Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 67
Текст из файла (страница 67)
ОЬвегче йаг йе сопсПгюп (7.2.2.4) гв Еи1ППегЕ, е.а., П (д/ду)Ф(х, у; Ь) ех1в1з апгЕ !в сопйшопв ш а гЕоша!п 0 оГ йе Гогш з1агег! ш йе йеогеш. ТЬеогеп1 (72.2.3) а!во ргочЫез ап иррег ЬоипгЕ Гог 1Ье гЕ!зсгегиа11оп еггог, лчЬЕсЬ ги рппслр!е сап Ье еча!иагегЕ ЕЕ опе Йпогчз М апг1 ЬЕ. Опе соп!д иве 11, е.а., 1о геегеппше гье в1ер1епагь ь агь!сь !а геишгеге 1о сошрпге у(х) чг11Ь!п ап еггог в, а1чеп х апг1 в > О.
13пГоггппаге!у, ш ргасПсе й|в гв гЕоошег! Ьу йе Гас! йаг 1Ье сопяап1в М апгЕ ЬЕ аге пог еавПу ассевяЫе, япсе ап еЯппаПоп оГ М апгЕ ЬЕ !з оп!у ровяйе чПа еяипа1ез оГ ЬЕаЬег г!епчаг!чев оЕЕ. А!геагЕу Еп йе зппр1е Еп1ег'з шейгк$, Ф(х, у; Ь):=Е (х, у), е.а., опе Ьаз [зее (7.2.1.8) Г.] ЬЕ ~а ! Ях, у(х)) + Ег(х, у(х)1Е(х, у(х)) ), дФ М па — = ) Е„'(х, у) /. 443 22 !езааича!не РгоЫепв Рог йе йпп8е-Кпгга гпегЬог$, опе поп!4 а!геаг(у Ьаче го езйпасе г)ег(ча- $1чез оГ/'оГ ГЬе !опгй оп)ег. 7.2.3 Азутрсо11с Ехрапз)опз Гог йе О1оЬа! $3!зсге1!ха1)оп Еггог оГ Опе-й1ер Мейог)з 11 гпау Ье соп)есгпгег$ $гоп1 ТЬеогегп (7.2.2.3) гЬаг йе арргохппаге зо!пг(оп ю$(х; Ь), Гпгп)зЬед Ьу а гпейог$ оГоп$ег р, роззеззез ап азугпргог(с ехрапз!оп 1п роччегз оГ Ь оГ йе Гопп (7.2.3.1) г$(х; Ь) = у(х) + ер(х)Ьг + ер» г(х)Ьг+ ' + Гог а!! Ь = Ь„= (х — х„)/л, л = 1, 2, ..., чч!$Ь сепа(п сое(йс)епг ГппсНопз е,(х), ! = р, р+ 1,..., 1Ьаг аге $пг(ерепг)епг оГ Ь.
ТЬ$з гз ик(еег$ ггпе Гог 8епега! опе-згер гпегЬогЬ оГ оп$ег р, ргоч!г)ег$ оп!у гЬаг Ф(х, у; Ь) ап<$/' заг!зГу сегга)п аг)г$$$$опа! ге8п!аг)гу сопйНопз. Опе Ьаз 1зее Ога88 (1963)] (7.23.2) ТЬеогепв. Г.ег Г(х, у) и г», з(а, Ь) [сЕ (7.1.3)] ат! !ег г$(х; Ь) Ье йе арргохГтаге зо(иг!оп оЬгаГпей Ьу а оле-згер тегЬтГ оГ отг)ег р, р < Ь/, го гЬе зо!и!!оп у(х) о/ йе!и!г!а! са!ие ргоЬ!ет (1) у' = / (х, у), у(хо) = уо хо и (а, Ь]. ТЬеп ц(х; Ь) Ьаз ап азутргогГс ехрапь!оп о/ йе/огт т$(х; Ь) = у(х) + Ьгег(х) + Ьг''е„,(х) +" + Ь"е„(х) (7.2.3.3) + Ь» "Е»+1(х; Ь) илй е,(хо) = О, Ь = р, р+ 1,... гчЬ$сЬ Гз оа!Ы/от а!Гх и (а, Ь] ат(а!1Ь= Ь„= (х — хо)/л, п= 1,2, .... ТЬе /йлсг!опз е;(х) йегет аге !т»$ерепг/епг о/'й, атГ йе гетаГт»$ег гетт Е„,,(х; Ь) !з Ьоит)ет//ог фхег$ х ат( а!! Ь = Ь„= (х — хо)/и, п = 1, 2, ....
