Wesseling - An Intro to Multigrid Methods (523193), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ТЬеп (7.4.20) !в геР!асей ЬУ Е,=в()([ —,Г,Ч) Х( — Ч/2,Ч/2)), Е,=е~ег (74.22) Рщнге 7,4.2 исчез а дгарЬка! сйизсгапоп. гяаит 7.4.2 штосса (О.) впи гонаЬ (О„Ьассиеа) чаченшнЬег весв !и ьчо 4Ьнеияонв, вепн'-соагзеинщ !и хг йгессюп. НО Втор!с!!ля ало!уян у!ге Роиггег втор!!!!ля уосгог р<р*<1, чл„,а=1,2,...,д (7.4.23) р=вирЦ Л(В)$сВ46,! (7.4.24) во СЬаС р =вирЦЛ(В)$:Ввез~) (7.4.29) р < Ф (7.4.25) (7.4.26) (7.4.30) ри<р<р (7.4.27) АПегпаИче соагве 8пд соггесИопв Бе пи'-соагвешп8 !в ап ехапсрсе оГ а соагве 8гЫ соггесбоп ягасейу счйеге тоге и!одев аге арргохнпасед оп сЬе соагве 8пд !и огдег со тассе сйе савЕ оГ сйе яиоо1Ьег 1евв детапд!п8. А тоге росчегГи! соагве 8г!д соггесбоп всгасейу Ь сйе Ггеопелсу-десотроз!г!ол тег)год оГ Насссйивсй (1988, 1989).
ТЫв псеСЬод !в чегу гоЬивс, ечеп ачсЬ счеасс япооСЬегв. Неге а 8гЫ сдчез пве со пос опе Ьш Гоиг соагве 8псЬ. Апосйег псебсод со оЬсасп а всгеп81Ьепед соагве 8гЫ соггесбоп, айечсабп8 сйе депсапСЬ оп сЬе япоосйег„йав Ьееп ргоровед Ьу Ми!дег (1989). 1п СЬЬ сиесЬог$1чго соагве 8псЬ аге ивес$ (1п пчо йспепвюпв), еасЬ аПЬ вени'-соагвеп!п8 сп а ййегепс йгесс!оп. ТЬе сиесйодв оГ Нас1СЬивсЬ апд Ми1дег Ьаче пос уес Ьееп СчЫе!у аррйед, апд «ИП пос Ье йвсияед Ьеге.
Меяй-яхе !пдерепдепс дейпсиои оГ втоосйсп8 Гас!ос %е Ьаче а впюобип8 гпесЬод оп сЬе 8гЫ б (Г ипПогиду !и и 1Ьеге ех!зш а р висЬ СЬас Но« ечег, р ав дейпед Ьу (7.4.7) дерепдв оп л, Ьесаиве С, дерепдв оп и . 1п огдег со ойаси а псевЬ-шдерепдет сопйбоп счЫсЬ ипрйев (7.4.23) сче дейпе а вес Ог г О, ачсЬ О,!пдерепдепс оГ л, апд дейпе апд сче Ьаче а втоосЫп8 тесйод ГГ р < 1. Рог ехагпр)е, Н 9, Ь дейпед Ьу (7.4,20), сйеп сче тау дейпе б, аз Гойосчв! ог си СЬе саве оГ СЬе Роипег япе вегсев, чгйеге 9,!в дейпед Ьу (7.4.21), ТЫв 1уре оГ Роипег апа!увЬ, апд дейш6оп (7.4.24) оГ 1Ье яиоосЫпв Гассог, Ьаче Ьееп ш1годисед Ьу Вгапдс (1977). Модсйсассои оГ япоосЫа8 Гас1ог Гог ОспсЫес Ьоипдагу спид!Иоив 1Г Л(В) Ь висоосЬ, СЬеп р — р = 0(л ) Гог возне т > 1.
