Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Ь!е1!Ьег Ь Л; = 4 ап е18епча!пе оГ А„, япсе огЬегю!хе А„— 41 воп!г! Ье х!п8п1аг. Впг 538 7 Огейпагу ГЫГетепг|а! Ецпааппа ио Гйаг )г!ег(А„— 4!) ! = !г!ег А„(, апг! зч!гЬ А„, а!во А„— 4! !з попа!пйп- 1аг. 9!ге гЬпв оЬга!и гЬе евгипаге 0 < Л; < 4 Гог гЬе е!8епча1пез оГ А„. ТЬ!з зЬозчз !и рагйсп1аг гЬаг А„!з рояйче арейа!ге. Ву чйггпе оГ ю геАг = гаАг+ ",г д;)г;)~, гпАг > 0 Гог гФО, апгГ ц; >О, 1=1 Ь Го!!озчз ппгпегйаге!у гЬа! гпАг > 0 Гог г + 0; Ьепсе гЬе рояйче г!ейп!гепеаз оГ А. ТЬеогепз (4.3.2) зЬозчз гЬе ех!згепсе оГ А ' апет Л ', апо' Ь оп!у гегпагпз го ргоче Гйе !пег!па!!гу 0 < А ' < А '. То гЬ!в епг1, зче сопзЫег гЬе гпагпсез Гг, б,,Г, у чч!1Ь 17 = йа8(2 + еГ, Ь', ..., 2 + гГ„Ьг), гз = 2!.
81псе Гй > О, зче оЬч!опз1у Ьаче гЬе !пецпа1!г!ев О < Й < Гу, 0 2+ Гг 1 2+ гГг "г (7.4.9) 0 < ! = о ' о ! г О г~ 0 <у= 1п ч!езч оГ у = .Г( — А„+ 2!) апг! гЬе езгппа!е 0 < Л; < 4 Гог гЬе е!шепча!пез оГ А„, ме Ьаче — 1 < р, < 1 Гог гЬе е!8епча!пек !г, оГУ, ь.е,, р(у) < 1 Гог гЬе зресгга1 гас!!па оГ у. г гопг ТЬеогегп (692)!Ьеге еая!у Го11озчз гйе сопчег- 8епсе оГ гЬе зепез (О < )! .1- у + уг + уз + ... — (! У)- г 8!псе 0 < .! < У, зче ГЬеп а!зо Ьаче сопчегйепсе гп (О < )! + у + Гг + Гз + ... (! !)- г < (! У)- г апгГ япсе, Ьу (7.4.9), 0 < Гз ' < б ', зче 8еГ О < (ЬгА)- г (! У)- гГу- г < (! У)- гд- г (агд)- г аз зчаз го Ье зЬоеп.
!гг 4 Гг(! !) ГггА = 6(! — У), 1 2+ д,йг 0 ! 2+9 Ьг 539 74 О!ГГегезсе МегГииГз Ргот йе аЬоче гЬеогет 11 Го!!онз гп рагВсн!аг ГЬаг ГЬе зузгет оГ ег!нагюпз (7.4.6) Ьаз а во!шюп (гГ гГ(х) > 0 Гог х н (а, Ь)), гчЬ!сЬ сап еая!у Ье Гонпг(, е.а., Ьу теапз оГ йе СЬо!езГсу тегЬогГ (зее ЗесОоп 4.3). %псе А Гз а гг(г(1ааопа! гпаспх, ГЬе пшпЬег оГ орегагюпз !ог йе зо(шюп оГ (7.4.6) Гз ргороггюпа! го и. %ге псе илзЬ го Оег(че ап езВтаге Гог йе еггогз у; — и, оГ гЬе арргохнпагюпз и; оЬга!пей Ггот (7.4.6) Гог йе ехасг зо(нг(опз у; = у(х,.),! = 1, ..., и.
(7.4.10) ТЬеогегп. Ьег гЬе Ьоипг(агу-га1ие ргоЫет (7.4.1) Ьаие а зоГииоп у(х) н С~!а, Ь), агиГ Гег ! уип(х) ! < М аког х а Га, Ь) А(зо, Гег гГ(х) > 0 Гог х и [а, Ь) агиГ и = (но ..., и)г Ье гЬе во!иг!оп о7(746). ТЬеиуог ! = 1, 2,..., МГ 2 )у(х;) — и;! < - — (х; — а)(Ь вЂ” х;). Ранов Весанзе оГ (7.4.5) апг! (7.4.6) ае Ьаче Гог у — и ГЬе егГнаГ!оп А(у — и) = г(у). ГГз(па йе погаВоп Ь~ =[ Гог у н й", не оЬга(п Ггогп ТЬеогегп (7.4.7) апд йе гергезепсабоп (7.4.2) оГ г(у), М г (74.11) !у — и) = !А 'г(у)) < А '!г(у)) < — А 'е, (7пг(ег гЬе авзшпрВопз оГ ТЬеогегп (7.4.10), гЬе еггогз ао го лего Иге Ггз: ГЬе гГ!ГГегепсе тегЬогГ Ьаз оггГег 2.