ТЬе ГоПо ип8 е!е8апг ргооГ $з аале го На(гег аль!1.пЪ!сЬ (1984). циррозе гЬаг йе опеспер тегЬод !з 8$чеп Ьу Ф(х, у, Ь). 81псе йе гпегЬс»$ Ьаз оп$ег р, апг$ /' а Р»+„йеге Го!!оп з (зее Бес!(оп 7.2.1) у(х + Ь) — у(х) — ЬФ(х, у(х); Ь) ( )Ьг+ь + ... + Г ( )Ь»+г + 0(Ь»+х) г'ГгзЬ и е пзе оп1у у(х + Ь) — у(х) — ЬФ(х, у(х); Ь) = Ыг~,(х)Ь~+' + 0(Ьг'~) апг$ зЬоп йаг гЬеге )з а ййегеппаЪ|е Гипс!!оп е„(х) зпсЬ гЬаг ю$(х; Ь) — у(х) = е„(х)Ьг + 0(Ьг+'). То гЬ(з епд, чте сопз(бег гЬе Гипс!)оп т7(х; Ь):= т!(х; Ь) — е (х)Ьг, 7 Ог41яагу Оагегепиа1 Ецчаиеяв Неге 11(Ф(хо Ч;; Ь)) — Ф(хо Ч;; Ь) Ф(». ° Ч» ") Ь йе ге!а!!че гонпгПпд еггог сотппягегГ Гп йе ЯоаПпц-ро1пГ согприяагюп оГ Ф, а;,, йе ге!аПче гонпгПпц еггог сошпЯггед !п йе согпрнгаПоп оГ йе ргогГнсг Ьсо апгГ о;„1Ье ге!аПче гонпгПпП еггог чгЫсЬ осснгя !и йе агГг11- Поп Ч, + гГ,.
Ь1оггпаПУ, !п ргасПсе, йе ягеря!ге 6 Ь яо ягпаП ГЬаГ (ЬФ(х;, Ч;; 6) ( (< ) Ч; ), апгГ П ) а;ч, ! < еря апгГ ) р;,, ( < еря, опе йня Ьая Я;„= Ч;~, о;~ о Г.е., 1Ье !пЯнепсе оГ гонпсПпЦ еггогЯ Ь гГеяегш!пег! Рп'- гпаг41у Ьу йе агЬГП!оп еггог о,,, КегпагГг.1г !я па!ига!, гЬегеГоге, го гегГнсе гЬе !пЯнепсе оГгонпеПпП еггогя Ьу саггу!па он! гЬе асЫ!г!оп ш гГонЫе ргесаЯоп (2г Песппа! р1асея). Гуепог!пд Ьу Г!я(а + Ь) а донЫе-ргес!я!оп агГгГ!г!оп, Ьу Ч; а гГонЫе-ргес!я!оп пшпЬег (2г гГесЬпа! р!асея), апгГ Ьу Ч;:=ггГ,(Ч,) йе пнгпЬег Ч; гонпПеяГ го гПпП!е ргес!я!оп, йеп ГЬе а!ПогПЬт, !пягеагГ оГ (7.2.42), пои гнпя ая ГоПоч~я, Чо '= Уо' Гог1= О, 1, 2, Ч;:= гГ (Ч;) с;:= ГГ(Ф(хо Ч;; Ь)), А '= Г!(Йсе), Ч;+~:=Г!г(Ч;+ гГ;).
