Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 72
Текст из файла (страница 72)
4' ТЬегеГоге, |Г(х; й) Ьаа ап ехрапяоп оГ |Ье Гопп (7.2.12.5) Ю х |Г(х; й) = у(х) + ,"| й'"[и„(х) + ( — 1)"'"и1(х)] Гог а1! й = —, и = 1, 2, .... |=1 л Весаиае оГ |Ье озс!!1а|!п8 |еггп ( — 1)*'", вЫсЬ череп|)а оп й, Ей|2 В лог ап ааупгр|о|!с ехрапяоп оГ |Ье Гопп (7.2.12.1). Кеа|ггс|!п8 |Ье сЬоке оГ й !и аисЬ а вау |Ьа| х/й В а!вауа ечеп, ог а!вауа о|Ы, опе оЬГагпз |гие аьу|пр|оВс ехрапы!опа (7.2.12.6) О х 21(х; й) = у(х)+ ,'1" й|1[и,(х)+ и1(х)] Гог а!1 й = —, л= 1,2, |=1 2л' Ю х гГ(х; й) = у(х)+ 2'й2"[иг(х) — юг(х)] Гог аП й = — - —, л= 1, 2, 1=1 2л — 1' 479 7.2 !ппаа!-Ча!ие РгоЫеп22 сотри!!п8 йе в!агг!п8 ча1ие 212 2ч!гь йе кип8е-ки!са тегьо!Г (7.2.1.14) !пвгеа!Г оГ Еи1ег'в тегЬгпГ, опе оЬгатв йе в!агг!п8 ча!иев !2 13 Ь4 212:=! — Ь+ — — + 2 6 24' рог с, апгГ с, опе йп!Гв т йе вате 2чау ав ЬеГоге Ь2 Ьз с,— с,(Ь) — .
— 1+ (1+Ь + + г 1+Ь'~ !2 !3 /1+!2 1 + 2 б с2 с2(Ь) 2 )1+ Ь2 8!псе с,(Ь) апгГ с2(Ь), апс! йив 21(х; Ь), аге по 1оп8ег ечеп Гипс!!опв оГЬ, йеге «л!1 Ье по ехрапяоп оГ йе !оггп (7.2.12.5) Гог гГ(х; Ь), Ьи! теге!у ап ехрапяоп о1 йе гуре Ю 21(х; Ь) = у(х)+ ,'Г Ь"(й,(х)+ ( — 1)"'"Ьг(х)) 1ог Ь = —, л = 1, 2, ....
2=2 и ТЬе Гопп оГ йе авутрсог!с ехрапяоп йив !ГерепгГв сг!г!са1!у оп йе в!аг!!п8 ча!иев иве!!. 1п 8епега!, 2че Ьаче йе Го!!омлп8 йеогепг гГие !о Сгга88 (1965) 1вее На2гег ап21 Г.«Ь|сЬ (1984) Гог а вЬог! ргооГ1: (7.2.12.7) ТЬеогет. Ге! Ге гзп42(ц Ь), атГ у(х) Ье йе ехас! во!иг!ол оГйе !и!!!а1-оа!ие ргоЫет (1) у' = Г(х, у), у(хо) = уо, хо е [а, Ь) гог х е И„= (хе + й ~ ! = О, 1, 2, ...) 1ег 21(х; Ь) Ье 2)есле!1 Ьу 21(хе, Ь):= уе, (72.!2.8) 21(хо + Ь' Ь) '=уо + ЬГ(хо, уо), !Г(х + Ь; Ь):= 21(к — Ь; Ь) + 2Щк, !Г(х; Ь)), ТЬеп 21(х; Ь) Ьав ап екрапяол оугЬе Гогт (7.2.12.9) 21(х; Ь) = у(х)+ ,'! Ь~"!и„(х)+ ( — 1)'" "'ч"о„(х)!+ Ьвп Е,п4,(х„Ь), оа!йГ )ог х е (а, Ь'1 агиГ а!! Ь = (х — хе)/и, л = 1, 2, ....
ТЬе Гйасг!олз ив(х), о„(х) аге !тГеретГелг о7 Ь. ТЬе гета! пгГег гегт Евп 2(х; Ь) Гогг2хе!Г х гепга!пз ЬоитГе!Г Гог а!! Ь = (х — хе)/л, л = 1, 2, .... 480 7 Ог«Г«па«у Г«гагегепгга! Ег«па«гппа Фе поге Ьеге ехрПс!11у ГЬас ТЬеогегп (7.2.12.7) ЬоЫв аЬо Гог вувгеп«в оГ сГ!ГГегепг!а! егр«абопв (7.0.3): Г; уп, «Г, у, и„, и„, его. аге йеп го Ье ипгГегвгоогГ ав тес!ига.
