Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 77
Текст из файла (страница 77)
ТЬ|в гего сап ааа1п Ъе |$егегш!пег! иега6че!у (вог- в,"", Пш,„во' = в,), Еог ехашр!е, Ьу шеапв оГ |Ье (шо|$1Е|е|$) Хеччгоп'в спейс|1, ав |$евстЕЬе|$1п арест(оп 7.3.1. ТЬе оп1у тП$Еегепсе Ггош |Ье яшр!е вЬоо6па п|ейо|1 сопяв|в |п йе Гас| |Ьа| |п еасЬ Хеиггоп втер в'„'-+ в[|' " Еог йе г$е1егпипа6оп о!в„ опе погч Ьав |о сошри|е ггчо во!и6оп ча!иев, паше1у у(а; х„, в,") ап|$ у(Ь; х„, в[п), йгоиаЬ йе во!и|юп оГ ш|6а1-ча!ие ргоЫе|пв оГ йе гуре (7.3.4.7). тот 1| > 2 йе ча!ие в'„"':=у(х,; х,, в„,) видаевгв ||ее!Г ав йе в1аг6па ча!ие в'„о' Гог йе Хегч1оп ||ега6оп, япсе йеогебсаПу в'„о'= в„ [ргоч1|$ег$ йа| ва г гв ехас|1у ег$иа1 |о у(х„,) ап|$ у(х„; х„„За г) В сошри1е|$ мг1йоиг гиии|!!па еггогв].
Ргоч1|$е|$ оп1у йа| 1х„— х„, ! |в виЕПс(еп11У ЯпаП, йе еЯесг оп вгао| оГеггогв ш в, д, ассог|$1па |о ТЬеоге|п (7.1.4), |в $|ер1 гчГЙГп Ьоип|$в, в',"' = 3„. ТЬ(в, Ьочгечет, |Гоев по| гепюче аП |$1ЕПси16ев. 1п йе сошри|абоп оЕ йе в„Гг = 1, 2, ..., пг, йе ГоПомг1па ргоЫеш, Еп Гас|, Гге|$иепг!у абаев, гчЫсЬ печете!у гев|пс|в йе ргас6са! вцрийсапсе оГ йе вппр!е вЬоо6па шейо|$: ТЬе Еипсбоп Г|и йе |$1Яегеп6а! е|$иа6оп у' = Е(х, у), |о Ье вите, ойеп Ьав соп6пиоив рагба1 |$епча|пев иг1й геврес| |о у Гог х и [а, Ь], Ъи| !!0г Е(х, уИ Гв ипЬоипг$е|$ оп 5 = Цх, у)!а < х < Ь, у и Ге").
1п й|в саве, йе во1ииоп у(х) = у(х; х, в) оЕ йе |п|6а!-ча1ие ргоЫеш у' =Дх, у), у(х) = в, пее|$ оп!у Ъе |$ейпе|$ ш а сег|аш пе1аЬЪогЬоо|$ ЕУ,(х) оГх, |ЧЬове яке |$ерепг$в оп в. ТЬив, у(а; х, в) ап|$ у(Ь; х, в) ровяЫу ех|я оп1у 1ог йе ча!иев в ш а япаП ве| М. Вев(|$ев, М ав а ги!е В по| $|поигп. ТЬе вппр!е вЬообпа ше|Ьо|1, |ЬегеГоге, игП! аЬчаув Ъгеа$| |$оигп |Г опе сЬоовев Гог йе в!агбар ча!ие |п Хегч1оп'в ше|Ьо|$ а чес!ог в'о' 4 М. 7.3 Восидагу-Ув!ее РгоЫетв 515 Опе йов 8егв йе ев!ипа!е в в + 1+у гапЬ— 1 х, < — !п Рог еасЬ в > 0 ГЬе гГиапг!!у Н(в, в) !в ап иррег ЬоипгГ Гог х„гЬегеГоге, ш рагиси1аг, х,<Н(/Я,в) Гога1!в+О.
ТЬе авугпр!оВс ЬеЬачюг оГ Н(Д в(, в) Гог в — 0 сап еая1у Ье ГоипсЬ Рог япа11 (в !, !и Гас!, гче Ьаче !п Йгв! арргохниайои , „«,/(() ../и Л=(' I 'Й,/( (' во ГЬаг, авушр!оНса11у Гог в -+ 0 х < Н(ч/!51, в) я — 1п . = = — 1и — 1 2/ /«в( 1 8 ~Д;~~4~=Л Я (7.3.4.1 1) «Опе сап ечеп вЬоя (вес Ье!огч) йаг, авугпргойсаПу Гог в — О, (7.3.4.12) х, =.— !и 1 8 Ц ЬоИв.] 11, ш ГЬе вЬоойп8 ргосевв, опе В го агпче аг йе П8Ы-Ьапд ЬоипгГагу х = 1, йе ча!ие оГ (в( сап ГЬив Ье сЬовеп а! гпоя во !аг8е ГЬаг 1 < .
