Wesseling - An Intro to Multigrid Methods (523193), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Аьегпаипй 1эпе Оаивв — Бейс! и а1во пог гойпз! Гог 1Ыз !ев! РгоЫеш. 1Г Рэ ( О, Рэ = яРэ,и > 0 апд [Рг[я 1, [аРэ[ я 1 1Ьеп во !Ьаг [ Л(0, эг/2) [ = а/ [(1 + а)г+ 1) э~г, эч1исЬ 1епдв го 1 !Г а ь 1. Бупэшегпс (Гогчгагд Гойоп ед Ьу Ьас(сэчагд) Ьог1гоп!а1 апд чегдса1 Ипе Сааза — БеЫе! аге гоЬизг Гог Иив !ев! ргоЫегп. ТаЫе 7.7.7 ргевепгв гоп!с Тааге 7.7.7. Еопг!ег япоогЫпв Гасгогв, р, ро Гог гЬе сопчесгюп-ййпз!оп еипаг!оп йвсгедгед ассогйпв го (7.5.!4); вупппегг(с чегдса1 1!пе Оапя-БеЫе1 зпюогЫпв; и = 64 е Ро Ф !33 132 Ь»наазбгпв анауувн унсоизр1еге ро!чг ЬУ визоогбун8 гези1гя Абаш, и=64 апд 8=(гх(12, 8=0,1,2,...,23; ТаЫе7.7.7 8[чев гези1гв оп1у Гог 1Ье вогя сазе ш %е зччП поз эла1узе йеве гехи(гз ГигИзег.
ХшпепсаПу ве йпд 1Ьаз Гог 13 = 0 апд е < 1 1Ьаз р = Л(0, з/2) = (1 + Рз)/(9+ ЗРз) = 1(3. Ав с10, рр дерепдв оп 1Ье ча1ие о( не. И П с1еаг йаз ве Лаче а гоЬия япоойег. %е тау сопс1иде 1Ьаг а11егпа0п8 зуннпезпс Ппе Оаивв — Бе]де[ В гоЬыз Гог ЬозЛ зев! ргоЫетв, ргочддед 1Ье пнхед дег(ча0че Ь йзсгег(ход ассопПп8 1о (7.5.11). А йзадчалзахе о( 1ЬЬ япоойег В 1Ьаз Л доев поз 1епд 1гзе[1 зо чесзог!лед ог рагаПе] сотрШ(п8. ТЬе ХасоЬ1-гуре те0юдв йзсизвед еагпег апд Оаия — БеЫе( вЫз ранегп огдеппоз (вЬ|зе — ЫасЛ, геЬга) аге тоге ГачоигаЫе ]п 1Ыв гевресз. Роипег япоо1Ып8 апа1узв о( Оаиш-Бе]де] вПЬ рапегп огдеппбв Ь июге зпчо!чед, апд н рояропед зо а 1а1ег вес0оп. Ехегс[ве 7.7.1.
Язов 1Ьаз дапзред ро!пз Оаиш-БеЫе1 1в поз гоЬыз зог 1Ле гозазед атон!гор!с йууив!оп ег!иа0оп вьь с=1, з=О, вьь взапдагд соагвеши8. Ехегс]ве 7.7.2. Аз Ехегйзе 7.7.1, Ьиз (ог 1Ье Оаыз — Бейс!-уасоЫ тейод. Рог Роипег апа1уяз 11 Ь песеззагузЬаз [М] апд []Ч] аге сопяапз, !.е. доно! дерепд оп 1Ье 1осагюп [и 1Ье 8гЫ. Рог 1Ье пзе0ккЬ Зивз йзсиззед Пнв Ь йе саве 11 [А] !в сопзгап1. Рог (псозпр!еге уасзог]хапин впюопип8 тейогЬ 1Ыв Ь пог„Ьовечег, ви(Лс]епз. Хеаг 1Ье Ьоипдапез оузЬе допзшп [М] (апд Ьепсе []з(] = [М] — [А]) чапез, ыиапу зепйп8 гаркПу зо а соппап1 яепсП авау угопз 1Ле Ьоипдапев. Хечегйе[евв, ивера[ ргейспопв аЬоиз 1Ье япоозЫп8 рег(оппапсе оз !псопзр1езе (асзог[запоп япоозЫп8 сап Ье таде Ьу нзеапз о( Роипег апа!уяв.
