Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 69
Текст из файла (страница 69)
ТЬе пзн(!опер те!Ьод !в саПег( сопг(югепг П Гог еасЬ Гя Ез(а, Ь) йеге ех!х!я а Гппсбоп о(Ь) зч!!Ь 1пп„„с а(Ь) = 0 япсЬ йа! (7.2.7.5) ~!т(х, у; Ь)/ < о(Ь) !от аП хе (а, Ь|, ус й. Опе обреа(тх оГ а тегЬог( о~пег(ег р П Гог 7'я Р (а, Ь), а(Ь) = 0(Ье). Еххмет.
рог гие гп!г(ро!и! гп!е (7 2 69) опе Ьаз, !и ч(си оГг (г) =Г(г, г(г)) г(х) = у, 1 т(х, у; Ь) = (г(х л 26) — г(х) — 2Щх + Ь, г(х + А))) Ь (г(х -л 26) — г(х) — 2Ьг'(х + Ь)). 1 Ь Т!згопа!з Тау!ог ехрапяоп тп Ь опе бпг!к яаз т(х, у; Ь) = ~г(х) + 26г'(х) + 2Ьзг"(х) -л г"'(х) Ь~ 6 — м — зз(*л) з*з,) рт,))! Оззл 2 ~й ( .) + О(Ьз) ТЬе лис!бог! зк йпз сопзьгеп! апз! оГ зесопг! огаег. ТЬе огг(ет оГ йе те!ЬогЬ зп Бес!!оп 7.2.6 сап Ье дегегт!пег) тоге сопчешеп!1у Ьу теапя оГ гЬе еггог ее!ипата Гог !пгегро1абпд ро!упоппа!х (е.ц., (2.1.4.1)! апд Ь(езч!оп-Согея Гогпш1ав (3.1.1). гог 7(х, у):= 0 апг! г(х):гп у, а сопх!х!еп! те!Ьод а!чу 1 т(х„у; Ь) = - (у(! + а, з + ". + ао) — ЬЕ(х; у, у, ..., у; Ь; 0)1, ! т(х, у; Ь) ( < о(Ь), 1пп а(Ь) = О. л-о рог сопбппопя Цх! у, у, ..., у;; 0), ебпсе у !я агЬз!гагу, П ГоПозчя йа! (7.2.7.6) 1+а,,+ .+ао=О.
%е «чП ойеп, !п йе ГоПозч!па, апросе оп Е йе сопсППоп (7.2.7.7) е(х; и„, и, ,, ..., ио; Ь; 0) - =0 Гог аН х е (а, Ь') аП Ь, апд аП из. Рог Ппеаг пшПапер гпегЬог)х, (7.2.7.7) Ь сег!ат!у а1«гауз Гп!ППед. (7.2.7.7), !оае!Ьег «ч!Ь (7.2.7.6), апагап!сея йа! йе ехас! ьо1пбоп у(х) за уо оГ йе !грига( еП(Гегепба! ес(иа!!оп у' = О, у(хо) = уо, га а1яо ехас! хо!и!гоп оГ (7.2.7.2) !Г с, = 0 Гог аП !. 7.2 !гала!-ча!не РгоЫепв 8!псе гЬе арргохппаге зо1п6оп гГ(х; я; Гг) Гпгп!зЬегГ Ьу а пш1гппер гпейог1 (7.2.7.2) а!зо гГерепгГз оп йе еггогз з;, йе гГейп!Г!оп оГсопчег8епсе !з шоте согпрПсагег1 йап Гог опе-згер шегЬогГз. Опе саппог ехресг, оГ соигзе, йат ГЬе д!оЬа! гГГзсгеГГгаГГол еггог е(х; т; Й):= гГ(х; з; Й) — у(х) Гог Пхег1 х апгГ Гог Ь = Ь„= (х — хч)/л, л = 1, 2, ...