1с спау, Ьочгечег, Ьарреп сйас 1Ьеге Ь а рагапсе1ег 1п СЬе йГГегепба! ессиабоп, вау е, яссЬ СЬас Гог ехзтр!е р — р = 0(й'!е). ТЬеп, Гог с < 1, Гог ргасбса! ча!иев оГ л СЬеге тау Ье а 1агйе дс(Гегепсе Ьемееп р апд р. Рог ехаспр1е, ечеп !Г р = 1, опе тау яй1 Ьаче а 8оод япоосЬег.
Г.агйе д!всгерапссев Ьаче Ьееп Гоипд со Ье саивед Ьу 1Ье Гас! Сйа1 сч)СЬ СЬе Роипег япе зег!ев ча)иев В„= 0 до пос оссиг 1и 9, (сГ. (7.4.21)), Ьи1 аге спс1идед 1и 6, (сГ. (7.4.27)). А йпсЬег сопсрйса6оп апвев, !чйеп чге Ьаче $31псЫес сопй1юив, Ьи1 СЬе вспе Гипсссоив (7.3.24) аге пос е(йепГипсбоив оГ СЬе япообип8 орегасог.
ТЬеп, Гог 1ас1с оГ апусЫп8 Ьессег, сйе ехропепда1 Роипег зепев Ь ивед, нир1усп8 репод1с Ьоипдагу сопйдопв. А8аси П Сипи ои1 сЬас сйвсгерапссев дие 1о СЬе Гасс СЬас СЬе Ьоипдагу сопйсюпв аге пос оГ сйе аяшпед суре апве пса$и1у Ггоп! Сйе ргевепсе ог аЬвепсе оГ аачепшиЬег сопсропепь В = 0 (ргевепс «чсй рег1од1с ьоипдагу спид!!сопя, аьвеп1 !ч!Сь $3$псыес ьоипдагу сопй1юпв). 11 ьав ьеей оЬвегчед (СЬап апд Естап 1989, КЬа61 1989, $$$г!Ссшп 1989с) СЬас «!Ьеи ивсп8 сЬе ехропеп11а! Роипег вепев (7.3,22) Гог япоосЫп8 апа1уяв оГ а ргасдса1 саве ачсЬ 01г!сЛ!ес Ьоипдагу сопйбопв, ойеп Ьессег айгееисепс сч!СЬ ргасбса1 геви1Ь Ь оЫа$пед Ьу !еачдп8 «ачеписиЬегв ачсй В„= 0 ои1, сйап8!п8 СЬе дейис6оп оГ 9, $п (7.4.7) Ггогп (7.4.20) со я!псе(В В=(В! Вз ... В!) В =2сг!С„lл,lс ФО, Гг = — и !2+1„...,л,„!21 Есз=Еид П (- )г,„!2), Вр=о ЛЕР (7.4.28) счйеге Сйе вирегвспрС 1$ вегчев Со $пйсаге Сйе саве оГ Г)!псЫег Ьоипс$агу соп- й6опв.
ТЬе зтоо1Ыи8 Гассог!в поа дейпед ав Р$8иге 7.4.3 8$чев ап П1ив1гасюп оГ его„счйссЬ Ь а йвсге1е вес «йЫп СЬе ЬассЬед гейюп, Гог д = 2. РшсЬег яиррогс Гог сйе ивеГи1певв оГ дейпйопз (7.4.28) апд (7.4.29) счП! Ье 8!чеп ш сйе пехс вес6оп. Хо!!се 1ЬаС ае Ьаче СЬе Гойочч!п8 !пес!пай!у 1Г сче Ьаче а $«еитапп Ьоипдагу сопдйюп а1 ЬосЬ к = 0 апд х = 1, 1Ьеп В = 0 саппо1 Ье ехс!идес$, Ьис!Г опе Ьаз Гог ехаиср!е $3$псЫес ас х, = 0 апд $!$ешпапп ас х„= 1 1Ьеп 1Ье еггог саппо1 соп1ап а сопв1ап1 !поде сп 1йе х„ СПгесбоп, аид В = 0 сап айаш Ье ехс1идед.