Нов 0нз сап Ье доне П Ьея Шивзга1ед Ьу пзеапз оу ап ехашр!е. Р!че-ро1пв $Ш ТЬзв !псопзр!езе уасзог]запои Ьав Ьееп дейпед зп Бес0оп 4.4, ]и взапдагд тазпх поза0оп. 1п Бес0оп 4.4 А вав азвишед зо Лаче а йче-ро]п1 згепсП. %!1Ь аррИса0оп зо зев! ргоЫепз (7.5.9) зп ш!пд, А зв азянпед зо Ьаче 1Ье вечен-рошз взепсП 8!чеп Ье(ои. 1п пенс!1 поза0оп зче Ьаче [Цз= с [!3]з = (7.8.1) 0 0 б; 0 0 7.3. 1псопзр!е1е ро[п1 ЬУ хпвоо(Ь[пд » о] О Ь д] 0 вЛеге з=(уз,Ь). е в' з '= ', ' ). % 01 шду йе иптод18ед чегяоп. Рог Ьз ве Ьаче йе гесигяоп (4.4.12) зччзЬ а = 0: б; = д — аб/Ь „— сзу/бз „ (7.8.2) вЬеге ез=(1,0), ез=(0,1).
Тепло шчо(гдп8 пебаззче ча1нев оз з, а=[ ог 2, аге зо Ье гер!асед Ьу зего. %е ичП вЬов йе ГоПозччп8 Ьепнпа. Ьепнпа 7.8.1. 11 а+с+ д+зУ+8>0, а,с,з),8<0, д>0 ( .. ) 7.8.3) йеп Пгп бз = Ь я д/2+ [02/4 — (а8+ сзу)] з~ вл ТЬе ргооГ вП1 Ье 8[чеп 1азег. [з[о1е йа1 (7.8.3) П вапзйед 11 Ь = у'= О алд А В а К-тазг!х (Бес0оп 4.2), ОЬчюиз!у, б П геа], апд Ь < д.
ТЬе га1е аз вЫсЬ йе Пнпз В геасЬед 1п (7.8.4) ччП Ье ззийед зЬогпу. А зи1Тк[епз ншпЬег, о( тевЬ ро!п1в азчау ггот йе Ьоипдапез оу 1Ье 8г]д О ве Ьаче арргохнпа1е у Ьз = б, апд гер1ас]п8 б; Ьу Ь ве оЫаш (ог [М] = [Ь] [13 '] [Щ: (7.8.4) Г т/Ь 8 [М]=~ с д 0 а азу/б (7.8.5) д взапдшд Роигзег вшоойзп8 Ыуззз сап Ь арр1зед ЕЧиапоп (7,8,5) ' 1 'чед еавду ьу подп8 зьаз 1п ззепсп позазюп (Апи) Ер Е» А(з, у)В(1+ 1', 1г)из»у, », во йаз А(з', /)В(з +1', 8) 8!чев а сопзпЬи ! !в епч 0оп 1о С(1, у+ уг), вЬеге С = АВ; Ьу яншп!и8 аП сопзпЬшюпв опе оЬиппз (з', ).
Ап ехр!к11 ехргевзюп (ог С(1,1) и С(з, 1) = Еу А(з, у)В(! + 1',1- у), з!псе опе сап впзе (Си)з = лз »уА(1,у)В(1+,/, 1- у)из»з. (7.8.б) б < 6,» < 6 -зап б < бг» < бум-з дз 1 ~22 Ргооу %еЬачебоо= д,бзо= гу-пу/Ф< бз»з.])ейпеб,= д/2+(д /4-сзуб] Непсе Ь, < И, алд Ь, = д — ау/Ь„„во йа1 бзо > Ь,. Авзшшпб б < Ьзо < Ьу-з,о ве вес йаз 6~+ з,о = д — сзу/Ьзо > д- сзу/б„= б„апд Ьу, з,о < Ьп.