Гп — -, !.е., !в( < 8е '; 1 8 (5 ( Гог 2 = 5, опе оЬга!пв йе япа11 дошаГп (в( < 0.05. (7.3.4.!3) г ог йе "соппо!ыеиг" чге агГгГ ГЬе Го!!огч!п8: ТЬе пипа!-ча!ие ргоЫеш (7.3.4.14) у" = А яиЬ Ау, у(0) = О, у'(0) = в Ьав йе ехасг во!шюп 2 .,/в вп(Ах!Ггв)! в~ у(х'в) = 2 япЬ 2 (2х«/,в) ' Гг 1 4 ' К(/гв) А (7.3.4.15) апд ГЬегеГоге у(х; в) Ьав а 1о8агп!пшс яп8п!аг!гу ГЬеге. Ви! К(Ггв) Ьав йе ехрапяоп К(8 ) = 1и - = + — «Ги . -= — 1~(! — Гг ) +" 4 1/ 4 ,1-- 4« .(= Ьеге, вп апгГ сп аге ГЬе )асоЬ!ап е!11рНс Гипс!!сов я!ГЬ ппк1о1ив К вЫсЬ Ьеге гГерепгГв оп йе !Ыба! в1оре в.
И К(/гв) гГепогев йе г1иаггег рог!ос! оГ си, ГЬеп сп Ьав а гего аг 518 7 Оп11пагу ГИГегепГ1а! ЕцпаГгопа 11 сап Ье ао!чег( ЬегаВче!у иг1й йе Ье!р оГ Хегчгоп"5 тейпе(, (7.3.5.4) 5п"" = 5ш — '10Г(5пг)'! гВ(5"), г = О, 1, .... 1п огг(ег го 56!1 Гпг(исе сопчег8епсе гГ а! а11 роаяЪ|1, ечеп Гог а роог сЬогсе оГ йе агагг(пц чесГог 5'о', 1пагеаг( оГ (7.3.5.4) опе га(геа ш ргасВсе йе гпог(1Ггег( Хеиггоп тейог( (5.4.2.4) (аее Бесйоп 7.3.6 Гог Гигйег !пг(1саг(опа сопсегп(п8 йе ипр!епгепгагюп оГ йе тейог!). 1п еасЬ агер оГ 1Ье тегЬог( опе пилга сотриге В(5) апг1 ВВ(5) Гог 5 = 5". Гог йе сопзриГаГюп оГ г(5) опе Ьаз го г(егегт!пе 1Ье ча1иеа у(х„„„х„, 5„) Гог Гг = 1, 2, ..., гп — 1 Ьу ао!54п8 йе шЫа1-ча(ие ргоЫепь у' = Г(х, у), у(х,) = 5„ апг$1о согприге В(5) ассогг(1п8 го (7.3.5.3).
ТЬе уасоЫап пгагпх РВ(5) = [РпГ;(5)); „ гп ч(егч оГ йе аресга! аггисгиге оГ йе Г; |п (7.3.5.3), Ьаа йе Гопп 6, — 1 О О О 6 — 1 О О 6, — 1 А О О В (7.3.5.5) РВ(5) = ччЬеге йе л х л тагг(сеа А, В, 6„, Гг = 1, ..., пг — 1, ш гигп аге ЗасоЬ1ап тагг1сеа, (7.3.5.6) 6 : = Рп Ва(5) = 0п у(х г „' х„, 5„), Г: = 1, 2, ..., т — 1, В:= О, В (5) аа О, г(5,, 5 ), А: = Р„г (5) ге Р„г(5„5 ). (7.3.5.7) Ва '= Вг,(5аг, 5г,~ г), = 5" " — ГПГ А5 а(геаг(у г(еасг(Ьег( гп йе ятр1е 5ЬооВп8 тейод, Ь га ехрег(!епг ш ргасВсе го а8а!и гер!асе 1Ье г((йегепг(а! г!ио11епга ш йе та!песа А, В, 6„Ъу г(1йегепсе гГиог(епга, |чЬГсЬ сап Ье сотригегГ Ъу ао!чт8 агЫ(гюпа! (пг — 1)л шгВа!-ча!ие ргоЫепга (и шйа1-ча1ие ргоЫета 1ог еасЬ тагг1х 6,, ..., 6,).