(7.2.4.3) Чо = Уо' Гог1=0, 1,2, ...: Ч;. =Ч;+ ЬФ(хо Ч Ь)+я;+ . (7.2.4.4) Рог яипр1!сПу, гче а1яо аяяшпе ) я, „) < я Гог аП ! > О. %е аяянше ГнгГЬег ГЬаГ Ф яаПяЯея а ГлрясЫгг сонг!!Г!оп оГйе Гопп (72.2.4), !Ф(х, у,; Ь) — Ф(х, ут Ь)! < М!Уь уг!. Г.ег ия пои Ьг!еЯУ еягппаге йе гога! !пЯнепсе оГ аИ гонпгПпП еггогя я,. гог й|я,!ег у; = у(х,) Ье 1Ье ча1нея оГ йе ехасг яо!нгюп оГ йе нпба1-ча1не ргоЫет, Ч; = Ч(х;; Ь) !Ье сИясгеге яо!н!!опя ргогГнсед Ьу гЬе опе-ягер гпегьод (7.2.4.1) ш ехасг ангьгпепс, апгГ Япапу ч, гье арргохппаге ча!иея оГ Ч, асшаИУ оЬгаГпег1 !п иГ!а11 ЯоаИпП-ро!пг аг!ГЬгпег!с. ТЬе !апег яаг!яГу ге!аПопя оГ йе Гоггп 7.2 1гаиа1-Ча!ое Рзо!з!епзз ТЬеп, Гог йе еггог г(х,; Ь):=г;:=ГГ, — з1;, !Ьеге ГоПовз Ьу ягЫгасмоп оГ (7.2.4.1) Ггоиз (7.2.4.4) г...
= г; + Гз(Ф(х;, зГ;; Ь) — Ф(х;, зГ;; Ь)) + вза и апг( !Ьиз (7.2.4.5) )гзез! < (1+ !Гз)М)(г;! + е. 5Ппсе го — — О, Ьегппза (7.2.2.2) 81чев в ем~" "а — 1 (г(х; Гз)! < !ь~ Гог аП хо [а, 61 апг( Ь = Ь„= (х — х )Ги, и = 1, 2, .... 1! ГоПовз, йегеГоге, йа! Гог а гпе!Ьод оГ оп(ег р йе !о!а! еггог о(х;; Ь):= о;:= ГГ, — у; = (й, — га) + (з1; — у;) = г(х;; й) + е(х;; Ь), ипг(ег !Ье авзигпр!Гопз оГ ТЬеогегп (7.2.2.3), оЪеув йе емипа!е 1 езг~"- (7.2.4.6) !о(х; Ь)! < 51)Ь(а+ Гог аП х о [а, Ъ! апз5 !ог аП зиГПс(еп!1у зпзаП Ь:= Ь„= (х — хо)/и. ТЫз Гогпш!а гечеа1з йаг, оп ассоип! оГ йе гпйиепсе оГгоипйпд еггогз, йе !о!а1 еггог о(х; Ь) Ье81пв !о Гпсгеаве ааа(п, опсе Ь гв ге!(исе!Г Ьеуопг( а сег!а(п сг1!Гса! ча!ие.
ТЬе ГОПов(па !аЫе зЬовз й|з ЬеЬач(ог. Рог йе зп(Па1-ча1ие ргоЫеп! у' = — 200хуз, У( 1) = зоз в1!Ь ехас! во!имоп у(х) = !!(1 + 100хз)„ап арргохипа!е ча!ие зГ(0; Ь) Гог у(0) = 1 Ьаз Ьееп согпри!егГ Ьу йе Кипре-Ки!!а пзе!Ьог( зп 12-з51а!! аг1!Ьзпе!зс: Гз 1О з 0.5х10 з !О-з 05 х !О-з о(0; Гз) — 0276 х 10 — О.!78 х !О Ь ~ !О-' 0.5 х !О ; Гз) -0478 х !О е -071! х 1Π— 0.227 х 1О ТЬе арреагапсе оГ йе !епп в/)Ь! гп (7.2.4.6) Ьесогпев р1аияЫе П опе сопв)г(егв йа! !Ье пигпЬег оГ мерв !о ае! Ггогп хо !о х, из(па з!ер1епагЬ Ь, зз 1ив! (х — хо)/Ь апг( !Ьа! аП еввепмаПу !пз5ерепг(еп! гоипсПп8 еггогз веге 7 Огйпатг ентегепт!а! Е||«яюпг ааяппе|Г с|!па! |о я ЬГечег|Ье!ея, йе ея1шаге ь пшсЫоо соагве |о Ье ргас||саПу ярийсапг. 7.2.5 Ргасбса! 1гпр1е|пеп1а6оп оГ Опе-Яер Ме1Ьо|Ь !п ргасбсе, |ЫПа1-ча!ие ргоЫеша ргекепг |Ьешае!чеа пюя!у ш |Ье ГоПо|ч!па Гопп: чч'Ьаг Ь деяге|Г в йе ча!ие |чЬ|сЬ йе ехас| ао1иг)оп у(х) авяппе« !ог а сег|аш х ~ хч.
