Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 79
Текст из файла (страница 79)
лг -2 л 15 0 50 ЮО 150 0 50 ЮО 150 200 22С 9 530 7 Оге!пагу РОГегеп1!а! Еепа1!опа 100а ао 20а о с е -20а Ь аоа -ВОа -100а 90 100 190 е10 2249 1 Е!апге 24 Бпесевв!ге арргохппаггопв го йе соп1го! и. %!1Ь й!в арргохппаге 1га!есгогу Гог е, у, ..., Л, Т (Т = 230) апд йе гесЬпп1пев оГ Яесг!оп 7.3.6, опе сап по!» дегегпипе йе впЫпчв!оп ро!пгв Гог йе пш1Пр1е вЬоог!па тейод (и! = 6 впГПсев). Ирзгев 22 апг! 23 вЬоае 1Ье гевп(1 оГ1Ье согпрпгаПоп (айег !4 Пега1юпв); 1Ье гога) гппе оГ йе оргппа1 геепггу тапепчег сотов опг го Ье Т = 224.9 вес; йе асспгасу оГ 1Ье гевп11в !в аЬой 7 г(!а!1в.
Р!Ппге 24 вЬоав йе ЬеЬагПог оГ йе сопгго1 и = гап '(62,19еЛ„) г(пппа йе сопгве оГ 1Ье Пегагюп. 11 сап Ье вееп Ьоег йе 1шПаПу !агап!шпрв а1 1Ье вцЬйе!в!оп рогпгв оГ 1Ье пш(Пр1е вЬоо1!па шегЬод аге "Па!геок опг." ТЬе ГОПоалпа 1аЬ)е вЬоиъ 1Ье сопчегаепсе ЬеЬач!ог оГ 1Ье пюг(!Пег( Хе!и!оп'в те1Ьод [все Яесг!опв 5.4.2 апд 5.4.3!. агЬ 3.5) 531 7.3 Волова«у-Ча«не РгоЫепв 7.3.8 ТЬе Гьпн1«пд Саяе «и -+ со оГ 1Ье Ми!1«р1е 8Ьоо1(п8 МеГЬоь( (Оепега! Хеьч1оп'в Ме1Ьоь(, Япая(1«пеагьга1«оп) 1Гйе япЬгПчЬПоп оГйе ьпьегча! [а, Ь1 1я шаг(е йпег аль( Ппег («л-+ ос), ьЬе иш!Пр!е яЬооьт8 шеьЬоь( сопчег8ея ьоьчагП йе 8епега! !ч!еччьоп'я шеьЬоь( Гог Ьоипг!агу-ча!ие ргоЫешя [сГ, е.8., СоПаьг (1966)1, а1яо (словчи ая «Глав«1«леаг«гагьол.
1п ьЬ(я шеьЬоь( ап арргохипаПоп «ь(х) Гог ьЬе ехась яо!иПоп у(х) оГ йе лолПлеаг Ьоппг!агу-ча!ие ргоЫет (7.3.5.1) ья ьшргочег! Ьу яо!чьп8 Влеаг Ьоипь(агу-ча!ие ргоЫегпя. !1«Пп8 Тау!ог ехрапяюп оГ Г(х, у(х)) апь! г(у(а), у(Ь)) аЬоиь ««(х) опе Ппь!я ьп Пгяь арргохипаПоп (сГ. «Ье ь(епчаь(оп оГ !ч!еьчьоп'я шеьЬо«5 ьп 8еоПои 5.1) у'(х) = Г(х, у(х)) = Г(х, «!(х)) + 0„Г(х, «Г(х))(у(х) — «ь(х)), 0 = т(у(а), у(Ь)) = г(«1(а), ««(Ь)) + А(у(а) — «!(а)) + В(у(Ь) — ««(Ь)), ьчЬеге А:=0„г(«1(а), «!(Ь)), В:= 0,т(««(а), «ь(Ь)). Опе тау ехресг, ЬЬегеГоге, ьЬаь йе яо1иПоп ««(х) оГ ьЬе 1шеаг Ьоипь(агу-ча1ие ргоЫет (7.3.8.1) «Г = Г(х, ««(х)) + 0«Г(х, «ь(х))(«ь — «!(х)), А(««(а) — ««(а)) + В(«Г(Ь) — ««(Ь)) = — г(«!(а), ««(Ь)), ьч«П Ье а Ьегсег яо!игюп оГ (7.3.5.1) йаи «1(х).