еПП сопчег8е ГочгаггГ О, ип!езз гЬе еггогз а(х; Ь) а1зо Ьесогпе агЬ!ггап1у згпаП аз Гг -+ О. Опе йегеГоге гГейпез: (72.7.8) Гуейп!г!оп. ТЬе пш1г!згер шегЬог! 8!чеп Ьу (7.2.7.2) !з саПед солгег- делг !Г !пп гГ(х; з; Ь„) = у(х), Ь„:= — ~, л = 1, 2, Н Ф л Гог аП х е (а, Ь~, а11 Г я Р, (а, Ь), алга аП Гппс6опз е(т; Ь) Гог гчЬ!сЬ йеге !з а р(Ь) зпсЬ йаг !з(г; Ь) ! < р(Ь) Гог аП т е К„, !пп р(Ь) = О.
(7.2.7.9) 7.2.8 Ап Ехагпр1е оГ Р!чег8епсе ТЬе гезп!гз оГ Яесг!оп 7.2.2, !и раг6сп!аг ТЬеогет (7.2.2.3), тау ящ8езг гЬас пш16згер тегЬогГз, гоо, сопчег8е Газгег тч!гЬ Гпсгеаяп8 оггГег р о! йе!оса! Пгзсгебга6оп еггог (зее (7.2.7.4)!. ТЬе ропп оГ йе 1оПоебп8 ехашр1е гз го зЬогч йас гЬ!з соп!есгпге гз Га!зе. Аг гЬе загсе гиле йе ехагпр1е Гпгп!зЬез а шегЬв$ Гог сопзггпсг!п8 пш11!згер шегЬогГз оГ шахппшп оп1ег. Бпррозе тче сопзггпсг а шо16згер гпейод оГ йе гуре (72.7.!) члй г = 2, Ьач!п8 ГЬе 1опп ц/ ~т + иг гГ/ ~ г + ЙцгГ! = Й(Ьг Г (хгч г гГг~ ~ ) + Ье Г(х! гГ!)). ТЬе сопзгапгз ач, а„Ьч, Ь, аге го Ье гГегегш!пег! зо аз го у!е16 а шегЬог! оГ тахппшп оп1ег. ГГ т'(г) =Г (г, т(с)), йеп Гог йе !оса! гПзсге6гагюп еггог т(х, у; Ь) оГ (7.2.7.3) тче Ьаче Ьт(х, у; Ь) = г(х + 2Ь) + а, т(х + Ь) + лег(х) — Гг(Ь, г'(х + Гг) + Ьс т'(х)].
462 7 (гга(вагу Ггасагапиа! Еепаггопз Нов ехрапг( йе п8Ьс-Ьапгс яг(се ш а Тау!ог яепея ш Ь, Ьг(х, у; Ь) = г(х)[1 + а, + ао) + Ьг'(х)[2 + а, — Ь, — Ьо) + Ь~г"(х)[2 + гга, — Ь,) + Ь~г'"(х)[аз + ва, — —,'Ь;) + 0(Ь~). ТЬе сое(Г(ссепгя ао, а,, Ьо, Ь, аге Со Ье (СегегшспегГ 1п яисЬ а вау ая Со апшЫ!асе ая шапу Ь-ровегя ая рояя(Ые, (Ьия рго(сиссп8 а ше(Ьогс вЬ(сЬ Ьая йе 1аг8еяс рояя(Ые оп1ег. ТЬгя 1еа((я Со йе е(сиа(сопя =О, — — =О, — =О, — гЬ! вг(Ь йе во!и6оп а, = 4, ао = — 5, Ь, = 4, Ьо = 2,апд Ьепсе сойе ше(Ьог5 гс!. г + 4!с!~ ! — 5гс! = Ь[4Г(хг„„!с!~ !) + 2Г(хг гс!)) оГ оп1ег 3 [гбпсе Ьг(х, у; Ь) = 0(Ьа), !.е., г(х, у; Ь) = 0(Ь~)).