ТЬе тегЬогГ оГ Вгоппег апд Хнтегоч, гчЬеге е = !1, 1, ..., 11г. ТЬе чесгог А 'е сап Ье оЬга!пег! аг опсе Ьу йе Го!!оннпа оЪзегчаг!оп: ТЬе зрес!а! Ьонпдагу-ча!не ргоЫет — у" = 1, у(а) = у(Ь) = О, оГ йе гуре (7.4.1) Ьаз йе ехасг зо!нгюп у(х) = зз(х — а)(Ь вЂ” х). Рог й(з ЬонпгГагу-ча1не ргоЫет, Ьогчечег, не Ьаче г(у) = 0 Ьу (7.4.2), апгГ йе гГ(зсгеге зо!нгюп и оГ (7.4.6) со(пс(г(ез чч(ГЬ йе ехасг зо!нгюп у оГ (7.4.5).
1п агЫ11!оп, Гог гЬ(з зрес!а1 Ьошк1агу-ча1не ргоЫет йе тагг(х А 1п (7.4.4) !з 1нзг йе тазг(х А гп (7.4.8), апгГ тогеочег Гг = е. %е ГЬнз Ьаче А 'е = и, и; = -$(х, — а)(Ь вЂ” х,). ТоаегЬег ннгЬ (7.4.11) йгз у)е!г(з гЬе аззегВоп оГ йе ГЬеогет. П 540 7 Огв!паеу Р!!Ге!ее!!а! Еппаг!опе !чЬ!сЬ г)евсгег)лев йе га!Тегеппа! ег1«апоп у" = Г'(х, у) Ьу Ьв у„, — 2у, + у!, = - — Я+! + 10);. + Г,.
!) апг( 1еаг)в го гпгаа8опа1 шагпсев, Ьав оп1ег 4. АП гЬеве шегЬог(в сап а!во Ье аррасе( го поп!шеаг ЬоппгГагу ча1пе ргоЫешв у" = Г(х, у), у(а) = а, у(Ь) = !5. 7.5 УапаГ!опа1 Мейодя Чаг!аг!опа1 шегЬог)в (Кау!е!8Ь-К!гх-Са!ег1сш шегЬог(в) аге Ьаве<Г оп йе Гас! ГЬа! йе во!пгюпв оГ вогпе ппроггап! гурев о! ЬоппгГагу-ча!пе ргоЫешв роввевв сеггаш пппппайгу ргорегпев. %е ччап! го ехр!аш гЬеве шегЬог(в !ог гЬе Гоаогч!п8 в!шр!е Ьоппс)агу-ча!пе ргоЫеп! Гог а ГппсПоп и: [а, Ь1 — ге, — (р(х)и'(х))' + д(х)и(х) = д(х, и(х)), и(а) = а, и(Ь) = !5. (7.5.1) Хоге гЬа! 1Ье ргоЫеп! (7.5.1) !в воше!чЬа! юпоге 8епега! гЬап (7.4.1).
Г7пг)ег йе аввшпрПопв р е С'[а, Ь1, р(х)> ро>0, (7.5.2) де С[а, Ь1, д(х) > О, д в С ([а, Ь1 х Щ д„(х, и) ( Ло, «Пй 2о йе атабаев! е(шепча!пе оГ гЬе е!8епча!пе ргоЫеш — (рх')' — (Л вЂ” д)г = О„в(а) = г(Ь) = О, П !в Ггпо!чп гЬа! (7.5.1) аЬчаув Ьав ехасг1у опе во!шюп. г ог йе Гоао«!!п8 чче гЬегеГоге аввпше (7.5.2) апет гпа)ге йе в!шрПТу!п8 аввппзрпоп д(х, и(х)) = д(х) (по и-г)ерепг!епсе оГ гЬе г!8Ьг-ЬапгГ в1гГе). 1Г и(х) гв гЬе во!паоп оГ (7.5.1), йеп у(х):= и(х) — 1(х) !ч(гЬ Ь вЂ” х а — х !(х):= и — -- + р — "-, 1(а) = а, 1(Ь) = !5, Ь вЂ” а а — Ь чЧе йеп оЬгагп а вувгегп оГ попИпеаг егГпаг1опв Гог гЬе арргохппаПопв и; ге у(х;), гчЬ!сЬ гп 8епега! сап Ье во!чег( оп!у Пегапче!у.
