Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Ву ТЬеогегп (7.2.10.3), йе ягаЬ11!гу сопг)!г!оп Гог !Гг го8егЬег в!ГЬ сопя!ягепсу, (7.2.7.4), Ь а!яо япГОс!еп! Гог сопчег8епсе. То сЬес1! сопя!ягепсу, Ьу РейпЬ!оп (7.2.7.4) опе Ьая го ехапппе йе ЬеЬач!ог оГ йе ехргеяя4оп (7.2.11.2) е — 1 Г.[я(х); Ь] г=а(х+ гЬ) +,г а!я(х+ й) — Ь 2 Ь, Г(х+ !Ь, г(х+ ГЬ)) 1=0 =о ° — ! е еа г(х+ гЬ)+ ~а!г(х+ й) — Ь ~Ь,г'(х+!Ь) ,=о ;=о = — Ь г(х,у; Ь) Гог йе яо!пйоп г(г) в!гЬ г'(г) = Я, г(г)), г(х) = у, х а [а, Ь], у о й.
Аяяшпгп8 йа! г(г) Гя япГГгс!епг!у ойеп г!!ГГегепг!аЫе (йЬ юя йе саяе гТ Г Ьая яп(Вс!епг!у пьаоу сопйпиопя рагВа! «Гег!чаг!чея), опе йпг!я Ьу Тау!ог ехрапя4оп оГ Г.[г(х); Ь] ш ровегя оГ Ь, Г [я(х); Ь] = Сог(х) + С,Ьг'(х) +" + С,Ьег'е'(х)(1 + 0(Ь)) = Ьг(х, у; Ь). Неге, гЬе С, аге !пдерепгГепг оГ г(х) апд Ь, апе) опе Ьая ш рагВсп!аг Со = ао + аг + "'+ а„г + 1, С, = а, + 2ая + ". + (г — 1)а,, + г .
1 — (Ьо + Ь, + " + Ь,). 473 7.2 1о!па!-Ча$ое РгоЫеага 1п гегпв оГ гЬе ро!упоппа! г)г($г) апг$ йе агЫЬюпа! ро!упоппа! (72113) ДГг)'=Ьо+ Ьг$г + "'+ Ь.Гг' Гг е С опе сап вг(ге Со апс$ С, ги йе Гопп Со = гг(1) С, = Ф'(1) - г(1). ЬГочг г(х, у; Ь) = Г.[г(х); Ь) = — г(х) + С, г'(х) + 0(Ь), 1, Со 6 ' Ь апг$, ассогг$!па го ГЭеГгш6оп (7.2.7.4), а сопяапепг пш!!опер тегЬог$ гег$п(ген с =с,=о, Ье., а соло(ьгепг 1теаг пш!!опер гиегЬог$ Ьаа аг 1еаог огг$ег 1. 1п аепега!, и Ьаз огг(ег р [атее $3ейп$$$оп (7.2.7.4)), ГогГе Е„(а, Ь), $1 Со Сг Ср 0 Срг г + 0 1п агЫггюп го ТЬеогешв (7.2.10.1) апг$ (7.2.10.3), чге поъч Ьаче Гог !гпеаг иш1йпер тегЬог$з гЬе Го!!оал(па: (7.2.11.4) ТЬеогепъ А $1леог лги1ггггер лгегЬог( гчЬгсЬ гх солсегделг гх а!хо соляагелг.
Ркооп Сопзйег гЬе $п$$$а1-ча!це ргоЫеги у =О, у(О)=1 гч$$Ь гЬе ехасг во!пг(оп у(х) еа 1. Рог згагг(па ча!иео г$;:=1, ! = О, 1, г — 1, гЬе тегЬог$ ргог(псео ча!иея гЬ, „, 7' = О, 1, ..., мчгЬ (7.2.1 1.5) ггг„р а,, гГ,.г, г + " + аог$$ = О. Г.егг(пп Ь„:= х/л, опе аегв г$(х; Ь„) = гГ„, апг$ гп ч(ечч оГ гЬе сопчегпепсе оГ гЬе тегЬог$, 1пп г$(х; Ь„) = !пп гГ„= у(х) = 1. Рог / -г оо Й $Ьпа Го!!ого аг опсе $гогп (7.2.11.5) йаг Со = 1 + а.— г + " + ао = О.