1п йе ваше ! ВеЬачюнг оу е1ешепзз о1 Ь, О, 1) авау угош 8пд Ьоипдапев Веуоге ргочш8 Венина 7.8.1 зче ргоче а ргеппнпагу !енина. Рог Ьгечпу зче зчп1е (1',уг) 1пззеад оГ(зь12). Ьепнпа 7.8.2. 1У (7.8.3) 1з ва028ед, йеп 134 Зслаагб!лд алайа з 135 улсотруесе ую!лс у. У зтоогйулб Аи!во!гор!с дс(Ум!оп еоиаг!ои Рог сйе (поп-госасед ф = 0') ашзосгор!с сИйняоп есунас!оп в!1Ь гйвсгес!гайоп (7.5.9) ве Ьаче 8 = а = — 1, с = су = — с, д = 2 + 2с, Ь = у'= О, апд ве оЬсып: Ь= 1+ с+ [2с(1+ а)]'~', апсс Л(В) = [с сов(Вс — Вг)(Ь+ ас/6]/ [1+с+ ас/б — с соз Вс — сов Вг+ е соз(бс — Вг)/6] (7.8.!2) %е чдй Янду а Гев врес1а! смея.
Рог с=1 апд а=О ве йпд !и Ехашр1е 7.8.1: р= [Л(а/2, — г/3) [=(2,(3+ /б — 1) ' = 0.2035 (7.8.13) ТЬе сме с= 1, а ~ 0 и апа1усгсайу 1еы сгассаЫе. Рог с < 1 ве йпд гп Ехашр1е 7.8.1: 0 < а < 1/2: р = [ Л(а, 0) [ = (1 — а)/(26 — 1 + а) 1/2 < а < 1; р = [ Л(а/2,0) [ = а/(а+ 6) ИшооСЫпй гасзог ог йче-ро!иС ЙХ О < а< 1(2: рп= [Л(а,т)[=(1 — а)((26 — 1+ а+Ьт /2с) !/2 < а<1: ро= [Л(а/2,т) [=(а+ т)/(а+ 6+Ьт /2с) вЬеге т = 2а(лг. ТЬеве апа!удса1 сеян]сз аге сопйпиед Ьу ТаЫе 7.8.1. Рог ехашр!е„Гог с = 10 ', лг = 64 апд а = 1/2 ецнадоп (7.8.15) 8!чез ро я 0.090, р я 1(3. ТаЫе 7.8.1 спс!идея сЬе вогзс саяе (ог !3 1п сЬе вес [!3 = уса/12, Уг = О, 1, 2, ..., 23). Та%к у.В.1.
Ронпег япоосЫпя !асса»в, р, рп сот сЬе гаса!ед апио- сгор!с д!(унв!оп еинас!оп д!ясгесиед ассопипз со (7.5.9); йче-ро1нс 1СЛЗ япюоСЫпя; и = 64. 1п СЬе сыез пи»Лед вЬЬ ', В = 45' р р ро ро е а 0=0,90 Ф=!5 0=0,90 8=15 ТЬе ыпрййсайоп уассог В 8!чеп Ьу вЬеге р = [ агу/б — Ь] + [сб/6 —,У'[. аау опе сап вЬов 6„< Ьок < ба,к с, чдсЬ Ь = су/2+(суг(4 — аб)"'. Рйпсе 6„6» > Ь ве Ьаче евсаЫ!яйед Гог з = О: б~г < бу-г.* чу > з' б < Ьзк < бм-и чуг> я (7.8.7) !п СЬе закис вау 1С !в ему Со зЬов Гог з = 1: б < 6»г < бу-с, чу > я*' 6 < Ь,к < бск-и чуг > з.