Аг апу гасе, опе оЫагпв оп1у шегЬог!в оГ 1о«оп1ег. То асЫече Ь|8Ь асспгасу, опе Ьав го пве а чегу Ппе впЬг)!ч!в!оп оГйе гпгегча1 Га, Ь1; гп сопггавг, е.8., гч(гЬ йе пш!6р1е вЬоопп8 шегЬогГ (все Беспоп 7.6 Гог сошрагаггче ехашр1ев). г ог ап ехапгр!е оГ йе аррасаг!оп оГ г)!ГГегепсе шегЬог)в го рагпа! г)!йегепПа! ее!па!!опв, вее 8есгюп 8.4. 541 7.5 чапааоаа!Мегйодь гз!Ье зо1нПоп оГ а ЬонпгГагу-ча!не ргоЫегп оГ гЬе !опп -(РУ')'+ ГУ =Х (7.5.3) у(а) = О, у(Ь) = О, »лгЬ чап1вЫпП Ьошк1агу ча!нез. %!1Ьонг !озз оГ Пепега!Пу, »е сап йнз сопз1гГег, 1пвгеад оГ (7.5.1), ргоЫегпв оГ йе Гопп (7.5.3).
!!!г!ГЬ гЬе Ье!р оГйе ьГ!ГГегеиг!а1 орегагог (7.5.4) Цо): ге — (ро')' + По азвос1агег1 а11Ь (7.5.3), чче ччапг го Гоггпн!аге йе ргоЫегп (7.5.3) вогпеччЬас гГГПегепг!у. ТЬе орегагог Ь гпарз йе зег Р,:= (с е Сг[а, Ь] ) с(а) = О, о(Ь) = О] оГ аП геа! Гнпсгюпз йаг аге г»бее сопПпнонз!у оП!ТегепПаЫе оп [а, Ь) апс$ заПвГу гЬе Ьошк1агу сопйгюпв о(а) = о(Ь) = О Гого йе зег С[~ Ь) о!сопПпнонз Гнпсгюпз оп [а, Ь). ТЬе Ьонпдагу-ча1не ргоЫегп (7.5.3) Гв гЬнв егГн!ча!епг го йпгПпП а во!н!юп оГ (7.5.5) Цу)=Г, ге Рг.
ЕчЫепг!у, Р, Гв а геа! чес!ог зрасе апгГ Е а Ппеаг орегагог оп Р,: Гог и, и е Рь, а!во аи + фо Ье1опав го Рс, анги опе Ьаз .Цаи + )Го) = аГ.(и) + )ГГ.(с) Гог аП геа! пшпЬегв а, )!. Оп йе зег Г.,(а, Ь) оГ аП вгГнаге-1пгеПгаЫе ГнпсПопз оп [а, Ь) гче пои !пггогГнсе а ЬГПпеаг Гопп апд а попп Ьу гпеапз оГ йе гГейп1!юп ь (7.5.б) (и, о):=] и(х)о(х) Их, ]и]з:=(и, и)из. Р ТЬе гППегепПа1 орегагог Ь Ы (7.5.4) Ьаз а Гечч ргорегПев аЫсЬ аге ппроггапг Гог йе нпгГегвгапг11пП оГ йе чапагюпа! гпегЬог)в.
Опе Ьав йе ГоПо»бпа: (7.5.7) ТЬеогегп. Г. !з а зуттеглс орегагог ои Р„, й.е„ьче Ьаое (и, Цо)) = (Ь(и), о) Гог аП и, о я Рь, Раоог. ТЬгонаЬ ГпгеПгаПоп Ьу раггв опе йкГв ь (и, Ь(о)) = ~ и(х)[ — (р(х)о'(х))' + д(х)о(х)] Пх а ь ь = — иЯр(х)о'(х) + ~ [р(х)и'(х)о'(х) + д(х)и(х)о(х)) Их ь ю ь = ]' [р(х)и'(х)о'(х) + гГ(х)и(х)о(х)] Пх, а 542 7 Опппагу 1Жегепс|ас Ециа6опь сйпсе и(а) = и(Ь) = 0 Гог и а О, .
г ог геавопв оГвупппесгу П Гойосчв! Исесч|ве йас (7.5.8) (Г.(и), е) = ! [р(х)и'(х)е'(х) + гГ(х)и(х)е(х)] г|х; й Ьепсе йе авзегйоп. ТЬе г|8Ьс-Ьапс| в|гсе оГ (7.5.8) |в пос оп1 у с|ейпео Гог и, е е 0ь.!пс|еед, |ес 0:=(и е .сс '(а, Ь)!и(а) = и(Ь) = О) Ье сЬе вес оГ ай Гппсйопз и |Ьас аге аЬво!псе!у сопйппопв оп [а, Ь] сч!сЬ и(а) = и(Ь) = О, Гог счЬ|сЬ и' оп [а, Ь] (ехппв а!псовс ечегусчйеге апг|) !в вс!паге ЬссейгаЫе [вее Рейп|с|оп (2.4.1.3)]. 1п рагйсп|аг, ай ргесе«чве сопйппопв|у гй|ТегепйаЫе Гппссюпв вассвГу!п8 сЬе Ьоппг|агу сопеййопв Ье|опй со О.