!и оп$ег го ьЬочч С, = О, гче п$$!$ге $Ье Гас! $Ьаг йе гиейог! пшь$ сопчегае а!во Гог $Ье Гп($(а!-ча!пе ргоЫегп » =1, у(О)=О 474 7 ОпГ1пагу О1ГГегепиа! Еопапопз чг)ГЬ гЬе ехасг яо!пПоп у(х) еп х. %е а!геаг!у диого йаг Со = ф(1) = О. Ву ТЬеогет (7.2.10.1) ГЬе пгаЬ1Пгу сопсПггоп (7.2.9.5) Ьо1г)ь, Ьепсе 2 = 1 В оп!у а гбтр!е гего оГ 1/г, Г.е., ф'(1) ф 0; йе сопоГапг К(1) ' Ф (1) 1п гЬпп веП г!ейпег!. Ю!ГЬ гЬе пгагг1па ча!пез гГг:=/ЬК, / = О, 1, ..., г — 1, ве Ьаче Гог йе !п!Па!-ча!пе ргоЬ)ет у' = 1, у(0) = О, т ч)ечч оГ у(х;) = х, = /Ь, гч!ГЬ о,:=/Ь(К вЂ” 1), /= О, 1, ..., г — 1, гЬ = У(х!) + гг гчЬегеЬу !пп о, = 0 Гог / = О, 1, ..., г — 1.
е-о ТЬе тегЬогГ, в!ГЬ гЬезе пгагг!па ча!пео, у!е!г!я а пес!пепсе г/г Гог гчЬ!сЬ (7 2.11.6) г!,, + а,, гГ е,, + + аог!,. = Ь(Ьо + Ь1 + ' ' + Ь.) = Ьг(1). ТЬгопаЬ ппЬпг!гпг)оп )и (7.2.11.6), апгГ оЬзегч!па Со = О, опе еаг61у пеев гЬаг г1, =/ЬК Гог аН/. Ь)ов, г/„= гГ(х; Ь„), Ь„:= х/и. Ву ч)ггпе оГ йе сопчегпепсе оГ йе гпегЬод, йегеГоге, х = у(х) = 1пп г/(х; Й„) = !пп ц„ = 1пп лЬ„К = хК. Соарес!пепг1у К = 1, апг) !Ьпп, С, = ~/г'(1) — Д !) = О. ТоаегЬег пчгЬ ТЬеогетз (7.2.10.1), (7.2.10.3) йВ УГе!сЬ гЬе ГоПочгпщ: (7.2.11.7) ТЬеогепь А Ппеаг пги!гГзгер гпегЬог/ !о сопоегдепг/ог аН/ е с,(а, Ь) (Г агп/ оп!у у О айаг!фея йе ьгаЬ!!Ггу согпГГг!оп (7.2.9.5)/ог ф агпГ !и оопп!осел! [1.е., 1/г(1) = О, ~/г'(1) — г(1) = 0].
ТЬе ГоПоп ГпдгЬеогегп а!чек а сопчешепг теапв о!с)егегт)ппщ 1Ье оп)ег оГ а Ипеаг тп!йпер гпегЬос1: (7.2.11.8) ТЬеогет. А Ппеаг пг и!!Гайгер тегЬоИ и и тегЬогГ о(огг)ег р (Гага) оо!у Ц'гЬе/ипсг/оп гр(р):= [ф(ф)/!и р] — г(ц) Йа» р = 1 ап а р-ГаЫ сего.