1| !а гешр|1пд |о сошке |Ыв во!и!юп арргохппа|е1у Ьу шеапз оГ а опе-яер ше|ЬогГ |и а япа!е агер, |.е., сЬоояпа агеряге Й= х — хр. Рог 1агае х — хе!Ь|а оГ соигае 1еа|Ь го а!агае |1!асгег!гагюп еггог е(х; Й); йе сЬо|се шаде Гог 6 |чои!д Ье епПге!у !па|Ге|!иаге. Ь!оппаПу, йегеГоге, опе |чП! !пггогГисе зиПаЫе 1п|еппесПа|е ро!п|а х|, ! = 1,..., Гт — 1, хс < х, «" х„= х,ап|Г,ЬеП!пп!пц|ч1|Ьхч,уе = у(хе)„сошригеаиссеяяче арргохппа|е ча! иеа оГу(х;): Нач1па дегегш1пег! ап арргохипаПоп у(х|) оГ у(х;), опе соп|ршеа у(х; „) Ьу арр!у!па а яер оГ йе ше|Ьод |н1|Ь агеряхе 6,:=х; — х, ! |~1 ! у(х|..) = у(х;) + Ь;Ф(х|, у(х;); Ь;), х|+, —— х; + Й,.
ТЬеге а«а!и аг1зеа, Ьо нечет, йе ргоЫеш оГ Ьо|н йе яерягеа 6, аге |о Ье сЬоаеп. 5!псе йе ап|оип| оГ |ног!с шчо!че|! ш йе ше|Ьод в ргорогПопа! |о йе пшпЬег оГ Гпйч!|!па! игера, опе «чП аиешр| |о сЬооье |Ье яерягеа Ь, аа 1агае аа роаяЫе. Оп йе ойег Ьапд, йеу шия по| Ье сЬоаеп |оо!аде !Гопе тнапга |о 1сеер йе г1!веге!!гагюп еггог япаП.1п рг!пс!р!е, опе Ьаа йе ГоПотчша ргоЫеш: Рог а!чеп хе, уе, десегш1пе а яеряге 6 ав 1агае ав роьяЫе, Ъш аисЫЬа| йе йасгеПкаПоп еггог е(хр + Ь; 6) аГ|ег опе яер |ч!|Ь |Ь!а яера!ге аПП гешаша Ье!о|н а сег|а|п |о!егапсе е. ТЫа |о!егапсе е аЬои!д по| Ье ве1есгегГ япаПег |Ьап К ерш, !.е., е > К ерычЬеге ерш !а йе ге!аПче шасЬ|пе ргесЬюп ап|Г К а Ьоипд Гог йе ао!и|!оп у(х) Гп йе геаюп иптГег сопя!|Гега6оп, К = шах( ~ у(х) ~: х и (хе хч + ф.