Ехегссве 7.4.1. С!че сйе арргорпасе Роипег вег1ев си СЬе саве оГ регюйс Ьошн1агу соий6оив!п сЬе х! йгессюп апд Г)1г!сЫес Ьоипдагу сопй6опв 1п сйе сйе хз йгесбоп, апд дейпе 0„0,. 113 Нг Гоигсег зтоогата ел»»/узй Бтоос?йлз ала/узй (7.5.2) апд тейпе арргорпасе вега 9„0,. щите 7А.з ссоцвь мачелитьег зес (Оо, ьассьеес) !и с«»о 91»пепз!опв, «»!сь ехс1ицоп ог 0„= О геоиез; зсапдаге( соагзеп1па. Ехегссзе 7.4.2. Яиррове /с» = р/с» (/е». шевЬ-в!?е ог" ег, /с».
шезЬ-я?е ог с», опе- б!шепа!опа) сазе, и зоше !псеаег), апИ аввшпе репоейс Ьоцпдагу сопИ!Иопв. ЯЬо«» 1Ьа1 «»е Ьаче айаяпа Сог Вз=2а/г/и» /гехсс((-и»/2, — н»/2р]О[л,/2р,ис/2]] 7.5. Гяйг]ег вшоо(Ыпй аяа!уяз Ехрйсй ехргевяоп 1ог сйе апсрййсаиоп гассог 1п огрех 1о Иесепшпе 1Ье зшооИппй »ассе?в р, р ог рп ассогсйпд со дейп(6опв (7.4.7), (7.4.24) апес (7.4.29) ие Ьаче Со зо!че СЬе е!Яепча[це ргоЫепс Я19(0)= Л(0)19(0) сч!1Ь Б я!чеп Ьу (7.4.2). Непсе, чче Ьаче со во!че Сч19(0) = Л(0) М19(В). 1п 1Ье звена! поса6оп ог" ЯесИоп 5.2 1Ыв Ьесоспез К(т,/)»/г 7(В) = Л(0) ~ М(т,/)4 (В) (7,5,1) »Е?' УЕ?' %е по«аввцше сйе Гойи«чпа. Авяцпрйоп (1).
М(ги,/) апе( ЬС(т, /) Ио по1 беренд оп т. ТЫз аввшпрбоп ы зайвйед !с Сйе сое(йс!епгв ш 1Ье рагба1 «С!йегепйа( ес(цайоп 1о Ье зо!чей аге сопзсапс, 1Ье шевЬ-я?е ос" 0 1в цшгопп апе( 1Ье Ьоцпдагу сопИЬИопв ахе регюсйс. »Еге «г!Се М(/), Х(/) ]па!сад ос М(т, /), Се((т, /). Аз а сопвес(цепсе ог" Аввшпрбоп (1), Азвшпр6оп (И) ог" Яесбоп 7.4 св ва6зйесй 1Ье е!Вепрапсс!опз ог" Б аге й!чеп Ьу (7,3.17), в!псе ~ !»С(/)ехр[!(/+т)0] =ехр(!тВ),"~ Х(/)ехр(!/О) »Е?' /Е?' зо И»а1 Ф (0) = ехр(стВ) васЬйез (7.5.!) «чсЬ Л(В)= ~ Се((/)ехр(!/0)/~, "М(/)ехр(!/0) »Е? ! УЕ?» Репой!с!су гесса!гез сьа1 ехр(1т В„) = ехр[с(т, + и )О ], ог ехр(си В ) = 1.
Непсе В е ез, ав дейпеИ Ьу (7.3.19), ввяпп!пя и со Ье ечеп. Непсе, 1Ье е!Вепсцпсс[опв аге 1Ье Роипег пюе(ез ог" ТЬеогеш 7.3.3. Аззцшрйоп (1) гз пос епоцйЬ со ша1се сйе зше Сцпсс!опз ос ТЬеогеш 7.3.4 е!Вепйапсс!опз. 1Г, Ьо«ечег, чче ша1се Исе Сойо«чпа азяцпрбоп.