Ркоог. Рпг г(х):= е* )п Г[г(х); Ь] оГ (7 2.11 2). ТЬеп, Гог а тегЬск$ оГ огг)ег р, ,Ь +' '(1+ 0(Ь)). 475 7.2 1о|па1-Ча1ое РгоЫеп|в Оп йе о|Ьег Ьапд„ Це"; Ь] = е"[|Гг(е") — ЬГ(е")]. ЧЧе |Ьпв Ьаче а |пе|Ьог! оГ огг!ег р ргесЬе!у !Г |р(е ) = - [|Гг(е~) — Ь11(ео)] = С .„, Ь"(1 + 0(Ь)), |.е., |Т Ь = 0 |в а р-Го!|1 лего оГ гр(е"), ог, |п ойег |чог<1в, |Т |р(р) Ьав йе р ГоЬ1 гего И = 1.
П ТЬ~в йеоге|п ви88евгв |Ье Го!!о|ч!п8 ргоседпге: гог 8!Чеп сопяап|в ао, а„..., а„п виррове аг!г!!1!опа! сопв|ап|в Ьо, Ь„..., Ь, аге |о Ье |Ге|спи!пег! во |Ьа| йе гевпЬ!п8 пшЬ!вгер |пейсы Ьав йе !аггея ровв|Ые ог|!ег. То й|в епд, |Ье Гипс!!оп |/г(ц)/!и ц, |ЧЬьсЬ Гог сопяяеп| |пе1Ьо|!в |в Ьо!огпогрЬ~с !и а пе!8ЬЬогЬоод оГ р = 1, !в ехрап|!ед !и а Тау1ог вепев аЪои| р = 1: Ф(р) — — со + с,(ц — 1) + св(ц — 1) + !и И (7.2.11.9) + с..Ь -1) -'+;(р- 1У+".
СЬоов!пц г(р):= с, + с,(р — 1) + " + с,(д — 1)' (7.2.11.10) =Ьо+Ь,И+ +Ьф' |Ьеп 8!Чев пве 1о а соггес|ог |пейог! оГ оп1ег а| 1еав| г + 1. ТаЫп8 К(р)'=со+ с|(р — 1)+ '"+ с.— (и — 1У ' =Ь,+Ь,р+ "+Ь,,р'-'+О р" опе оЬгашв а ргег!!сгог |пейог! оГ оп!ег а1 !еав| г. 1п оп!ег |о асЫече гпе|ЬогГв оГ вг!1! Ь!8Ьег оггГег, опе соп!|$ гЬ!и!г оГ Гиг1Ьег дегег|п!ппщ йе сопв|ап|в ао,..., а,, !и я|сЬ а ччау |Ьа| !и (7.2.11.9) |Гг(1) = 1 + а, | + " + ао = О, (7.2.1 1.1 1) с„, = с,е, = " = с„, = О.
ТЬе сЬо|се (7.2.11.10) Гог г(р) |чоп!г! йеп !еа|$|о а соггес|ог гие|Ьог! оГ оп!ег 2г. 13пГоггппа|е! у, йе |пейог!в во оЬ|а!пег! аге по 1оп8ег сопчег8епг, япсе йе ро!упоппа!в ф Гог ччЫсЬ (7.2.11.11) Ьо!с!в по !оп8ег ваг!вГу йе в|аЬ!10у сои|1!1!оп (7.2.9.5). ОаЫ|!п1вг (1956, 1959) |чав аЫе|о вЬо|ч |Ьа| ап г-в|ер |пейог! вЫсЬ ваОвйев йе вгаЬ!1!гу сопйг!оп (7.2.9.5) Ьав огдег !'г+ 1 !Г г |в о|Ы, ( [г+ 2 |Т г !в ечеп (сГ Яесг!оп 7.2.8). 476 7 Ог«ппа|у Рагегепиа! Ецоаиопв Ехлмехе.
ТЬе сопяяеп| |пе|Ьод оГ |пах!|по|о ог|гег, Гог г = 2, Ы оЬга!пег! Ьу веп!пе Ф(и) = и' — (! + а)и + а = (и — !)(и — а). Тау!ог ехрапяоп о! Гр(И)7$п и аЬош И = 1 у!е1дв Ф(и) 3 — а а+5 , !+а !п И = ! — а+ — (и — !) + (и — !)' — (и — !)'+" 2 !2 24 Роги па 3 — а а+ 5 «(и):= ! — а + (и — !) + — (и — 1) ° 2 !2 |Ье гево!Епд Епеаг п|оипаер |пе|Ьод Ьав ог|гег 3 Гог а ~ — 1, ап|$ ог|$ег 4 Гог а = — !.
