Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 66
Текст из файла (страница 66)
ТЬе !и!1!а!-ча1ие ргоЫееп (7.1.6) Ф'(х) = а(х) + ЕФ(х), Ф(хр) = О Ьаз Гог х > хр ЕЬе во!и!!оп Ф(х) = е"« *") а(Е)е '" "" й. «о (7.1.7) Оп ассоипг оГ а(х) < ((лг — з, )!, опе ЕЬив оЫаепа йе еаЕ1гпаСе О < Ф(х) < еег" *ег!!Ег — зе /! ) е "" "" й «е = — !5г — ге (![е' — 1) Гог х > хр. 1 Е ТЬе е1еягееГ гери!Е йпа!1у Го!!очек 1ог х > х: ~(У(х; зг) — У(х; зеН = Ф'(х) = а(х) + ЕФ(х) е ее!« - «е! ГГ х < хр опе ргосеееЬ яии!аг1у, ТЬе ргесее!Гпа ЕЬеогегп сап Ье вЬагрепееГ: 13пеГег аеЫ111опа1 аазиепр11опз йе ро1ие1оп о! йе !и!1!а1-ча!ие ргоЫегп асеиа1!у еГерепе!а оп йе !п1е1а1 ча!ие 1и а сои!!пипия!у е11ГГегеп11аЫе гпаппег. 1рее Ьаче йе Го!!оиг1па: (Тег Г(х, у)(! < Е Еог (х, у) и 5, (7.1.8) ТЬеогеггь !Г Еп ай1!еЕоп Ео йе аяитреЕопг оГ ТЬеогет (7.1.4) Ме Засодеап пеаггех ГЕ„Г'(х, у) = 1дГ;/дуЕ! ехЬЕЕ оп 5 апгГ Ь соштиоиз апгГ Ьоипг(егГ йеге, 433 7.! Боте тьеогетз ггот г!ге уъеогу ог Оггг!лагу гг!!гегеле!а! ециаг!опт йел гЬе зо!иг!оп у(х; у) оу у' = Г(х, у)„у(хе; з) = у 1а сои!!паолу!у гГфегелг!аЫе Гог аИ х а [а, Ь] аигГ аП з л й".
Туге гГеггсаг!се с.(х!Б):=Э,у(х;з)= ~ .'. -, ..., '--)„з = [гг„..., о„)», [ду(х; у) ду(х; з)1 до, ' ' да„ и йе го!иг!оп о3'йе !и!!!а!-са!ие ргоЫет (РУ = 0„Х) Х' = Э„Г(х, у(х; у))У, У(хе; Б) = Г. Ноге йа! Л', У, апг! ГУ„Г(х, у(х; Б)) аге л х и гпагггсеБ. (7.1.9) йпв г!еасг1Ьея ап !а!!!а1-гга!пе ргоЫегп Гог а Буагепг оГ и' г1!!Гегепг1а! ее!па!юла. РоппаПу, (7.1.9) сап Ье оЬгагпегГ Ъу гГ!ГГегепггаг1п8 угггЬ гелерее! го у йе ггГепг!г!еБ у'(х; з) = Г(х, у(х; Б)), у(хе; з) = з. А ргооГ оГ ТЬеогегп (7.1.8) сап Ье ГоппгГ, е.8., !п СогГг11п8гоп апгГ Г.егг1пБоп (1955).
Рог пгапу рпгроаея Ь ь ппроггапГ Со езгппаСе йе 8гоаггЬ оГйе Бо1пгюп 2 оГ (7.1.9). Варроне, ГЬеп, гЬа! Т(х) 1Б ап л х и пуагпх, апг1 йе л х и пуа!пх г (х) Бо1пВоп оГ ГЬе!гпеаг 1п111а1-уа!пе ргоЫегп (7.1. 1О) 1" = Т(х)*г', У(а) = Г. Опе сап йеп БЬоаг: !г!*ь-г! -.(1 м )-. а х>а. Ркоог. Ву гГейпгггоп оГ У(х) опе Ьаз цх) = 1+ ~ Т(г) у(г) дг. е Ге!! 1п8 гр(х) '= !! у(х) — 1!!, Ьу чзггпе оГ !! г(х)[ < гр(х)+ 11! = гр(х)+ 1 гЬеге Го!1огпв 1ог х ) а йе езгппаге (7.1.12) р(х) < У !(г)(р(!)+1) И. О Ь!оаг!е! с(х) Ье гГейпегГ Ьу (г.игГ ! г! !!г! !+ ! г -.! !.* (! г! ! г ) -, .! ! = .
