Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 74
Текст из файла (страница 74)
!павпзисЬ аз йе Ргевепсе оГ ездепча!иев 2 зчИЬ Ке Лз «О «ИИ иос Гогсе йе еп|р1оузпеп! оГ япаИ ззерягез Ь > О, а и|ейск! «ИИ Ье зш!аЫе Гог йе зпзеагазюп оГвИ(ТеИ(ТегепИа! ес(иа!зопв зГ И зв аЬво!изе!у взаЫе |и зЬе ГоИозчЫИ вепзе: 491 7.2 |пп!а|-Ча!оо РгоЫетв Та)с)п8 А-в|аЬ~И|у |п|о ассоип|, опе сап йеп с$ече1ор опе-втер, ши11(втер, апс( ех|гаро!а|юп п|ейосЬ аз ш йе ртеч|оив Бес!(опв (7.2.1), (7.2.9), апс$ (7.2.14). АП !Ьезе п|ейосЬ аге ппрИсП ог веш(-ппр1(с!1, япсе оп!у |Ьезе шетЬос(з Ьаче а ргорег га|юпа1 втаЬ$$)ту Гипсбоп. АП ехрИсП п|ейосЬ сопв(с(егес( еаг1$ег 1еас) |о ро!упоппа$ в|аЬГИ|у Гипс!(опз, апс$ Ьепсе саппо! Ье А-втаЫе.
ТЬе ппр!кП сЬагас|ег оГ аП в|аЫе шетЬос(в Тот во!чш8 зПГГ с($Пегеп6а1 ес(иатюпв ипрИев |Ьас опе Ьаз |о во!че а 1шеаг вуяеш оГ ес(иат(опв ш еасЬ вгер а| 1еав! опсе (вепихппр)$с$! п|е|ЬосЬ), вотпе6шез ечеп гереа|есПу, геви16п8 |и Хе|и!оп-туре ||ега6че тпейосЬ. 1п 8епега1, йе тпаспх Е оГ |Ьезе Ипеаг ес(иат(опв соп|а|пв йеуасоЬ|ап ша|пх Гг = Г,.(х, у) апс$ ия|аПу Ьав йе Гопп Е = 1 — Йу(; 1ог воше пшпЬег у.
Ех|гаро!аппп шегЬт)в 1п оп$ег |о с(епче ап ех|гаро!а|юп п|ейси$ Гог зо1|4п8 а в6П' вуз|еп| оГ |Ье !опп* у' = Лу), сче поте йа! |Ье в6$Т раг! оГ йе во1и6оп у(т) сап Ье Гастогес( ой' пеаг т = х Ъу ри|6п8 с(т):= е "" "'у(т), тЬеге А:= Гг(У(х)). ТЬеп с'(х) = Г'(у(х)), Г(у):= Г(у) — Ау, апд Еи!ег'в ше!Ьос( (7.2.1.2), гезр., йе ш(с(ро(п! ги1е (7.2.6.9), !еаза |о |Ье арргохипа6опв с(х + Й) = у(х) + ЬГ(у(х)), с(х + Ь) с(х — Ь) + 261(у(х)). 13яп8 |Ьа! с(х + Ь) = е+""у(х + Ь) т (1+ АЬ)у(х + Й), сче оЫ|6п а вет|'- !трПсП т(с(ро(ит ги(е [сГ. (7.2.12.8Ц |Г(хо' 1|):= Уо»(:= .Гг(уо)* г((хо+ Ь'Ь):=(1 — ЬА) '[Уо+ ЬНУоЦ, |1(х + Ь; Ь):= (1 — ЙА) ' [(1 + ЬА)гГ(х — Ь; 1|) + 2ЬГ(г((х; Ь)Ц Гог |Ье сотпри|а|юп оГ ап арргохппа|е во!и|юп г((х; Ь) = у(х) оГ |Ье |и|- 6а! ча!ие ргоЫетп у' = Г(у), у(х ) = у .