5!псе Гу(И) = (И вЂ” !)(И вЂ” а), |Ье в|аЬ|!Ьу сопдогоп (7,23«5) !в ва|пйед оп!у Гог — ! < а < 1. !п рагпсо!аг, Гог а = О, опе оЫа!пв Гр(и) = и| — и, «(и) =*(5и~ + зи — !). ТЬ!в Ь)оя |Ье А|!а|ив-Мооиоп |пейод (7.2.6.6) Гог 4 = 2, гчЬ!сЬ |ЬегеГоге Ьав ог|гег 3. Рог а = — 1 опе о!Папы Гр(и) = и' — ! «(и) = хи' + хи + .' вчЬ!сЬ соггевропггв |о М!!пе'в |пейо|! (7.2.6.10) Гог 4 = 2 ап|$ Ьав ог|!ег 4 (все аЬо Ехегсие 1!). Опе вЬоо!«$ по| очег!ооЬ йа| Гог пш!|Епер |пе!Ьог)в оГ ог|$ег р йе |п|еага!юп еггог |в оГ огг$ег 0(ЬР) ои!у |Г |Ье во!пЕоп у(х) оГ йе |$1ГГегепг(а! е«$оа!юп |в а! (еав| р + 1 |пиеа г$1$(егеп!ГаЫе [ Ге Ер(а, Ь)].
7.2.12 Аву|прсо1|с Ехрапяопв оГ йе хх)оЬа) Гу(веге«(га1(оп Еггог Гог Е|пеаг Мп)1)в«ер Ме«Ьог(в 1п апа!оау |о Бес!юп 7.2.3„опе сап а!во |гу |о Ггп|$ аву|пр|оЕс ехрапяопв Ги йе в!ерв(ге Ь Гог арргохппа|е во!обоих аепега!е«$ Ьу пш1||в|ер |пе!Ьо|$в. ТЬеге апве, Ьохчечег, а пшпЬег оГ |$|ТйспЬ!ев. То Ьеа(п вч(!Ь, гЬе арргохппа|е во1шюп |Г(х; Ь), ап«$ |Ьив сег|а|п1у а!во ||в авугпр|ойс ехрапяоп (|Т и ех1в!в), вч)1! г(ереп<$ оп йе в!аг!1па ча!иев иве«$.
е пг!Ьег|поге, Ь Гв по| иесеввап!у |гпе йа| ап авугпр|оЕс ехрапяоп оГ йе Гопп [сГ. (7.2.3.3)] (7.2.1 2.1) |$(х; Ь) = У(х) + Ьее,(х) + ЬАР герр |(х) + " + Ьеа(х) + Ь"+ 'Еа р,(х; Ь) ех1в!в Гог а!! Ь = Ь„= (х — х )/гх вч1!Ь Гипс!(опв е,(х) юг(ерепг(еп! оГЬ ап|$ а ге|па(пг(ег |епп Еа,,(х; Ь) гчЬ1сЬ ~в Ьоппг)е|$ |и Ь Гог еасЬ х. %е вЬохч й(в Гог а вопр!е 1шеаг |ппЬ(в!ер |пегЬо|$, |Ье |пЫро(п! гп!е [вее (7.2.6.9)], Г.е., (7.2.12.2) |!1+| = |Гг-, + 2Щхп |Г!), х! — — ха+ ГЬ, /= 1, 2, .... 477 7.2 !шиа1-ча!че РгоЫепьв Же мч!! иае гЬ)ь тегЬод го ггеаг йе !и!г!а1-ча!ие ргоЫеш хе = О, уе = у(0) = 1, у'= — у гчЬояе ехасг ьо!ийоп га у(х) = е ".
