: 36.50. 1) Пусть тензор симметричен по некоторой паре индексов. Доказать, что операция симметрллрования по этлллл индексам тензора не меняет, а операция альтернирования дает нулевой тензор.
2) Пусть тензор антисиммстричен по некоторой паре индексов. Доказать,что операция симметрирования по этим индексам дает нулевой тензор, а операция альтернирования тензора не меняет. 36.51. 1) Доказать, что для симметричного по двум первым индексам тензора имеет место тождество 1 аО ь~ = — (а,рь + аьи + а1ьл). 2) Доказать, что для антисимметричного по двум первым индексам тензора имеет место тождество 1 ай ьг = — г',ал ь+ ам + а и). З о7. Тензорм в свклидовом пространстве 341 36.52. 1) Тензор типа (О, 3) симметричен по двум первым и симметричен по двум последним индексам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