ТЬе сотригагюп оГ 5"" Ггот аш ассогг(!п8 1о (7.3.5.4) сап Ье сагг(егГ оиг аа Го!!оига: %ЬЬ йе аЪЬгегАаВопа 520 7 О|а|вагу Ойге|еааа| Ессчаз!опв йе с)с|палс!в оГ йе пзпссзр(е вЬоосзпа гпейо|$ проп йе ссра)зсу оГ йе ьсагсзпа чессогв |и $хсезчсоп'в гпесЬо|$ аге сопыссегаЪ|у пюге гпоссея йап |Ьоье оГ |Ье ьппр1е ьЬоос!па |песЬо|$. 7.3.6 Н[псь Гог сЬе Ргасс!са! 1гпр!егпепсас[оп оГ сЬе Ми[с[р!е БЬоос[пд МесЬос) ТЬе пш16р(е вЬоосзпа гпесЬо|$ |и |Ье Гоггп ссеьспЪес$ |п йе ргеиоив ьесйоп |в в611 гасЬег ехрепяче. ТЬе Ьегасюп |и йе гпоссзйе|$ Хезчсоп'ь гпесЬо|$ (5.4.2.4), Гог ехагпр!е, Ьаь йе Гоггп (736.1) взз'" = вззз — 2 зсзз з(зз:=[АР(вззз)~ |Р(вззз), ап|$ |п еасЬ ьсер опе Ьав со сопзрисе а! 1еая йе арргохппасюп Лг(ь") оГ |Ье ЮасоЪ(ап гпаспх 0Р(всзз) Ьу Го!го(па арргорпасе |$|ГГегепсе |рзопепся ТЬе сопзрпсас|оп оГ Лг"(ваз) а!опе ап|оипсь со йе во!потоп оГ л |пзс|а$-ча!пе ргоЫе|пь.
ТЬсв епоггпопв агпопп! оГ ъчог(с сап Ъе впЬвсапВа!!у гес)псе|с Ьу пзеапь оГ йе сесЬпзсспеь ссеьспЪе|$ |и Бессюп 5.4.3, гесогприспщ |Ье |паспх |вг(вззз) оп! у оссаяопа$! у, ап|$ епзр)оус па |Ье гап)с-опе ргосесс псе оГ Вгоуссеп |и а11 гепзазпзпа |сегасюп ьсерв |и ог|сег со оЬ|азп арргохппасюпь Гог Лг(ьззз). %е пехс зчзьЬ со сопя|$ег йе ргоЫегп оГ Ьозч со сЬоове йе созе!|пес(сазе ро|псв х„, l| = 1, ..., лз, сп [а, Ь|, ргоч!ссес$ ап арргохппасе во!ийоп (ьгаггзлд сга7ессогу) зс(х) сь $|позчп Гог йе Ъоипссагу-ча!пе ргоЫет. Рпс х,:=а.
Начзпа а(геассу сЬовеп х;( < Ь), !псеагасе йе |пп|а!-ча!ие ргоЫегп |1,' = Г(х, |7;). |7;(х;) = |1(х;) Ьу гпеапв оГ |Ье гпесЬоссь оГ Бесс!оп 7.2, ап|$ сегпипасе йе !псеагасюп ас йе Гзгы ро|пс х = с Гог зчЬ|сЬ йе восшюп $|$|(сЦ Ьесоп|еь "соо Гагае" со|праге|1 со )/|7(Д!/, вау //|7|(С)$! > 2/!|7(Д)/; СЬеп рй х;„:=4.
Ехлмз |в $. Сопызсег сЬе Ьоипссагу-часие ргоЫезп (7.3.6.2 ) у" = 5 япЬ 5у, у(О) = О, у(!) = 1 (сс Ехапзр!е 2 оГ Бссбоп 7.3.4). Рог сЬе ьсагпп8 сгазессогу Л(х) |че |ассе |Ье всга|8Ьс Йпе соппеспп8 |Ье с|чо Ьоипзсагу рамль [зс(х) га х). ТЬе ваЬ|сзчзяоп О = х, < хз «" х =! Гоипсс Ьу |Ье сопзрисег |ь вЬо|чп |и раисе 18. Ьзаязп8 зчзсЬ СЫв ьаЬ|сзчзьюп апд йе ча!иеь в„:= ||(х|), в,':= зс'(хз), |Ье пшйрсе ььоопп8 |песьод узе1|сь сье во1исюп со'аЬоис 9 |$18|сь зп 7 Вега!юле.