ТЬ~в ги1е |чав изет( Ьу Вас(ег апс$ РеиПЬап$ (1983) ав а Ьаяз Гог ехггаро!абоп шетЬодз, апс( йеу арр!)ес( |т 96|Ь 8геа! яксевв |о ргоЫешв оГ сЬеписа1 геасбоп (с(пеПсв. Опе-втер шетЬе)в 1п апа!о8у |о йе Еип8е-Китса-ЕеЬ)Ьег8 ше|ЬосЬ [вес Ес)иас(оп (7.2.5.7) ГЦ, Каре апс$ Ееп|гор (1979) сопв|гис! Гог в|$(Т ашопошоив вуяешв У' = Г(у) шейо|Ь йа| аге |Пв6п8швЬед Ьу а вппр1е аттис|иге, ейк(епсу, апс( ч Ечегу сИ!Тегепиа1 ес|оат(оп сап Ье ге||осе|1 |о |ЬЬ аиголотоив Гопы: у' = Дх, у) Ь еищча!еп| |о [т)' = [Гс*с ").
493 7.2 !хааа!-Ча!ие РгоЫепы с, = -0.162 871 035, сг = 1.182 153 60, с = -0.192 825 995 х 10 Неге, у=ун 1=1,2,3,4, уо=О Гог !<Г, До — — 0 Гог 1 <7 81ер сопгго1 гв ассошр!!вЬег( ав ш (7.2.5.17): Ь„,„= 0.9Ь з( - .—— Г я)Ц У+г У+~ Мп!1(вгер шегЬеЬ 11 вчав вЬоюп Ьу Г)аЬ!цп!вГ (1963) 1Ьаг 1Ьеге аге по А-вГаЫе шп!Г!вгер шей- ог(в оГ огдег г > 2 апг( йаГ йе !шр1!с)1 Ггарелое8а! гп!е Ь ц„~, = и„+ — (Дх„, ц„) + Г(х„..„п„+,)), л ) О, еЬеге д, !в 8)чеп Ьу гЬе ппр!!с(г Еи1ег шегЬой (7.2.16.5), !в гЬе А-вгаЪ|е шегЬод оГ огг(ег 2 югЬ ап еггог соеГГ(с(епг с = — —,', оГ вша!!евг шос(и!пв.
Оеаг (1971) а)во вьоюег$ йаг йе ВГ7Г-тегьойв пр го оп(ег т = 6 ьаче 8оог$ в1аЬ!йу ргорегГ!ев: ТЬе!г вГаЬ!1!гу ге8)опв (7.2.16.9) сопгагп впЬвегв оГ С = (г~ Ке г < О) Ьач!п8 йе вЬаре в(гегсЬег! !и Е!8пге 13. пе(*! Гаге 13 494 7 О!в|Рагу Гз|Г|егеапа! Ецаа|еоаз ТЬеве иш165|ер |иейодв аП Ье!оп8 |о йе сЬо|се 1вее (7.2.11.3Ц Х(и) = Ь,и' ап6 сап Ье гергезепге|$ Ьу Ьас(гэаагд гППегепсе !опии!аз, 30ЫРЬ ехр!а|из йе|г па|ие. СоеГП|с)епгв оГ йе вгап6агг( гергевеп!а|юп 71177 + Рг-171347 — ! + + Рог)1 ЬЬ6Г(х|4л 7$3147) аге !паем |п |Ье ГОПо|37508 |аЫе га(геп Ггоп| аеас (1971) апд Ьа|пЬег| (1973). Гп й|з |аЫе, а = а, ап|$ с = с, аге йе рагап|е|егз !псПса|е|$ |п Е!8иге 13 йа| соггевроп|$|о йе раг6сп!аг В)7с-п|е|Ьос$. Вугпе ап|$ Нгиб|иагзЬ (1987) герог! вегу ГачогаЫе пи|иепса! гея|1|з Гог 1Ьезе пэейог(з.