(7.8.8) Ву [пднсйоп И св ему со еясаЫиЬ (7.8.8) Гог агййгагу я. П Ргоог ос Ьепппа 7.8.1. АссопИпй Со Еепипа 7.8.2, СЬе зес(пенсе [бук] !в поп- шсгеаяпй апс1 Ьонпдед (гош Ье!ов, апд Ьепсе сопчегйез. ТЬе 1спис д яас1вйсв д > Ь, апд и = д — (аб + сгу)/уг. Непсе д = 6. П Еешшаз 7.8.1 апд 7.8.2 аге аЬо со Ье (онпд ш %!ссшп (1989с). ТЬе шод!йед чегяоп о(!псошр!есе Гассопгмюп в1И Ье зснд!ед. Ав тешат)сед Ьу %!Вши (1989а) июсййсайоп !з Ьепег сйап дашр!п8, Ьесанве !Г сйе епог пса!их ]с[ св япаИ чдсЬ а = 0 И чдИ а1зо Ье вшай идсЬ а Ф О.
ТЬе орйпнш а дерепдз оп сЬе ргоЫеш. А йхед а (ог аИ ргоЫепи и со Ье ргеуеггед. Ргош сйе апа1ув!в апд схрегииепсв о( %йсшп (1989а, 1989с) апд онг овп ехрег!псепсв И (ойовз сЬас а = 0.5!я а аоод сйо!се Гог аИ ро1пс-Гассопгас!опз сопзгдегед Ьеге апд аИ ргоЫеии. деян!ся в!И Ье ргезепсед вЬЬ а = 0 апд а = 0.5. ТЬе шосййед чегяоп оГ сЬе геснгяоп (4.4,12) уог Ьк!в аВ/Ьк-г — ссу/Ьк-с+ а[[ асу/бк-г-О[+ [сб/бс г — у [] (789) ТЬе Иписшй ча1не 6 !и сйе 1псегюг оГ сЬе доша!п, Ьх (гош сЬе Ьонпдапез, зас!вйев (7.8.9) вИЬ сйе знЬзспри оиипед, апд !в еая1у десепсипесс пшпег1- сайу Ьу сЬе Гойовспй геснгяоп Ьккг = д-(агу+ с!у)/Ьк+ а[[ агу/бк — 0[ 6 [сб/бк — у'[] (у 8.10) Л(В) = [(аа/Ь вЂ” Ь)ехр [!(Вс — Вг)] + (сб/б —,у)ехр [!(Вг — Вг)] + ар]/ [а схр(- !В,) + асу ехрЯВс — Вг)]/Ь + с ехр( — !В,) + с(+ ар + су ехрИВс) + сб схр КВг — Вс)]/Ь+ 8 ехр(ИЬ)) (7 8.11) 1 0 020 1О ' 0 0.48 1О 0 0.77 10-г 0 0 92 !О-к 0 0 99 1 0.5 0.20 10 ' 0.5 0.26 10 ' 0.5 0.30 10 г 0.5 ОЗ2 10 г 0.5 О.ЗЭ 0.20 1.48 7.84 !3.0 13.9 0.20 0.78 1.06 1.25 1.27 0.20 0.46 0.58 0.16 0.002 0.20 0.26 0.025 0.089 0.001 0.20 1.44 6.90 10.8 11.5 0.20 0.78 1.01 1.18 1.20 137 136 Гисотр1есе ра)пс Ь(1 зтоогЛ!иВ Яа)оо)Лспз аласуягя р ро В Р Ро о=0.5 о 0 Авяипе [А) = с )Г 0 (7.8.16) а= а, 0= Ь вЂ” аа/6, 7=с — аГ/6, а=о-08/6, Г=У-78/6, 9=8 (7.8.18) «ИЬ 6 йе арргорпасе гоос оГ (7.8.19) Неге и)е Ьаче апосЬег ехашр1е вЬо)чш8 сЬас )Ье шйцепсе оГ сЬе суре оГ сЬе Ь оцпс(агу сопййопв оп вшоосЬ!п8 апа1уяв шау Ье ипрогсапс.