13пгГег йе аввшпрг!опв оГТЬеогеги (7.2.12.7) гЬе еггог е(х; Ь):= «Г(х; Г«)— у(х) !п Йгвг аррго»1«па!!оп !в ее!па! го па[ ( ) + ( !)О-го!«а ( )] 1п абе»' оГ йе Гепп ( — 1)'" "'"", «! вЬоп«в ап овс«ПаПп8 ЬеЬач!ог: е(х + Г«; Г«) = 7«'[и«(х) — ( — 1)'" "о««ае«(х)]. Опе ваув, Гог йгв геавоп, !Ьа! йе ги!«Гро!пг ги!е !в "п«еа!г!у ипвгаЬ!е".
ТЬе рппс«ра! овс!Пайп8 гепп ( — 1)'" "'""п,(х) сап Ье геп«оче«Г Ьу а гг!сГг. Бе! [Ога88 (19б5)] (7.2.12.10) Я(х; Ь):=~7[«Г(х; 6) + «Г(х — Гг; Ь) + Г!Г(х, «!(х; Гг))], и Ьеге «7(х; Г«) «в «ГейпесГ Ьу (7.2.12.9). Оп ассоипГ оГ (7.2.12.8), опе поп' Ьав «Г(х + Г«; 6) = «Г(х — Г«; Г«) + 2ЬГ'(х, «7(х; Гг)), ап«Г Ьепсе аЬо (7.2.12.11) 5(х; Ь) = а[«Г(х; Ь) + «Г(х + Ь; Г«) — ЬГ'(х, «Г(х; Гг))]. АгЫ!гюп оГ (7.2.12.10) апсГ (7.2.12.11) у!е!дв (7.2.12.12) 5(х; Гг) = ф[«Г(х; Ь) + а«Г(х — Г«; Ь) + а«Г(» + Ь; Гг)]. Ву (7.2.12.12), опе йпв оЬга!пв Гог 5 ап ехрапгбоп оГ йе Гопп Я(»; Гг) = [)у(») + «[у(» + Гг) + у(» — У«)] + ~ Г« '[иа(х) + а(и,(х + Гг) + и„(х — Г«)) + ( — 1)о "'««а(га(х) а(па(» + Гг) + и (к — Ь)))][ + О(бг««+ а) ЕхрапгПп8 у(х+ Г«) апгГ ГЬе соеГПс!епГ ГипсПопв и„(х + Гг), га(х !- Ь) «п Тау!ог вепев «п Ь, опе ПпаПу оЬга1пв Гог 8(х; Ь) ап ехрапвбоп оГ йе Гопп (7.2.
12. 13 ) й(х; Гг) = у(х) + Па[и,(х) + ау"(х)] + ~~" Ьга[и ( .) + ( 1)о-оо««ье ( .)] + О(Г«гпоа) ш п«Ь!сЬ йе !еасПп8 еггог сепп по !оп8ег сои!а!пв ап овс«ПаВп8 Гасгог. 481 22 тшиа1-Ча!ае РтоЫетаа 7.2.13 Ргасг(са! !гпр!егиеигат(оп оГ Ми!1(згер Ме1Ьот(в ТЬе ипргесйстаЫе ЬеЬамюг оГ яо!ийопв оГ сййегепйа! ет1иатюпв Гогсея йе пшпепса! 1птедгатюп то ргосеет! тм11Ь зтерв1хез юЫсЬ, ти депега1, пшят мату !тоти ротпт то ротпт 11 а ргеясг1Ьет$ еггог Ьоипт1 1в то Ье ша1пта1петГ.
Ми1- йятер шетЬодв ммЫсЬ ияе ет1«1т!1втапт пойся х; апт! а йхес1 огт1ег, йегеГоге, аге пот мету зштаЫе ш ргасйсе, Емегу сЬапде оГ йе втер!епдтЬ гет!шгея а гесотиритатюп оГ втагт1пд с!ага (сГ. Бес!!оп 7.2.6) ог ептат!з а сошр!1сатетГ 1итегро!а!!оп ргосевв, вЫсЬ яемеге!у гет!осев йе еГйстепсу оГ йезе титедгатюп шетЬотГв. 1п огт!ег то сопя!таст е(йс1епт ши111втер шетЬодз, тЬе ет!иа1 ярасшц оГйе подез х; шивт Ъе а1меп ир.