Аззишрйоп (й). М(/) апИ Се( (/) аге ечеп !и /,о=1,2, ..., е/, СЬаг !з М(/„...,/....../е) = М(/», ..., -/....../е) (7.5.3) се((/ь". /л,". /е)= Х(/с ... — /,-.../е), Чов (1,2,..., е/] 1Ьеп Е,(0) аз дейпеИ Ьу (7,3,24) аге есйепрапсгсопв ос (7.5.1), Ргочгдеб зче Ьаче Ьопюйепеоиз ЕйпсЫес Ьоцпдаху сопИ!Иопв, апИ ргочЫед АввшпрИоп (1) Ьо1дв, ехсерс ас сЬе ЬоцпИш!ез, ос соцгве.
ТЫз «е посч зЬо«. »е/е ьаче сйе фойо«!па Ьепипа. Ьепппа 7.5.Ь Пес Х(/) зас!вгу Аяшпрбоп (И). ТЬеп Е ~ (е[(/)ее „,(0) =2ее»„(0) ~, "Р[(/) П сов/ В (7.5.4) Аи» а 1 »лйеге р (В) = П ~= » яп т О, Е' псеапв 1Ьас сеппз сог «ЫсЬ Д соспропепсв ог" / аге ?его аге со Ье пш16рйед Ьу 2 з, апй 14е = (О, 1, 2, " ]. Ргоо). !ниисг!от тье чепйсасюп Гог е/= 1 !з 1ей 1о сье геаесег.
Аззцш!па (7.5.4) со ьоы сог е/= 1,2, „е/ — 1, сче ьаче, ччпбпа е/ !пассам ог" е], апд 114 хтоог/1глв ела!узл - 115 Голе!ег втор!и!ля ела/узи l = (/!. гг, "., /е-1), 2; Аг(у)„ .,(В) Зев е =2«!е (В) ~ /г/(/) П сов,/„В П гхя! 1 Тея ргоЫешв (/зш8 1.епипа 7.5.1 !че ьее 1ЬаГ Ф«(В) = П яп т,В ваь!в(!ев (7.5.1) !и!ГЬ (7.5.7) — е(и,! ! + П,гг) + си,! + зип = О (7.5.8) — еи,п — и,гг = з Е-1 =.Е йп(те+у )В ~~ АМ П Ы( .+/„)В„ /«Е7 Уех З-1 З-1 = Х в!п(те+/е)Ве 2 ' Д яп т В Ег Аг(/',/з) П соз,/В зги ««1 Е-1 з-! 1 Е-1 = 2 П $1П ги В ~«~ П СОВ / В«$1П !ЛЕВ« «=1 у!Па х ~ (Аг(/ ', О) + 2 ~ /!/(/', уа )сов /еВ д )) и!я Л(В) = 2г АГ(у) П соз у' В„~~ М(,/) П соз у В (7.5.5) 11ьа -1 ТЬе Ьогпо8епеоы )г!псЫе! Ьоипйагу сопгййопв ппр!у гЬаг яп и В = О, ог = !г.~: / = ей /л, .': =1,2, ...,и — 1, ав Гог 1Ье Роипег япе велев.
Визг(йсабоп оу Рейпйюпз (7.4.28) апй (7.4.29) 11 Аввшпр1юп (и) ьо!гь, гьеп гье апгриисабоп Гасгог л(В) оыашей чйгь гье ехропепба! Роипег зепев !п (7.5.2) 1з Ыепйса! 1о Л(В) оЬГагпей !ч!1Ь ГЬе Роипег япе вепев ш (7.5.5). ТЬе оп)у й1йегепсе Ьег!чееп гЬе ггчо савев 1в гЬе гап8е ог В, !чЬ!сЬ !в гз (йейпей Ьу (7.3.19)) Гог гйе ехропепба1 зепев, апй Оо (йейпей Ьу (7.4.28)) Гог 1Ье япе вепев. Б!псе гЬе япе вег1ев !з арргорпаге 1ог гЬе сазе о( )3!г!сЫе! Ьоипйагу сопй!Иоы, !че ехресг го оЬпйп Ьеяег гевийв Гог рйпсЫег Ьоипйагу сопгйгюпв гч!1Ь гЬе ехропепг!а! яег!ев (го Ье изей !Г (7.5.3) Ь по1 вайзйей), й 9 !в гер1асей Ьу гг~.