Моге г(егаэ!в оп зППсППегеп6а! ег(иа6опв сап Ье Гоип|$ ш, е.8., Оп8опеГГ (1972, 1977); Епп8Ы, НОП, апд Ь!пг(Ьег8 (1975); апд ЪЧ!1008ЬЬу (1974). рог а гесеп| сотпргеЬепв(!ге 1геа|гпеп1, зее На|гег апг( Мгаппег (1991). 15 11 36 25 137 !25 147 .2 11 3. 15 1.7.. эээ Ы. 147 55 15 заа 137 воя 147 2!3 27 147 аз о 147 7.2.17 1|ирйсП Р(ГГегеп6а1 Ег)иабопв. О!ГГегеиба!-А1цеЪга(с Ег)иа6оиз Бо Гаг |ае Ьаэге оп1у сопвЫегед ехр!ЫП оггПпагу г$5Пегеп6а( ег)иа6опз у' = Г(х, у) (7.0.1). рог и|апу пю|$егп аррПса6опз !Ыз |в |оо гез|пс!и е, ап|$ |! ы пирог1ап1, !ог геавопз оГ еГГ|с(епсу, |о деа1 3011Ь !игр!!с!г вувгеа|в с(х,у,у) =0 гПгесИу 33711Ьоиг 1гапв$огиип8 1Ьеп| |о ехрПсП Гопи, игЫсЬ гиау по1 еэгеп Ье розяЫе. Ьаг8е-зса(е еха|ир!ез оГ й|в суре аЬоип|$ !и |папу аррПса|юпв, е.8., |п йе 6ез!8п оГ еГГ|с!еп1 писгосЬ~рз Гог пнк$егп со|иригегз. ТЬоивапбз оГ |гапяз1огз аге |$епве!у рас$|е|$ оп йеве сЫрв, зо йа| |Ье|г есопоииса1 г(ез38п |3 по1 розяЫе эв)1Ьои! ияп8 еГПс|еп| пшиепса! 1есЬпгг(иев.
ЯисЬ а сЫр сап Ье |иог(е(ег$ ав а 1аг8е соп|рПса|е6 е!ее|пса! пегзоог(г. К!гсЬЬОП'в !аогз Гог йе е!ес!пса! ро1еп6а1в ап|$ сиггеп!в ш |Ье пог(ев оГ й|в пеггаог(г 1еа|$1о а Ь08е вув|еп| оГ оггПпагу гП(Тегеп6а! ес!иа6опз Гог |Ьезе ро!еп6а15 ап|$ сиггеп|в ав Гипс6опв оГ |ипе |. Ву воЬПп8 й|з вуз!е|п пшиепсаПу, йе ЬеЬагбог оГ йеве сЫрв, апг( йе|г е1ес1пса! ргорег6ев, сап Ье сЬес(гег$ Ье1оге йе!г ас1иа! рго- 90' 0 90' 0 88' О. ! 73' 0.7 5!' 24 !8' 6.! 2 з а. 11 12 15 60 137 60 147 '|о Рэ Рэ Рз Р4 Рз 4 з .в. 1! 25 15 75 117 22 !47 495 7.2 !па|а|-Ча!||е РгоЫе|г|з дис|юп, 1Ьа| 1в, зисЬ а сЫр сап Ъе яти!а|ед Ьу а сотри|ег [все, е.8., Вап)|, ВиИгвсЬ, апд Мег|еп (1990); НогпеЬег (1985Ц.
ТЬе геви!Ип8 гИ!ГегепИа1 ециа1!опв аге ппрИс!г, апд |Ье ГоИо|ч!п8 |урез, дерепгИп8 оп йе сотр!ехИу оГ |Ье тоде! Гог а в(п8)е |гапяв|ог, сап Ье д!вг)привЬед: Е|пеаг ипрИЫ| вув|етв С()(г) = В(7(г) + Яг), (7.2.17.1) (7.2.17.2) (7.2.17.3) (7.2.17.4) Ь~пеаг-!трИс(1 попИпеаг вувгетв Сц(г) = Лг, и(г)), ()иавИшеаг-!тр1к!г вув|етв С(и) Г)(г) = Г'(г, и(г)), Сгепега( ипрИс!| вуз|еп|в )г(г, (7(г), Д(г)) = 0 Д(г) = С((7) сг(г). (7.2.1 7.5) у' = Г(х, у(х)), у(х||) = ув |геа|ед зо Гаг. Сопсегтп8 вув|етв оГ гуре (7.2.17.1), Ау'(х) = Ву(х) + Г(х), у(хо) = уо (7.2.17.6) |чЬеге у(х) о К" апд А, В аге л х и та|Пеев, йе 1оПоадп8 савев сап Ье гПвИпрпвЬед: 1в| Саве. А ге8и!аг, В агЪ||гагу. ТЬе Гоппа! во!одоп оГ йе аввос)а|ед Ьото8епеоив зув|ет (в 8!чеп Ъу у(х) = во "ям 'ву Ечеп |Ьои8Ь йе вув|ет сап Ье гедисед |о ехр!кИ Гоггп у' = А 'ВУ + А 'Г, й)в!в по| ГеаяЪ(е Гог 1аг8е врагве А ш ргасдсе, вшсе йеп |Ье шчегве А ' пвиаИу )в а!аг8е ГпП и|а|Их апд А 'В |чои1д Ье Ьагд |о сотри|е апд в|оге.