А сЬо!се оГЬсоггеьропг11па |о е = К ерш йеп аиагапгееыЬа| |Ье арргох|- |па|е ко!и|!оп |Г(х, + 6; Ь) оЫа|пе|1 апгееа |ч1|Ь йе ехас| ао!ибоп у(х0 + Ь) |о гпасЬгпе ргес|яоп. ЯисЬ а яера!ге Ь = Ь(е), |ч1|Ь ) е(хч + 6' Ь) ) = е, е > К ерш, сап Ье Гоип|1 арргохппа|е!у тч!|Ь йе ше|ЬогЬ оГ Бес|!оп 7.2.3: Рог а шегЬо|Г оГ ог|Гег р опе Ьав |и Пгаг арргохппаПоп (7.2.5.1) е(х; й) = е (х)Ь". Х2 1и!Иа1-Ча1ее РгоЫепы Ь!ою ер(хе) = О; 1Ьия !и Гггя1 арргохипаг!оп, ер(х) = (х — хе)ер(хч).
(72.5.2) ТЬегеГоге /е(хе+ Гг; Гг)) =ею!П ЬоЫ !Г (7.2.5.3) е = >ер(хо + Ь)Ь"! =. !!ге"е~(хо)! !Г юе !гиии е' (хе), чче саи согирнге Ггоги йгя йе арргорПа1е ча1ие оГ Ь. Ап арргохипаге ча)ие Гог е' (х ), Ьоччечег, сап Ье оЬга!пег! Ггоги (7.2.3.6). (3я!па ГггЯ1 йе ЯгеРЯге Н 1о согпРиге гГ(хч + Н; Н) апг! г!(хе + Н; Н/2), опе йеп Ьая Ъу (7.2.3.6) Н) г!(хе + Н, Н) — г1(хч + Н, Н/2) 2) 2Р— 1 Ву (7.2.5.1), (7.2.5.2), оп йе ойег Ьапг), е хо + Н' — = ер(хо + Н) =' е' (хе)Н Егогп (7.2.5.4) йия Го11ои я йе еягппаге 1 2Р / Н! е,(хо) = -Нрх-, .„ ~Ч(хо + Н; Н) !!хо + Н; — 2-) Ег!иаг!оп (7.2.5.3) йегеГоге у!еЫя Гог Ь йе Гоппи1а Н / 2р )гГ(хе+ Н' Н) — гГ(хо+ Н' Н!2)! (7.2.5.5) — =' р+ г( —— Ь >я( 2Р— 1 Я ччЫсЬ сап Ье ияег! !и йе Го!!оичпа ччау: СЬоояе а ягеряхе Н; согирпге >Г(хс + Н; Н), г!(хс + Н; Н!2), апг! Гг Ггоги (7.2.5.5).
1Г Н/Гг » 2, йеп Ьу (7.2.5.4) 1Ье еггог е(хе + Н; Н72) !я гписЬ )агаег йап 1Ье ргеясг(Ьег! я. 11 !я ехрег!!епг, йегеГоге, 1о гег!исе Н. Кер)асс Н Ьу 2Ь; ичй 1Ье печч Н согпри1е ааа(п гГ(хч + Н; Н), юГ(х + Н; Н72), апг) Ггоги (7.2.5.5) йе соггеяропг(!па Гг, ипг!! Йпа1!у ! Н/Гг / < 2. Опсе 1Ь!я !я йе саяе, опе ассергя г!(х, + Н; Н/2) ая ап арргохипагюп Гог у(хе + Н) апг! ргосеег!я го 1Ье пехг !п1еагаг!оп я1ер, гер!ас!пах, у, апг( и ьу йе пею ягагг!печа!сея х + и, ц(хе + и; н72), апг( 2Гг: 451 7.2 1и10а1-Ча1це РгоЫетв Р'ог Овей вгеряге Ь йе $$циае-Кцгга тегЬгх$ у1е$ггв: — = 0.2032 ". х 1 3 1476 0.1226 " х 1 А йвег$ сЬо$се оГ ягерв$ке йцв у1е!Ов чгогяе гевц11в дч11Ь йе вате, ог ечеи агеагег, еогирша6оиа! ейогг, 1и 1Ье йгвг саяе, 1Ье в!ерим Ь = 0.2032 " х 10 д 1з ргоЬаЫу гоо !агав !и 1Ье "спбса1" ге!Пои иеаг 0; йе сПвсге6ка6ои еггог Ьесогиев гоо $агае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