ТЬ!в Ь гЬе пгобчагюп Гог гЬе йейп!6оп о( ро ассоггйп8 го (7.4.29). Ав по!ей Ье(оге, !Ь!в 1пйеей Вйчеь Ьеггег а8геепгепь млгЬ ргасйса! ехрепепсе. ч'апаЫе спей!с!епгв, гоЬпвгпеяя оу впюогйег 1п 8епега1 гЬе спей!с!епгз о( гЬе рагйа1 й)йегепйа( ециайоп го Ье во!чей чйй Ье чапаЫе, ог соигве. Непсе Авяипрбоп (1) млй по! Ье вайвйей. ТЬе аяшпр6оп ог ипйопп пгевЬ-яге !в 1евв йешапй!П8, Ьесаые ойеп гйе сопгриса6опа1 8гЫ гг 1в а Ьоилйагу,Фггей 8гЫ, оЬ!Ыпей Ьу а глаРР!п8 !гош ГЬе рЬуз!са1 зрасе апй й сопягисгей висЬ 1Ьас 17 !в гесгап8и1аг апй Ьав шйГогш П1ЕЯЬ яге. ТЫз !ааИгавев Иае ппр1епгЕпга6оп оГ 61Е Ьоипйагу сопйЫопз алй ог а ший!81!й сойе.
Рог гйе ршрове о( Роипег япоогЬ!п8 апа1уз!в гЬе соей!с!ел!в м(т,,/) апй /ч(т,/) аге !осаиу йгогеп'. гче пгау ехрес! го ьаче а 8оой япоо!Ьег !1 р < 1 Гог аИ ча1иез М(,/), /ч(/) 1Ьа! оссиг. ТЫв 1в зирроггей Ьу гЬеогеиса1 аг8шпепгв айчялсей Ьу Нас11ЬизсЬ (1985), Бес!!оп 8.2.2. А впюогйег !в саИей гоЬизг !Г Ь чгогЬв !ог а 1аг8е с1ая о( ргоЫешя Койивгпевв Ь а г!Пайгайче ргореггу, !чЬ!сЬ сап Ье йейпей пюге ргес!зе1у опсе а вег о( вшьаЫе гевг ргоЫепгз Ьм Ьееп йейпей. 1П огйег 1о шчев68аге апй сошраге ей!с!епсу апй гоЬизгпевв ог япоогЫп8 шегйогЬ гЬе ГоИоейп8 гччо вресш! савев о( (3.2.1) ш пчо йппепвюпв аге иве!и! — (ес'+ зг)и,!! — 2(е — 1)сзи,я — (ез'+ с~)и,гг = О (7.5.6) гч!1Ь с= сов /3, з = йп 8. ТЬеге аге ггчо сопяап1 рагаше1егв 1о Ье чапей: е) О апй В. Е11иаг!оп (7.5.6) !в сайей гйе гога!ей ал/во!гор!с Йяиз!ои едиайол, Ьесаые И Ь ой!а!пей Ьу а гогабоп оГ гЬе сооггйпаге ахея очег ап ап81е В йош !Ье апгзо!гор!с й!йив!оп ециайоп! Ециайоп (7.5.6) глайЕ!в поь оп!у ашвоьгорк й!йив!оп, Ьш а1во чапабоп о( гпезЬ авресг га1ю, Ьесаиве гч!1Ь 13=0, в=1 апй гпевЬ авресг гайо 61/ьг = Г "г гивсгебгабоп геви!1в!и гье ваше в!епы! ав чигь с = В, ь!/Лг = 1, арагг агою а вса)е гас!из.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