1Г опе спея со ияе сЬгя ше(Ьогс со яо!че йе сш6а1-ча1ие ргоЫеш в1(Ь (Ье ехасс яо!и6оп у(х) = е ", сопгриса6оп гп 1О-(118!! апйпсе6с Гог Ь = 10 г, ечеп саЬ(п8ая ясаг6п8ча1иея йеехасс (в1(Ь(п шасЬше ргессясоп) ча1иея г!о:= 1, гс,:= е ", ргог(исея йе геяи1(я 8гчеп гп йе ГоИовсп8 саЫе.
"! ( 5) !*газ 216 74 —,164 х 10 в +.501 х 10-в —.300 х 10 +.144 х !О в —.101 х 10!в +,5!2 х 10!в —.257 х 10!в -~.129 х !Ово —.652 х 10'о 96 97 98 99 100 1 + а, + ао 2+ а, 2+ га, — + — а в ! 3 б ! —.753 -~.378 —.190 +.958 —.668 +.336 —. 169 -~.850 —.427 х!О в х 10 в 10- 7 х !О 10з ! х 10!в х !Озв х 10!в х 10во 463 7.2 гагаа1-Ча!ао РгоЫаиа !Го = 1 з7з=е ", !Гзч! + 4!11..
! — 5!11 = Ь( — 4гГ,.! ! — 2711) Гог 7' = О, 1, ог (7 2 8 1) 711,. ! + 4(1 + Ь)!17,. ! + (-5 + 2Ь)!17 = О Гог / = О, 1, ЯпсЬ гГЯегепсе едиипоия Ьаче ярес!а! яо!цПопя оГ йе Гони 777 = Л!. 17роп яоЪяшибп8 й|я ехргеяяюп 1и (7.2.8.1), опе Пи!!я Гог Л йе егГиаггоп (Лз+ 4(1+ 6)Л+ ( — 5+ 26)) = О вЫсЬ, аз!!Ге 1гогп йе гггчга! яо!оПоп Л = О, Ьая 1Ье яо1иПопя Л, = — 2 — 26+ 3 /1+ $6+ ф~, Л, = — 2 — 26 — 3,/1 + ~ф~ + аЬз. Рог ягпаП Ь опе Ьая /1 + зЬ + ф,з 1 + ! + зЬз 71,!,з + ! Ьа + >(Ьз). Ьепсе ! + з12 хЬз + Ц,4 + 0(Ьз) Лз = — 5 — 36 + 0(Ьз).
(7.2.8.2) Опе сап пов яЬо» йаг ечегу яо!и1юп гГ! оГ (7.2.8.1) сап Ье вггггеп ая а Ппеаг согпЬгпаПоп 711 = аЛз! + ГГЛзз оГ йе ьчо рагПси!аг яо!иПопя Л», Лзз)ияг Гоопг1 [яее (7.2.9.9)]. ТЬе сопягапгя а апд !3, Ги оиг саяе, аге дегегпипегГ Ьу йе 1ЫПа1 сои!1!Г!опя !Го — — 1, гГ! = е ", «ЫсЬ 1еагГ го 1Ье ГоПовги8 яуягегп оГ егГиаг1опя Гог а, ф: гГо=а+ф=1.
гГ! е аЛ! + ГГЛз = е ТЬе яо1п11оп !я цгчеп Ьу е — Л, 5 1 Лз 12 а = Лз Л! г гоп! (7.2.8.2) опе еаяПу чег1йея а = 1+ 0(Ь~), !8= — хзяЬ + 0(" ). Нозч г$оея опе ассоипг Гог йЬ вПО!у оясгПаГищ ЬеЬач1ог оГ 1Ье !17 7 1Г ве аяяшпегЬаггЬе ехасг ча1оея !Го:= 1, гГз:= е "аге ияед ая яГагПп8 ча1иея апг1 по гоопгПп8 еггогя аге сои!го!!ге!1 гГпг!п8 йе ехесогюп оГ йе гпегЬогГ (яг = О Гог аП /), ве оЫаш а яецпепсе оГ пшпЬегя !17 в!ГЬ 7 Огя|пагу ОИГегепаа! Елнаиппа гог Пхег! х ~ О, Гг = Ь„= х!л, л = О, 1, 2, ..., опе йеге1оге оЬга|пя Гог йе арргохппа|е яо!пг!оп |1„= |1(х; Гг„) г1(х' 1|а) = и2| + Фг 1+0 1 — — +0 — — !1;- О( )! ! — 5 — 3,'. О(( ) ТЬе Пгяг |епи геп|1я |о е ая л -+ со; йе яесоп|Г |епп Гог л — со ЬеЬачея !Йе ха ( — 5)" 216 ла (7.2.8.3) 7.2.9 Г.!пеаг Гу(ГГегепсе Ес!иа!1опя !и йе ГоПоплп8 яесПоп гче пеег! а Ге|и яппр!е гехи!|я оп Ппеаг |1!ГГегепсе ег!па|!опя.