ам'е Ьпейу зЬетсЬ йе сопвтгистюп оГ висЬ шетЬотГв. Оиг ро1пт оГ т!ерапиге 1в ада!и Етртайоп (7.2.6.2), ммЫсЬ тмаз оЬта1пет! Ьу Гоппа! 1птедга!юп оГу' =Г(х, у): — Д,(х) йх, '«р-~ апт1 Гготп 1Ыв йе гесиггепсе Готпш!а 9 '«« тГ а„— ц«я= ',т Г[х, ..., х„,"! ~ ф(х) их, ги «« -3 «и11Ь ~;(х) = (х — хг) ... (х — х« ...), Я„(х) = 1 1п йе саяе Гт = 1,7' =О, д = О, 1, 2, ..., опе оЬса1пв ап "ехрйсЬ" Гопии!а (ргейстог) тГ„«., = т1, + 2„д; Ях,, ..., х„;], (7.2.1 3.1) тмЬеге .=о д; = ~ Д,(х) йх. «р Рог Гт = О, 7' = 1, 1 = О, 1, 2, ..., апт! гер!ас1ид р Ьу р + 1, 1Ьеге гехи!тя ап "ипр11с1т" Гоппи!а (сопестог) (7.2.13.2) юу„,, = т1 + ~д',Ях „, ..., х~;~Д, г=п , «р у(х,„) — у(х,) = ~ Дт„у(т)) ит.
««-я Ав ш (7.2.6.3) тме гер1асе йе 1птедгаптГ Ьу ап 1птегро!ат1пд ро1упоииа! Д, оГ т!едгее ц, Ьит ияе Ьеге Нею!оп'в тптегро!айоп !опии!а (2.1.3.4), юЫсЬ, Гог тЬе ригрозе оГ втер соптго1, ойегв вотие атГмаптацея. %11Ь йе 1птегро1ат1пд ро!упопиа! опе йгят оЬта1пя ап арргох1шатюп 1огиш!а 4З2 7 Огагпагч РИГегепиа! Еггпаиопа гч1гЬ «р ! д,*= ~ (х — х„,,)...(х — х„а !)дх, г>0, «р «! ! Уо=~ ТЬе арргох1ша11оп гГ «! = г!'~1 ! Ггош йе ргед1сгог Гогпш!а сап Ье изед, ая гп Бес!!оп 7.2.6, ая "аГаг11па ча!ие" Гог йе 1Гега6оп оп йе соггесгог Гогпш!а.
Ночгечег, гче саггу оиг оп!у опе Ьегагюп егер, апд депоге йе геаи11ищ арргохипагюп Ьу ф,' !. ггош йе д1ГГегепсе оГ йе га!о арргохгшаге ча!иея гче сап ааа1п дейче згагетепга аЬоиг йе еггог апд ягерь1ге. КиЬггас!!пав йе ргед1сгог Гоппи!а Ггогп гЬе соггес!ог Гоппи1а а1чез «р ! фдг ! — г!'„„', = ~ (Дге"(х) — Дге" г(х)) дх. Дгегг(х) Ь йе 1пгегро!агюп ро!упопиа! оГ йе соггесгог Гоппи!а (7.2.13.2), 1пчо!ч1па йе ро1пга (х „,,7~,~!), ..., (х,) ), (х ~„7~ 2,) пдй Гг.! ! =Дх~~г, гГг ) !), Д',о'(х) ь йе 1пГегро!аГюп ро1 упопиа! оГ йе ргед1сГог Гогпш!а, чч1ГЬ ро1п! а (хр „Гр,), ..., (х„,7;).
Оейп1па ©! !=Де"(хр„!), гЬеп Д',ш(х) 1а а!по дегегпипед ипщие!у Ьу йе ро1пга (хр е«г, Гр е«!), ..., (х„Гр), (хр„,ф!). ТЬе д1ГГегепсе Д',"(х) — Дго'(х) йегеГоге чап1вЬез аГ ГЬе подев х х„, апд аг х,, Ьав йе ча!ие 7'(!> Ро) ТЬеге1оге, (7.2. 13. 3) Хогч 1е! у(х) депо!е йе екаш по1шюп оГ йе д1ГГегеп!Га! ег!иа!юп у' = Г(х, у) гч11Ь 1п1!1а1 ча1ие у(х„) = г1„.
'чче ааашпе гЬа! йе "рая!" арргохипаге ча1иеь г1р, г! „..., г! аге "ехасЬ" апд иге та!ге йе адд1г1опа! аеашпрг1оп гЬа! Г(х, у(х)) га ехасг!у гергепеп!ед Ьу гЬе ро1упоппа! Д,",' г(х) (аг11Ь 1п1егро!а!!оп ро1пга (хр а,7 ), ..., (хр, Г ), (х «!.Г~~г~ гЦ. ТЬеп . р«! У(хр«г) = гГр + ~ !'(х, У(х)) дх «р «р«! = гГр + ) Д,",'г(х) дх. 483 22 1о<11«1-Ча)ое Р<оЫеп)а рог <Ье еггог Ее:= У(х«Р)) — )1«Р<, (1) опе оЬ<а!пз .«р ! «р ! Е = )! + ~ Д(е'„)1(х) <Гх — )1 — ~ Д~"(х)(Гх «р «р (а".,( ) - а"'( )И.