ТЬе ргоЫе|п ьа88еьсь а "пюге адчапсаьеоав" всагпп8 сга)ессогу; |Ье 1|леаг|гезс ргоЫеп| у(О) = О, у(!) = ! Ьвь сЬе ьо!исюп у(х) = (япЬ 5х)ДяпЬ 5). ТЬ|в Гипссюп зчои1|$ Ьаче Ьееп а ьоп|е- |чЬа! "Ьепег" яагппв |га)ее!агу, 522 7 Оси|пазу $|зйуегопс|вз Брьас|опв са)зе соо 1агйе всерв в; — в;, „апс( |Ьас "па|ига!*' рагатесегв а, зчЬ|сЬ аге зисппяс со сЬе ргоЫет, Ье сЬовеи: ТЬе Гисгос(исс(оп оГ аг6йсза! рагатесегв, вау соивсгиссв оГ йе суре 7'(х, у; а) = Ях, у) + (! — а)д(х, у), й = 1, ао — — О, зчЬеге Г(х, у) зв йе 8(чеи г(ВЬС-Ьап|$ в(с(е оГ йе с($$Гегепзза) ег(иаСзои апс( д(х, у) ап агЬ|сгап!у сЬовеи "виир!е *' Гиис6ои пзЬ|сЬ Ьав иосЬ(пц со |$о зч(сЬ йе ргоЫет, з(оев иос воссесть (и спбса! савев.
А тоге гейие|$ чапапс оГ йе сопбииасюп гиейо|$, зчЬ(сЬ Ьав ргоче|1 со Ье пве(и1 ш сЬе соисехс оГ ти1с|р1е вЬоосзий тесйскЬ, зв с(евспЬе|$(и ОеийЬап$(1979). Ехлми.в 2 (А яп8и1аг Ьоипгсагу-ча!ие ргоЫепз). ТЬе взеа|$у-|сазе сегпрегасиге гйвзпЬибоп зп йе зпсегюг оГа су1зпгсег оГ га|$шв 1 В |$евсг|Ье|$ Ьу |Ье во!ибоп у(х; а) оГ |Ье поп1зпеаг Ьоип|$агу-ча!пе ргоЫезп (сГ., е.8., сзса ап|$ Тапй (1969)) у" = — — ае', У х (7.3.6.4) У(О) = у(!) = О. Неге, а Ь а "па|ига!" рагазпесег зчйЬ Ьеас 8епега6оп а =' — 0 < а < 0.8. сопзсисзсчззу рог йе пшпепса1 сопзрпса6оп оГ |Ье во!п6оп Гог а = 0.8 опе соп1|$ ые сие виЬ|$зчзв!оп а = О, О.1.
.. 0.8 апд, Ьевйппзп8 «зссЬ йе ехр1|си1у 1|по|оп во!ос|оп у(х; 0) ш О, сопвсгпсз |Ье Ьоизосору сЬасп Гог сЬе соизршабоп оГ у(х; 0.8). ТЬе ргоЫеиз, Ьозчечег, ехЫЬ|св опе Гпгйег |ВГйсп1|у: ТЬе г|ВЬс-Ьап|$ вийе оГ |Ье гййегеп6а! с|спас|оп Ьав а япйи!апсу аз х = О. %Ь|!е и зв созе йас у'(0) = 0 апгс сЬе во!пбоп у(х; а) зв дейпед, зпзсее|$ апа!усзс, оп йе зчЬо!е ииегча! 0 < х < 1, |Ьеге печег|Ье!евв агье сопязсегаЫе сопчегвепсе зсзсйсп16ев. ТЬе геавоп В зо Ье Гоппгс ш йе Го11озчш8: А Ьас8|чап1 апа!уяв (сГ. Яес6оп 1.3) вЬоазв |Ьас йе гехи!с у оГ |Ье пшпепса! сопзрисабоп сап Ье спсегргесегс ав |Ье ехасз во!шюп оГ йе Ьошззсагу-часпе ргоЫепз (7.3.6.4) шиЬ в!|8Ы!у регсигЬе|$ Ьоппзсагу |сага у (О) = в| у(1) = вз (вес, е.8., Ваиивсза ес а!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