чч'е гаЬе гЬе агагг!п8 ча!иеь гГо=1 Ь=1 — Ь [д, !а гЬе арргохппаге ча1ие Гог у(х,) = е "оЬга!пег1 Ьу Еи!ег'я ро!у8оп шегЬог) (7.2.1.3)!. Ве8!пшп8 гч!1Ь гЬеве агагг!п8 ча!иез, гЬе ьеоиепсе (цД вЂ” ап<$ Ьепсе йе ГипсВоп ц(х; Ь) Гог а1! х е К„= (хг = ф ! Г = О, 1, 2, ...) — В йеп г!ейпе<Г Ьу (7.2.12.2) гЬгоицЬ гГ(х; й):= г!г = гГ„а !Г х = х, = /Ь. Ассогйп8 го (7.2.12.2), япсе Г'(х,, юу,.) = — ц, йе г!г ьа!ВГу гЬе Го!!очч!п8 г!!ГГегепсе ег!иаг!оп: гГг„, + 2Ьпг — г11, =О, /= 1,2,. 'ч!г!1Ь гЬе Ье!р оГ ТЬеогеш (7.2.9.8), йе цг сап Ъе оЬга!пей ехр!!с!г!у: ТЬе ро!упопиа1 д' + гор — 1 Ьав йе гогов — — г~ Ь ~, = ~,а) = -Г ~-,П + и = Л + Г ! ! — — — =) 1+!Р ' ЦЬ) !, /~+ Ьг /1+Гг~1+ ) 6 ТЬегеГоге, Ьу (7.2.9.8), (7.2.12.3) д,=с,2(+его, /=0,1,2, 6е = 1 = с, + сг апг) гЬиа 2 — (1 — Ь) 1 с, = с,(Ь) = - а "л Лг 2ч/1 + Ьг 1 — Ь вЂ” Л Ьг сг = сг(Ь) =— "г хг 2 1 /1 ~ Ьг+ 1+ ~г' вЬеге йе сопвгап!а с„с, сап Ье г!есепшпед Ьу гпеапя оГгЬе агагг!п8 ча!иеь Пе = 1, гЬ = 1 — Ь.
Опе ЙпгЬ 478 7 0141пагу 121|Гегепйа! Е||иа11ипг Сопаег!иеп|!у, Гог х е Я1, й ~ О, (7.2.12.4) |Г(х; й) '= ц а = с,(й)[21(й)]"'" + с2(й)[22(й)]и". Опе еая1у чег|Г|еа |Ьа| е 1(й):= с,(й) . [21(й)]"'" В ап апа!уВс ГипсВоп оГ й ш (й ! < 1. Гиггйегпгоге, ч (й)=ч (-й), ыпсе, ечгг!ел|!у, с,( — й) = с,(й) апд 21( — й) = !,Я1(й). ТЬе несом |епп |и (7.2.12.4) ехЬ|Ъ|12 пгоге со|пр1!са|ег! ЬеЬач!ог. %е Ьаче с2(й)Р2(й)]'" = ( — 1)"'"с 2(й). в1!Ь гр2(й) = с2(й)И й)] а = с2(й)Р1(й)] ап апа!уВс ГипсВоп |и !й ! < 1.
Аа аЬоче, опе ьееь гйа| е|2( — й) = г|2(й). 1| Го!!овыЬа| гог ап|1 гр2, Гог ) й ! с 1, Ьаче сопчег8еп| ровег-аег!еа ехрапяопь оГ |Ье Гопп 1|21(й) = Ич(Х) + И|(Х)й + И2(Х)й + ' ' ', Мй) = Ие(Х) + И1(Х)й + е|(х)й + "' в!|Ь сег|а|п апа!уВс Гипспопь и|(х), и|(х). ТЬе йгаг гегп|а |и гйезе аег!еь сап еаы!у Ье Гоипг! Ггогп |Ье ехр1!с!Г Гогпги1аа Гог с;(й), 21(й): к ие(х) = е ", и,(х) = — [ — 1 + 2х], 4 ек ие(х) = О, иг(х) = — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