е ! а (7.1.11) ТЬеогепг. Ц Т(х) и сопгтиоиз оп [а, Ь1, апг( lг(х):= !' Т(х) ~~, йел йе Бо!иг!ои г'(х) оГ (7.1. 10) Баггфеу 436 7 Огйпагу В!ГГегечиа! Ецчя!опт ш Гас!, Ь га гГейпег( гесигяче1у Ьу [сГ. (7.2.1.3)) ву(хч; Ь):= ур, гр(х+ Ь; Ь):=г1(х; Ь) + Ь Г(х, ц(х; Ь)). Еи(ег'а гпегЬод Ь а гур(са1 опе-агер шегЬоИ. 1п аепега!, аисЬ гпейогЬ аге а1чеп Ьу а Гипс!(оп Ф(х, у; Ь; Г). Яаггищ чпТЬ йе 1п1г1а! ча1иеъ хр, уч оГ 1Ье 1п111а1-ча1ие ргойет (1) оГ (7.2.1.1), опе пои оЪГашв арргохппаГе ча!иев гГ; Гог йе гГиап1111еа У;:= У(х;) оГ йе ехасг ао!мюп у(х) Ьу гасам оГ гГо '=ус' Гог1=0, 1, 2, ...: р;„,:= ц, + ЬФ(х;, ц;; Ь; 7'), х;,:=х;+ Ь. (72.1.4) (7.2.1.5) г (г) = 1(г, г(г)), 7(х) = у, ечгЬ 1п111а1 ча!иеа х, у.
ТЬеп йе Гипсгюп 1 '(х + "" . У ГГ Ь 1 О, (7.2.1.6) Л(х, у; Ги Г):= Й ~Г(,у) ГГЬ=О гергеаепга гЬе йГГегепсе гГиог(епг оГ йе ехасг ао!игюп г(г) оГ (7.2.1.5) Гог а!ерше Ь, вЬ11е Ф(х, у; Ь) Га йе й(Гегепсе г!иог(епг Гог к!ерше Ь оГ йе арргохппасе во!игюп оГ (7.2.!.5) ргог(исегГ Ьу Ф. Аа Гп Ф, чче ьЬа1! а!во г!гор ГЬе агаитепг ф'Гп Л. ТЬе таап1гигГе оГ йе й(Гегепсе г(х, У„Ь):= Л(х, у; Ь) — Ф(х, у; Ь) Гпйсагеа Ьочч ее!! йе ехасг ао!игюп оГ ГЬе г(1ГГегепг(а1 ег(иаг(оп оЬеув йе егГиагюп оГ йе опе вгер тегЬой: Ь Га а теааиге оГ гЬе г!иа! Ггу оГ йе арргох- 1п гЬе тегЬог( оГ Еи!ег, Гог ехатр!е, опе Ьаа Ф(х, У; Ь; Г):= Г(х, у); Ьеге, Ф Га шдерепг(епг оГ Ь.
рог ягпр1(сЬу, йе агаитепг Гй йе Гипс!(оп Ф «11! Ггот почч оп Ье от(ггегГ. Аа Гп Еи!ег'а тегЬогГ (вес аЪоче) чче а!гю ччг(ге тоге ргес(ае!у п(т;; Ь) ГпагеагГ оГ «Г„(п оп(ег го 1пг(!саге йе с$ерепгГепсе оГ йе арргохппаге ча!иеь оп гЛе агеряге Ь иаед. Г.ес пои х апгГ у Ъе агЬ(!гагу, Ьиг йхег(, апд!ег г(г) Ъе ГЬе ехас! во!иг(оп оГ йе ш(г(а!-ча!ие ргоЬ!ет 437 72 Гп!6а1-Ча!ие РгоЫевт ила!гоп шейот1. Опе саПв т(х, у; 6) йе !оса! г(ГвсгегГгагГол еггог а! йе рош! (х, у) о( йе шегЬог) (п т(иевг)оп.
Е'ог а геавопаЫе опе-ввер шетЬод опе туП( гег(шге ГЬа! 1пп т(х, у; 6) = О. !п ав пшсЬ ав !пп„„и Ь(х„у; Ь) =Дх, у), ГЬ)в гв ег(шча!еп! го (73Е1.7) 1пп Ф(х, у; Ь) =Дх, у). Опе саПв Ф, апг( йе аввос(авет1 опе-в!ер теГЬог(, солт!в!ел! И'(7.2.1.7) Ьо!т(в Гог аП х и [а, Ь], у и й, апг) Г'и Е,(а, Ь) [все (7.1.3)]. Еххмгтв. Еи!ег'в пгегЬоо, Ф(х, у; Ь):=Г(х, у), Гв оЬг1оив!у сопямепг.