Ву а Плеаг Ьотоделеоия йфегелсе едиаПол о(ог|Гег г опе |пеапя ап ег!пагюп оГ йе 1опп (7.2.9.1) и|„+ а„г и,„, + а,,иг,„а + ". + апи| — — О, / = О, 1, 2, рог ечегу яе| оГ я|аг||п8 ча1иея ин, и,, ..., и,, опе сап еч1|!епг!у г!егег|п!ие ехас|1у опе яег!пепсе оГ пп|пЬегя и|, 7' = О, 1, 2, ..., вЫсЬ яо!чея (7.2.9.1). !п арр1|са|юпя |о пгп11!ягер |пе|Ьо|1я а ро!иг оГ |п|егея| ь йе 8го|ч|Ь ЬеЬачюг оГ йе и„ав л — оо, |п г!еРеи|1епсе оГ йе Я|агбп8 ча!пев ин, и о..., и,, 1п рагПсп1аг, опе |чоп!д П!ге |о Згпоъч сои|!!|1опя 8пагапгее!п8 йа| (7.2.9.2) 1пп "= О Гог аП геа! Я|агбп8 ча1пев ин, и„...
и, и а о!псе йе Яо!п|юпв и„= и„(17п), ГУп:= [ип, и„..., и,,]г, оЬч1опв1У |ГеРепг! 1|пеаг!у оп йе ягагг!п8 чес|ог, «.(иГ7о + РГ'н) = ии.(17о) + Ри.(~о) 8!псе 1пп„5"/ле = сс, й|я |ег|п ояс|Па|ея п|оге аиг! п|оге чПо!еп|!у ая л -+ со.
ТЬ|я ехр!айя йе оясП!а|огу ЬеЬачюг апг! гПчег8епсе оГ|Ье пге|Ьод. Ая а еаяПу яееп, йе геаяоп Гог й|я ЬеЬагПог Иея |п |Ье Гас| йа| —. 5 |я а гоо| оГ йе цпа|!гаВс е|р|а|юп Гг'+ 41| — 5 = О.!| ыо Ье ехрес|ег! йа| аЬо |п йе Вепега! саяе (7.2.7.2) йе гегоя оГ йе ро1упоппа! |/г(гг) = 1г" + а, | гг" '+" + ан Р!аУ а Я18п1йсап| го1е Гог йе сопчег8епсе оГ йе |пейн. 465 22 1н|г|а|-Ча!не РгоЫенга йе гев!!!с!!оп |о геа1 в!а!!!па чес|огв Г/о е й" !в пппесеввагу, ап|1 (7.2.9.2) 1в ег!и!ча1еп! |о (72.9.3) 1пп —" = О Гог а!! (согпр1ех) в!аг!!па ча!пев ио, и„... и, и е %!!Ь йе г!!ГГегепсе е|р|аОоп (7.2.9.1) опе аввос!а!ев |Ье ро!упош1а1 (7.2.9.4) 'г'(1|)'=!г'+а.— |Гг" '+" +ао.