Рог йе попгосасес) ап!зосгорк й!Гцяоп еоцас!оп (!5 = 0' ог 13 = 90') «е Ьаче а гоЬцвс Г)' ' япоосЬег Ьой сог а = 0 ап)С а = 1/2, ргоч!Иед сЬе Ьоцп)сагу сопйИопв аг à — ео 1псЫес суре ас СЬове раяв оГ 1Ье Ьоцп))агу СЬас аге регрепо!сц!аг со СЬе йгесИоп оГ зсгоп8 соцрИп8. ))))Ьеп !5 Ь агЬ)сгагу, Иче-ро!пс !Ь() Ь пос а гоЬцвс зп)оосЬег «чсЬ а = 0 ог а = 1/2. )оге Ьаче пос ехрег!шепсес) «чсЬ осЬег ча)цев оГ а, Ьесацзе, ав И ичИ сцгп оис, сЬеге аге осЬег япоойегв сЬас аге гоЬцзс, «ч)Ь а Ихес) сЬоке оГ а, сЬас ))оев пос с[ереп)С оп йе ргоЫеп).
Ехаиср1е 7.8,1. Репчас!ои оГ (7.8.13) со (7.8.15). 1с Ь еав!ег со «ог)с ичсЬ 1/Л сьап и)!)ь л. %)е сап и)г!се !/л(0) = 1+ 6Р(0), ф) ичсь Р(В), )6) = [1+ с — с сов В) — сов(0) — )6))/[с сов В+ за[ и)Ьеге ))=В) — Вг. Ргош ВР/00) =0 И ГоИои)в сЬас с япВ)+яп В)=о. %!)Ь с = 1 сЬгв -8)чез Вг = -В) ог В) = О) + х. Та)с!п8 а= 0 опе Ипс)в !/Л(0),0) + х) = 1 — 26. РипЬепиоге, о(Вп -В,) =2(1 — сов В,)/соь 20). Ехсгеша оГ сЫв ГипсИоп аге со Ье Гоцпс) ш О) — — О, В', х )чЬеге В*= сов '(1 — /!/2) = 73 . Ь)оге йаС (0,0) ап)С (В', — 0*) аге пог !и б,.
Рцгйег ехсгеп)а аге со Ье Гоцп)С оп )Ье Ьоцпс)аг!ез оГ с),. Рог ехаи)р1е, Р(х/2, Вг) = (2 — сов Вг)/яп Вг, и)Ь!сЬ Ьаз ехсгеша )п Вг = + х/3. !пвресс!оп оГ аИ ехсгеп)а оп сЬе Ьоцпссагу оГ с), гея)1сз )п (7.8.13). Сопсшшп8 ичй с < 1 ап)10 < а < 1, Ггош с з!п 0) +яп В)=о Гиии)С аЬоче )че Ьаче Вг = О,х. Опе Йи))в Р(0), 0) = — 1 + (а+ 1)/(а+ сов О)), )чЬ!сЬ Ьав ехгге)па !и О) = О, х. Непсе, аИ ехсге)иа !и сг, аге оп йе Ьоцп)сагу оГ б,.
%е Ьаче 6 = 1, во сЬас [1/ЦВ)[ = [1+ Р(0)[. 1пвресИоп оГ СЬе ех)ге)па !еа)Ь Со (7.8.14). ТЬе и ехсгеша !и с)) аге ехрессесс со ье с1озе со йоге !и с)„аи)с ьепсе аге со ье ехрессе)С !и (х, +т), г=2х(пг, Гог 0<а< 1/2, ап)С (х/2, +г) Гог 1(2 < а < 1. ТЫв ВИчез ив (7.8.15). Сопчесяоп-й)уцяоп еииаяоп ьес цз са)се Р, =- — а Рг, а > О, Рг > О, «ьеге Р) = сл/е, Рг = ял(е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