ТЬе чес|ог (7, |чЬ|сЬ тау Ьаче а чегу 1аг8е пшпЬег оГ сотропепгв, дезспЬев йе е(ее|Пса! ро|епИа1в оГ йе подев оГ йе пе1|чог(с. ТЬе |па|Пх С сои|а|ив йе сарасгдев оГ йе пег|чог(г, |чЫсЬ |пау дерепд оп |Ье чоИа8ев, С = С((7). (7виаИу, й|в та|Пх !в яп8и!аг апд чегу врагзе. ТЬеге аге а!геаду а18оП|Ьп|в Гог во1|дп8 вувгетв оГ гуре (7.2.17.2) (сГ. 13епИЬагд, На|гег, апд Уи8с)г (1987); Ре|ко)д (1982); Кеп|гор (1985); Кеп|гор, КосЬе, апд Бге!пеЬасЬ (1989)3.
Впг йе еИ!с(епг апд геИаЫе во1тюп оГ вув|етв оГ йе |урез (7.2.17.3) апд (7.2.17.4) !в вдП |Ье виЬ)ес| оГ гевеагсЬ (вес, е.8., На|гег, 1лЬ!сЬ, апд КосЬе (1989); Ре|во1д (1982)!. %Ге почв девспЪе воте Ъаяс д)ГГегепсев Ье||чееп !тИа! ча!ие ргоЫетв Гог ппр! кИ апд ехрИсИ вув|етв (чге а8а!п депо|е |Ье )пдерепдеп| чапаЫе Ъу х) 496 7 Огя|аагу О||ГегеаГ|а! Ег|аа||оаа 2пг( Саве. А ягщи)аг, В гехи!аг.
ТЬеп (7.2.17.6) !в ег(и!ча(епг |о В 'Ау'(х) = у(х)+ В гГ(х). ТЬе уогг(ап поппа1 Гопп у оГ |Ье в!паи!аг ша|пх В 'А = ТЗТ ' Ьав |Ье з|гисйге игЬеге И' соп|а!пв а11 Хогг(ап Ыос1|в Ье1опа(па |о йе попхего е!аепча!иев оГ В 'А, апг) Ьг йе Хогг(ап Ыос(гв соггевропйпд |о йе е!аепча!ие лего. 'чЧе зау |Ьа| И Ьав Гпг(ех Гг !Г Х !в пйро|еп| оГ огг(ег Гг, Ье., Ха = О, № ~ О !ог у < Гг. ТЬе |гапв(оппа|юп |о Хог|$ап поппа! !опп г(есоир!ев йе вув|еп|: Гп |еппв оГ := Т 'у,:= Т 'В 'Дх) иге оЫаш |Ье ес(шча1еп| вув|еш Иги'(х) = и(х) + р(х), Ме'(х) = с(х) + ц(х).
ТЬе рагг!а! вув|еп| Гог и' Ьав йе ваше ягис|иге ав ш Саве 1, во || Ьав а ипщие во1и|юп !ог апу !и!1!а( ча!ие уе. ТЬ|в Гв по| |гие Гог йе весопг) вув|еш Гог с'. г(гвЬ й|в вув|е|п сап оп1у Ъе во(чег! ипг(ег аг(й1!опа! зпгоогЬиезя азвиигрггои Гог Г, уеС 'гхе,х,„а|, игЬеге Гг |в йе шг(ех оГ М. ТЬеп с(х) = — д(х) + Ие'(х) = — (г1(х) + Ьгц'(х)) + Х~г)" (х) = †(ц(х) + Мг('(х) + " + Х" гг(га "(х)).