Опе поги ваув йа! (7.2.9.1) ва!!вйев йе (7.2.9.5) вгаЬ111гу сопгггг|оп |ТГог ечегу 2его ЛоГф(!г) опе Ьав !Л( < 1,апг! Гпг|Ьег |/г(Л) = Олпе !Л! = 1 !оае!Ьег лпр!у йа! Л 1в а вппр1е 2его оГ |/г. (7.2.9.6) ТЬеоге|п. ТЬе в|аЬ|!Му солг/|!гоп (7.2.9.5) !в песеввагу ал|/ викс!елг /ог (7.2.9.3). Ркоог. (1) Аввшпе (7.2.9.3), ап|1 1е! Л Ье а гего оГ |/г 1п (7.2.9.4). ТЬеп йе вег!иепсе и~:=Л|, / = О, 1, ..., ь а во1пОоп оГ (7.2.9.1).
Рог /Л/ > 1 йе веер|елее и„/п = Л"/л г1!чегаев, во йа! Гго|п (7.2.9.3) |! Го11огчв а! опсе йа! )Л ! ( 1. Ее! поги Л Ье а пш16р1е ге!о оГ |/г гч1!Ь ! Л ! = 1. ТЬеп чг'(Л) = гЛ' ' + (г — 1)а,, Л' | + ". + 1 а, = О. ТЬе вег!пепсе и;:=/Л',/ > О, !в йпв а во!пОоп оГ (7.2.9.1): иве, + а,, и,+, | + " ' + ао и| = /Л|(Л' + а,, Л' ' + " + ао) + Лг+ г(гЛ' ' + (г — 1)а,, Л' а + " + а,) %псе и„/л = Л" г!сев по! сопчегае |о ге!о ав л -+ оо, Л пшв! Ье а внпр!е ге!о. (2) Сопчегве1у, 1е! |Ье в!аЪ|1!!у соп|1!!!оп (7.2.9.5) Ье ва!!вГ|е|1, Фе Гггв! аве йе Гас! йа|, ил!Ь йе аЬЪгеч|аОопв О 1 О и; и... еС; А:= О О 1 и,~г — аг | — ао 466 7 Огйеагу ЗЗЫГегелзЗаЗ Еаеаззопз йе гППегепсе егрзаПоп (7.2.9.1) за егупззза1епз Зо йе гесиггепсе Гоппи!а ГУуз.
з = АГУ!. А !а а РгоЬепзпя зпазпх зи!1Ь зЬе сЬагасзепяззс ро!упоппа1 зГг(уз) !и (7.2.9.4) 1ТЬеогеш (6.3.4)Д. ТЬегеГоге, зГ йе агаЪП!Зу сопгПЗзоп (7.2.9.5) !в яабяйед, опе сап сЬоояе, Ьу ТЬеогегп (6.9.2), а пони !!. )! оп С' аисЬ йаз Гог йе соггеаропз1!па шазгзх попп 1иЬ(А) < 1. 11 зЬпа ГоПо«зя, Гог аП Гуе и С', йаз (72.9.7) ~~ГУ,~~ = ~!А ГУо~1 < ~1ГУо) Гог л= О, 1,. П!псе оп С' аП погшк аге егуп!ча!епз !ТЬеогеш (4.4.6)], йеге ех!хза а уз > 0 «Пй (1ууз)!! Су)! < )! Гу!! < Уз)/Гу)1 апд опе оЬза!пя Ггозп (7 297) зп рагПсп!аг !1!У„!~„(Усз!~ГУО!1„, и = О, 1, з.е., опе Ьаа 1зш„„„(1Ул)!! ГУ„)! „= О, апд Ьепсе (7.2.9.3). 1и йе ргооГ оГ зЬе ргесег!!па йеогезп «е ехр!оззез! йе Гас! йаз зЬе гагик Л, оГ з)г ГигшяЬ рагПсп1аг яо1иПопя оГ (7.2.9.1) оГ йе Гопп и,:=Л(, у = О, 1, .... ТЬе ГоПо«з!па йеогезп яЬо«а йаз опе сап зПип!аг!у гергеяепз аП яо1иПопя оГ (7.2.9.1) !и !сгпту оГ йе хазов оГ уг: (7.2.9М) ТЬеагепз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