ТЬе гевиЬ сап Ье вЬагрепегЕ !ГГЬав виГЕс1епг!у пзапу сопПпиоив рагПа! гГегГчаг1чев, Ь 1в ровв!Ые Го вау тгГГЬ иЬаг опГег т(к, у; 6) поев го тего ав Ь вЂ” О. рог йсп екрапо ГЬе во1шгоп г(г) оГ (7.2.!.5) ипго а Тау!ог вепев аЬош ГЬе ро!иг с = х: Ьг ЬР г(х+ Ь) = г(х) + Ьг'(х) + т"(х) -!-. + т'л(х+ 06), О < 0 < !. 2 р! Юе пою Ьаче, Ьесаиье т(х) = у, т'(г) =у(г к(г)) г" (х) = У(Ь т(г)) =Г.(г, т(г)) + Гг(г т(г))т'(г) И = Г (х, у)+ Г;.(х, у)Г(х, у), т"'(к) = 7„„(х, У) + 2У,г(х, У)Г(х, У) + /,г(к, «)Г(к, У)' + Гг(х У)т"(х) егс., апо' йив Ь „Ьг Л(х, у; 6) = т'(х) + т"(х) + -~- го'(х ~- ВЬ) 2! р! (7.2.!.8) = Г(х, у) + [Г„(х, у) + Г„(х, у) Г(к, у)] .!- рог Еи!ег'в шейог1, Ф(х, у; 6):=Г(х, у), Ь Го!!отгв ГЬа! т(х, у; Ь) = ГГ(х, у; 6) — Ф(х, у; 6) 6 [Ях, у) + Г„(х, у)Г(х, УЦ -!- ".
= 0(Ь). ткепегаПу, опе вреа)гв оГ а глейог1 оу" огг(ег р П (7.2.1.9) т(х, у; Ь) = 0(Ьг) Гог аП х и [а, Ь], у и й, апг( Г и Е (а, Ь). Еп!ег'в ше!Ьог( йпв )в а те!Ьог) оГ огг(ег 1. 439 х2 !о!па!-Ча!не РгоЫепь ТЬгоиВЬ Тау1ог ехрапгйоп !и Ь опе йпс(в, Гог !'е Ео(а, Ь), Ф(х, у; Ь) — с) (х, у; Ь) = 0(Ьо). ТЬе 1(иице-Касса гиесЬос(, йеге(оге, Ь а гпесЬод оГ Гоигй огг(ег.
11 гесрпгев Гоиг еча!иа6опя оГ Г рег ясер. 1Г Г(х, у) с(оев пос с(ереис( оп у, йеп сЬе во!исюп оГ сЬе иисса1-ча1ие ргоЫеси у =Х(х). у(хо) = уо ь1ияс сЬе !псейга( у(х) = уо + )"„, !'(с) с(с. ТЬе спейс оГНеип сЬеп соггевропс(я со сЬе арргохипабоп оГ у(х) Ъу гиеапя оГ сгарего!с(а! яисия, сЬе гипс!!йес( Еи!ег спейс!о сЬе тЫроспс ги!е, апс) сЬе Випйе-Кипа спейс со йипряоп'в ги!е (яее Бесс!оп 3.1). гигсЬег гиес1юйв оГ ГЫя гуре, а1во оГ огйег 8геасег ГЬаи 4, аге 81чеп !и ВшсЬег (1964), геЫЬегй (1964, 1966, 1969), апс( Вйап(ся (1966); а йепега1 ехрогй6оп оГ опе-вгер гиесЬос!в !в Гоипй !и ГЬе гесеис Ъоо1с Ьу На)гег, Ьсогяесс, апс( 'ч!саппег (1987), ап6 !п Опйопе(Г (1972) апс( йсессег (1973).
7.2.2 Соичегдепсе оГ Опе-Б!ер МесЬгк)в 1п сЫя вес6оп «е е!яЬ со ехапипе йе сопчегйепсе ЬеЬачюг ав !с - О оГ ап арргохипасе во1исюп сс(х; Ь) Гиги!яйесГ Ьу а опе-ясер шесйос$. %е аввшпе сЬас ! е Е,(а, Ь) апс! с(епосе Ьу у(х) йе ехасс яо!и6ои оГ йе шсба1-ча!ие ргоЫет (1) у' =.Г(х, у), у(хо) = уо . 1.ес Ф(х, у; Ь) с(ейпе а опе-ясер спейс, с!о '=уо' Г ! = О, 1, 2, ...: %, 1 = % + ЬФ(х,, 9,; Ь), х;~,:= х; + й, чгЫсЬ Гог х а В„:= (х + сЬ ! ! = О, 1, 2, ...) ргодисея йе арргохипасе яо1исюп с!(х; Ь): сс(х; й):= с!с сТ х = хо + й.