%псе Ма = О, |Ь|в гево!иОоп сЬа|п Гог ч ВпаПу |епшпа|ев, ргочгпд йа| ч(х) |в епОге1у г(егепп!пег( Ьу ц(х) апг! ||в |ГепчаОчев. ТЬегеГоге, йе ГоБоиг!па рппс|ра1 д(ГГегепсев |о (7.2.17.5) сап Ье по|ей (1) ТЬе Гпг(ех о! йе хогг(ап поппа( Гопп оГВ 'А г(егепп!пев йе япоо|Ь- певв гег)и!гешепгя Гог Дх). (2) Мог а11 соп|ропеп|в оГ йе |шОа1 ча1ие уе сап Ъе сЬовеп агЬ||гап1у: с(ха) !в а(геаг!у г!е|епп!пе|1 Ъу г1(х), ап|1 йегеГоге Ьу Г(х), апг( Ив г(ег!чаг!чев а| х = хе.
с ог йе во!чаЪйгу оГ йе вув|еп|, йе !шОа( ча1иез уе — — у(ха) Ьаче |о ваг!в(у а соазгягепсу сопсВ|юп, апг) опе вреа(гз о(сопя(згепг гаггга( га!иез ш 497 22 1в61а1-Чв$ае РгоЫепв 1Ыя сопгехг. Ноаечег, 1Ье согприга6оп оГ сопя(вгепг ш(6а! ча(иея гпау Ье й(Иси11 ш ргасбсе. у'(х) = Т(х, у(х), г(х)), О = д(х, у(х), г(х)) а Й"' у(ха) а Й"', г(хч) а Й"'. сопгдвгепг (пса! ча1иев.
(7.2.17.7) БисЬ а десотровед яув1ет (я саИед а д(дегепг(а1-а!дсдга(с зуягет [яее, е.8., Сгперепгго8 апд Магг (1986), На!гег апд Т(гаппег (1991Ц. Ву 1Ье ипрИс(1 Типсбоп 1Ьеогет, И Ьая а ип(г)ие 1оса1 яо1и6оп $1 йе ЮасоЫап с дд\ — (я геди(аг (Тпдех-1 аяяитрг(оп). дг) РИТегепба1-а18еЪга)с зуягетв 1ур(саИу оссиг !и пюде!в оТ 1Ье дупагп(св оТ ти16Ъоду вуягетв; Ьочгечег, йе 1пдех-1 авяитрбоп тау по1 аЬчаув Ье ва6вйед [вес Сеаг (1988Ц. )ч(итепса! тегЬидя ТЬе йИегепба1-а!8еЪга!с вувгет (7.2.17.7) сап Ье иеччед аз а д(Т(егепда! ег)иадоп оп а тапИо)д.
ТЬеге(оге, висЬ вуягегпя сап Ье васоева(ЬИу зо!чед Ъу гпе1Ьодя сотЫп)п8 во1чегз Тог й1Тегеп6а! ециа6опв (яее Бесбоп 7.2), Тог попйпеаг ег(иабопя (яее Бесгюп 5.4), апд сопбпиа6оп тейодя. Ехггаро!а6оп апд Иип8е-Кигга гуре тегЬодв сап Ье депчед Ьу ип- Згд Саве. А апд В гдП8и)а. Неге И !я песеяяагу 1о гезгпс1 йе )пчея68а1юп 1о "теашп8(и!" вув1етя. !Ипсе 1Ьеге аге пга1псев (йе хего гпагпх А:= В:= О ргоидев а гпиа! ехап1- р!е) Тог чгЬ(сЬ (7.2.17.6) Ьая по ипиТие во1и6оп, опе сопя!дега оп!у рыгз о( гпа1псея (А, В) 1Ьаг 1еад 1о ип)г(ие!у во!чаЫе вувгетя. 11 (в рояя!Ые 1о сЬагас1епге зисЬ ра(гя Ьу теапв оТ йе сопсер1 о( а геди!аг тавпх репе(Ь ТЬеяе аге ра!гв (А, В) оГгпагпсез висЬ йаг 2А + В Ы ге8и1аг Тог вопге 2 о С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