— ~ Е и( ) - а"'(.)) Г' «р «р 1п йе Йгз< <епп, Д(ео)(х) шау Ье гер!асс<! Ьу Д(ор) 1(х) )Г опе <а!<ез аз )п<егро!а<!оп рош<з (х, „Гр е), ..., (х„, 1',), (х„„,Я51). 1п апа1о8у <о (7.2.13.3) опе <Ьеп оЬ<а!пз Е = С,,(г(1), — Г(о) ) С (г(1) г(о) ) С )( «(1) Р<о) 1Г поет <Ье по(!ез ха „и х,..., х, аге е<!и!<Г!з<ап< ап(! Ь:= х;р) — х), опе Ьаз Гог <Ье еггог Е = у(х р)) — )1(') 1 — — 0(Г<е" 2) ТЬе Гиг<Ьег с1ече!оршеп< по)ч ГоПо<чз йе ргеч!оиз ра<<егп (сГ.
Бесйоп 7.2.5). Г.е< з Ье а ргезст!Ье(! еггог Ъоипд. ТЬе "о!д "' з<ер Ь„е !з ассер<есГ аз "зиссеззГи1" !Г (Е ~ = (С,р) — С,! . (,Г1,(р)1 — Г~~)1) =. (СГ)е)е~! < з. ТЬе пе)ч з<ер Й„,„Ь сопз!с!еге(! "зиссеззГи1" !Г )че сап ша!<е ~ С . Ье+ 2 ~ ( 3 Е!итипаПоп оГ С а8а!и у!е1(1з 1 1((<.1. 2) ')«« — ра ~ ° / Ее( ( ТЬ!з з<гасе8у сап зПП Ье сошЬ!пе<1 <ч<<Ь а сЬап8е оГ <1 (чапаЫе-оп(ег п)ейо<!). Опе соп)ри<ез йе йгее (!пап<!1)ез ап(! (Ге<епп)пез йе!г шахитипп.
11 йе Пгз1 (!пап<!<у !з !Ье шахЬпип), опе ге<!исез <1 Ьу 1. 1Г йе зесоп(1 !з гЬе шахипшп, опе Ьо!сЬ оп со <1. 1Г йе <Ь!г($ !з 484 7 Огеапагу В!аегепГпа ЕгГпаГгопа йе тахппшп, опе гпсгеазез ц Ьу 1. ТЬе Гтроггапг ро(пг го поге Гз йаг йе г!пап!11!ез Е, „Е,, Е„, сап Ье сотригед гесигз!Хе!у Ггопг!Ье гаЬ!е оГ д(чЫед д!ГГегепсез. Опе Ьаз Е,,=д, гГ'[х„~г,х,...,х ег], г< Иг Е, = д, Гггг[х~, „х„, ..., х,,], г<ггг Е...=д„,гг '[х„+г хя...,х„, г], гпЬеге Г'гг[х,, „х„, ..., х,] аге йе йхЫед д(ГГегепсез ге!аггее го йе !пгегРо1аг!оп Ро(пГз (х„, „Гггг г), (Х„Г;),..., (х„,, Г',), апд д» гз дейпед Ьу ,гг ! д»= ~ 0,(х)(х — х,,)' ' дх, Ь]> 1. 'я ТЬе с1иапддез д» за!(з(у йе геспгяоп до=(х,, — х,,;)д;, „+дг 7'=1,2,...,4+2 — г, г=2,3,...,д, гп(гЬ ТЬе тегЬод д!зсиззед гз "зе! Г-згагдп8"; опе Ье8!пз гп!ГЬ д = О, йеп га!вез ц ш йе пехг згер го д = 1, егс.
ТЬе "!и!г(а!!ха!(оп" (сГ. 8есг!оп 7.2.6) гегригед Гог тп!ггяер тегЬодз гп(гЬ егрлЫ(яапг подез апд Ггхед г1 Ьесогпез пппесеззагу. Рог а тоге дега!1ед в!иду пге геГег го йе ге!ечапг йегагиге, Гог ехапгр!е, Наггег, ЫгагзеГЬ апд %аппег (1987); 8Ьатргпе апд Оогдоп (1975); Сеаг (1971); апд Кго8Ь (1974). 7.2.14 Ехггаро!аг!оп МеГЬодз Гог йе Бо(иг!оп оГ йе 1и!1!а1-Ча!ие РгоЫет Аз д(зспззед ш Бес!!оп 3.4, азутрГог(с ехрапяопз зп88езГ йе арр1!саГ!оп оГ ехГгаро!аГюп теГЬодз. РагГ!си1аг!у еГГесГ(уе ехГгаро!агюп гпейог(з гезп!Г Ггот д!зсгег!Ха!!оп тегЬодз пгЬ!сЬ Ьахе азутргог!с ехрапяопз сопга!п(п8 оп!у реп рогпегз оГ Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