1яСе аге !псегеясес( сп йе ЬеЬагйог оГ йе д!аЬа! с(!веге!!гас!оп еггог е(х; Й):= с!(х; Ь) — у(х) Гог йхес! х апс( Ь вЂ” О, Ь и Н„:= ((х — хо)Гп '!и = 1, 2, ...). й!псе е(х; Ь), й(се сс(х; Ь), гв оп! у с(ейпес( Гог Ь и Н„, гЬсв спеапя а ясис(у оГ йе сопчегйепсе оГ х — хо е(х; Ь„), Ь„:= — — —, ая н — оо. Л 44О 7 Оггапагу Ебйегепиа! ЕцнаИопь Юе зау йаг йе опе-згер гпе1Ьог! 1з сопиегдепг !Г (7.2.2.1) !пп е(х; Ь„) = О Н Ю Гог а1! х е 'Га, Ь] апг! а!! ~'е Е,(а, Ь). %е ю11 зее 1Ьаг гпейогЬ оГ оп1ег р > О [сГ. (7.2.1В)] аге сопчегаеп1, апг( ечеп йа1 е(х; Гг„) = 0(дг). ТЬе огг$ег оГ йе а1оЪа! гГ!зсге1ыаг!оп еггог гз 1Ьпз ес!па! 1о йе огг!ег оГйе !оса! Йзсге!1га1юп еггог.
1че Ьеа!и Ъу зЬомчпа 1Ье Го!!огч!пВ: (7.2.2.2) Еепппа. (Гйе питЬегз с; заг1зГУ езг!тагез оГ йе фогт !4„,! < (1 + д)!4,! + В, д > О, В > О, ! = О, 1, 2, йеп е"' — 1 !С.! < е"'!Сч! + — В. Рвов Ргогп 1Ье азяппргюпз чче пег ппгпегГ!а1е!у !4! ! < (1+ дило! + В, !д,! < (!+д)'!~,!+В(1+д)+ В, /д„! < (1 + д)"!д,! + В(1 + (1 + д) + (1 + д)' + " + (! + д)"- '] = (1 + д)"!4,! + В— (1+ д)" — 1 д е"' — 1 д < ет !Со! +  — "- япсе О < 1 + д < е' Гог д > — 1. ЪЙ1Ь 1Ь!з, ~че сап ргоче йе Го!!оччпа та1п йеогегп: (7.22З) ТЬеогепь СопзйГег, Гог хо е ~а, Ь], уо е й, йе!тг!а1-са!ие ргойет (1) у =Х(х.
у) у(хо) = уо ° Ьаотд йе ехасг зо!иг1оп у(х). Еег йе Гипс!!оп Ф Ье сопгтиоиз оп 6:=((х, у, Ь) !а < х < Ь, !у — у(х)! < у, О < !Ь! < Ьо), Ьо > О, у > О, атГ !ег йеге ех1зг роздве сопзгапгз М атГ дГ зис6 йаг (7.2.2.4) !Ф(х, у,; 6) — Ф(х, уз' Ь)! < М!Уг — ул! 7.2 гпйаача!не РгоЫевв Гог а!! (х, у;, Ь) и 6, ! = 1, 2, алй (7.2.2.5) ~!г(х, у(х); Ь) ~ = )Л(х, у(х); Ь) — Ф(х, у(х); Ь) ) < Ь! )Ь1», р > О, ~ог а!! х и [а, Ь~, ) Ь ! < Ье. ТЬел гЬеге ехЬь ал Е, О < Ь < Ьч, зисЬ гЬа! Го» гЬе д!оЬа! г!ГкстегГгаг!ол еггог е(х; Ь) = «(х; Ь) — у(х), е»г~»- а 1 (е(х; Ь„)! < )Ь„!"М аког а!! х и [а, Ь'! алг! а!! Ь„= (х — хе)/л, л = 1, 2, ..., в!гЬ !Ь„~ < Е (Г 7 = со, гЬел Ь = Ьп.