0 св айа|п а геа| чессог зрасе «чй 0 ~ 0ь. ТЬе г|8ЬС-Ьапг| в|г|е оГ (7.5.8) оейпев оп 0 СЬе вупппеСпс Ьййпеаг Гопп ь (7.5.9) [и, е]:= ~ [р(х)и'(х)е'(х) + г!(х)и(х)е(х)] ссх, О счЫсЬ Гог и, и а 0 со|по«1ев «чсй (и, Г.(с)). АваЬоче,опе вйосчв Гогу е О,, и е О, сЬгоп8Ь спсейгасюп Ьу рагсв, йас (7.5.10) (и, Е,(у)) = [и, у]. ке1ас|че со сье вса|аг ргос|псс |псгодпсед оп 0„ьу (7.5.б), Г. |в а роз|с|се с|сусл|ге орегагог сп йе Гойосч|пй зепве: (7.5.11) ТЬеогегп.
ГГпг|ег йе аввитрг!опв (7.5.2) опе Ьаз [и,и]=(и,Г.(и))>0 ГогайифО,ие0ь. Оле еееп Ьаз йе езйтаге (7.5.12) у1и1~ < [и, и] ( Г[и'1~ Гог аП и е 0 ъч|гЬ йе погт ]и]„:=вор,<„вь !и(х)! алй йе соль!алга у:= — 9 -, Г:= [р[ (Ь вЂ” а)+ 1сГ!'„(Ь вЂ” а)ь. Рвов 1п лечг оГ 7 > 0 П впГйсев со вЬоси (7.5.12). Рог и и 0 сче Ьаче, Ьесапзе и(а) = О, К и(х) = ) и'(в) 44 Гог х е [а, Ь]. а 543 7.5 Чапааоаа! Мегаооа ТЬе КсЬиагх ГпегГпаПгу у!еЫв йе евгппаге [и(х)]а < ~ 1' Ис ) [и'(С))а 14 = (х — а) ~ [и'(С))' ИС 'а а а ,ь < (Ь- а) ~ [и'(~)]' Гс, апгГ йпв ь (7.5.13) !и[~ < (Ь вЂ” а) ) [и'(х))~ Ых < (Ь вЂ” а)~1и''1~ .
ЬЕогч, Ьу чГггпе оЕ йе авзшпрг!оп (7.5.2), гче Ьаче р(х) > р > О, ц(х) > О Гог х е [а, Ь]; Ггопа (7.5.9) апгГ (7.5.13) !! ГЬпв ЕоПогчз йаг ь [и, и] = ~ (р(х)[и'(х))а + д(х)[и(х)]а) Ых "а ь > ро ~ [и'(х)] Ых а >. — 1и1~ . Ву (7.5.13), ПпаПу, гче а!во Ьаче ь [и, и) = ~ (р(х)[и'(х)) + гГ(х)[и(х))~) Их а < (р[ (Ь вЂ” а)1и')~ + )гГ[ (Ь вЂ” аии)~ < Г[и''1~, аз ьчав го Ье вЬоьчп.
1п рагбсп1аг, Ггогп (7.5.11) гче гпау пппюйаге! у бег!псе гЬе ппщпепезз оГ гЬе во!пгюп у оГ (7.5.3) ог (7.5.5). 1Е Х.(у,) = Цуа) =Е, у,, уа е Рь, йеп Цу, — уа) = О, апгГ Ьепсе О = (у, — уа, Цу, — уа)) > у!!у, — уа!/~ > О, вЫсЬ у1е!дв аг опсе у, = уа. %е поьч тейпе Гог и е 0 а с!панга!!с Еппсгюпа1 Ьу (7.5.14) г (и):= [и, и] — 2(и, Е'); Ьеге Е !в йе г15Ьг-ЬапгГ в1гГе оГ (7.5.3) ог (7.5.5). г аввосга!ез ьч!ГЬ еасЬ Гппсгюп и е Р а геа! пшпЬег г"(и). г ппгГагпепга! !ог чаг1аг1опа! гпейогЬ !з йе оЬвегчаПоп йаг йе Гипс!!оп г агга!пв Пв згпаПез! ча!пе ехасг!у Гог гЬе во!пгюп у оГ (7.5.5): (7.5Л5) ТЬеогепь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