Раооу. ТЬе Гипсгюп Ф(х, у; Ь) 1Г (х, у, Ь) е 6, Ф(х, у; Ь):= Ф(х, у(х) + у; Ь) ГГ х и [а, Ь), '! Ь ! < Ье, у > у(х) + у, Ф(х, у(х) — у; Ь) ГГ х и [а, Ь), ! Ь ! < Ье у < у(х) — 7 в ечЫепг1у сопг1пиоив оп 6:= Их, у, Ь) !х и [а, Ь), у и й, ! Ь / < Ье) апгГ яаг1яйев 1!ге сопйг!оп (7.2.2.6) )Ф(х, у„Ь) — Ф(х, уг, Ь)~ < М~у, — уг~ Гог аП (х, у;, Ь) и 6, ! = 1, 2, апд, Ьесаиае Ф(х, у(х); Ь) = Ф(х, у(х); Ь), а!во гЬе сопйгюп (7.2.2.7) /Л(х, у(х); Ь) — Ф(х, у(х); Ь) / < М /Ь !' Гог х и [а, Ь|, (Ь / < Ье. Ге! 1Ье опе-аргер пгегЬод 8епегагегГ Ьу Ф ГигпыЬ ГЬе арргохипаге ча!иев ГЬ:=«(х;; Ь) Гог У;:= У(х;), х; = хе + ГЬ: «; = «; + ЬФ(х;, «6 Ь). !п ч1ею оГ у, = у; + ЬЛ(х;, у;; Ь), опе ойа1пя Гог ГЬе еггог е,:= «, — у,, Ьу яиЫгасг!оп, 1!ге гесиггепсе Гоппи1а (7.2.2.8) е,, = е; + Ь[Ф(х;, «;; Ь) — Ф(х,, у;; Ь)1 + Ь[Ф(х;, у;; Ь) — Л(х;, у,; Ь)). Ь!ов !гога (7.2.2.б), (7.2.2.7) 11 Го!!очи айаг )Ф(х;, «;; Ь) — Ф(х;, у,; Ь)( < М!«; — у;( = М)е;(, ) Л(хо у,; Ь) — Ф(х;, у,; Ь) ! < !ч' ! Ь !», апг1 Ьепсе Ггогп (7.2.2.8) чге Ьаче ГЬе гесигыче езгппаге ( е;, ! < (1 + ! Ь ! М) ! е; ) + Ь! ! Ь !» 7 Огеапагу ГУ1ГГегеп1!а1 Ецпааоы 1.епппа (7.2.2.2), вшсе ео = гЕо — уо = О, а!уев ц!л!м (7.2.2.9) ! ел ! < ЬЕ ! Ь !'— 'Мочг !е1 х а [а, Ь], х ~ хо, Ье ПхегЕ апг! Ь:= Ь„= (х — хо)Еи, и > 0 ап !пгеаег.
ТЬеп х„= хо+ иЬ = х, апд Ггош (7.2.2.9) лч1й Ег = и, япсе е(х; Ь„) = е„, П ГоПолчв аг оисе йаг е""" "е! — 1 )е(х; Ь„)! < ЬЕ!Ь„!"— (7.2.2.10) Гог аП х е [а, Ь] апг1 Ь„ гч1й !Ь„) < Ьо. %псе !х — хо! < )Ь вЂ” а) апг1 у > О,йегеех1згзаи Ь,О < Ь'< Ьо,висЬ1Ьа1 !е(х; Ь„)) < уГогаПх е [а, Ь], (Ь„) < Ь, !.е., Гог йе опе-в1ер шейог$ аепегагегГ Ьу Ф, гуо = Уо Чг,1 = %+ Ф(хг, Ю,; Ь), лче Ьаче Гог /6/ < Ь, ассогсПпд 1о йе гЕейп111ои оЕ Ф, гуг = гЕг, е; = е;, апгЕ гЕУ(хг, ЕЕг; Ь) = Ф(хо гУ;; Ь). ТЬе аввеггюп оГ йе 1Ьеогеш, емм "а — 1 !е(х; Ь„)! < !Ь„/аЬЕ— 1Ьив ЕоПогчв Гог аП х а [а„Ь] апгЕ аП Ь„= (х — хо)гги, и = 1, 2, ..., ъч1й (ь„) <е П Егош йе ргесесПпц йеогеш !1 ГоПоччз 1и раПгсп!аг 1Ьаг шейос1в оГ оп!ег р > 0 лчЬ1сЬ ш йе пе1аЬЬогЬоог1 оГ 1Ье ехасг во1иПоп ваПвГу а 1!р- всЬ11х сопоП1юи оГ 1Ье Гопп (7.2.2.4) аге сопчегаеп1 гп йе вепве (7.2.2.!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