Рог!асег пяе ьче «и!го«$исе йе соггесьюп Глпсьюп «5а«(х):= ««(х) — «1(х), ьчЬ!сЬ Ьу ь(ейпьььоп ья яо!иьюп оГ йе Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеш (Л«ь) = Г(х, ««(х)) — «! (х) + 0„1'(х, «ь(х)) Л«1, (7.3.8.2) А А«1(а) + В А«!(Ь) = — г(«1(а), «1(Ь)), яо йаь (7.3.8.3) Л«!(х) = Ь«!(а) + ) [0«Г(г, «!(г)) Л«1(г) + Г'(г, «!(г)) — «!'(г)] «(г.
О Пер(асьп8 «ь ьи (7.3.8.1) Ьу «1, опе оЬьаьпя а Гпг«Ьег арргохипаПоп ««Гог у, еьс. !п ярЬе оГ йе япьр!е г!епчаь!оп, йья Ьегабоп шеьЬоь! Ьая яепоия г(ьяаь(чапьа8ея ьчЬкЬ саяь яоше ь!оиЬь ои Ья ргасПса! ча!ие: (1) ТЬе чесьог ГипсПопя «!(х), «Г(х), ... пшяь Ье яьогеь( очег йеьг епПге гап8е [а, Ь]. (2) ТЬе пьаьпх Гипсьюп О, Г(х, у) пшяь Ье сопьрпьеь( !и ехрПс(ь апа!уьк Гопп апг( ьппяь П!ьеьч(яе Ье яьогеь( очег ьья епПге гап8е [а, Ь1. ТЬе геаПгаПоп оГ ЬоьЬ йеяе геьрпгепьепгв (я пехь ьо ппрояяЫе ьп йе ргоЫеьпя йаг сиггепг!у апяе ш ргасгьсе (е.8., Г ьчЬЬ 25 сошропепгя, 500-1000 апьЬшеь!с орегаьюпя рег еча!иаьюи оГ Г).
%е поьч ««ьяЬ ьо яЬоьч ьЬаь йе иш1Пр!е яЬооььп8 шеьЬо«$ ая л«- оо сопчег8ея Ьо йе те!Лог! (7.3.8.1) ьп йе ГоПоьчш8 яепяе: Г.ег «1(х) Ье а япГйс!еиь!у яшооьЬ ГписПои оп [а, Ь'! апь(1еь ГпгьЬег (7.3.8.1) Ье ипь«1пе!у 532 7 Огйвагу РЙГегепаа! Еаиа!1опв во!чаЫе ичгЬ йе во!игюп ГГ(х), ЛгГ(х):= ф(х) — 9(х). ТЬеп йе Го!!овг1п8 !в ггие:!Г гп йе гпи111р!е вЬоог!п8 гпейог! (7.3.5.3)-(7.3.5. 10) опе сЬоовев апу виЬг!!г!в!оп а = х, < х, « " х = Ь оГ йпепевв Ь:= гпах„~ х„~, — х„! апг! йе в!агйп8 чесгог в~ вг и!ГЬ вв '= гГ(х~), йеп йе во!игюп оГ (7.3.5.8) ич!! у1е!г! а чесгог оГ соггес0опв Лв, Лвг (7.3.8.4) Лв = ипгЬ гпах )Лв„— Лгг(х„)~) = 0(Ь). гог йе ргооГ ие аввипге 1ог вЬпр1!с!гу ~х„~, — х„~ = Й, Гг = 1, 2, ..., е — !. %е а апг го вЬовг йаг го еасЬ Ь гЬеге ех1вгв а й$Тегепг!аЫе Гипсгюп Лу: [а, Ь)- Гв" висЬ ГЬаГ гпах„!!Лв„— Лв(х„и = 0(Ь), Лв(а) = Лв,, аиста !пах„,!„а !!Ля(х) — Лгг(х)!! = 0(Ь).
То гЬГв епг1, вге йгвг вЬовг гЬаг йе ргодисгв 6„,6г в ... 6,„= 6„,6г в ... 6,(6,6,, ... 6,) арреаг!п8 !п (7.3.5.9), (7.3.5.10) Ьаче випр!е !пп!гв ав Ь вЂ” О (/й = сопвг, /1) = сопвг). ТЬе гергевепгаг!оп (7.3.5.9) Гог Лв„сап Ье ег!ггеп !и гЬе Гогт (7.3.8.5) в-в Лв„=Е„,+6„,...6, Лв,+ ,'> (6;...6,) 'Е~, 2<й<ж в= 1 АссоггГ!п8 го (7.3.5.3), Е„!в 8!веп Ьу Г„= у(х„~,; х„, в„) — в„~ „ 1 < /с < гп — 1; 1Ьив и ! г"„= в„+ ) Г (г, у(г; х„, в,)) г1г — в„ «» апд ипгЬ йе Ье1р оГ гЬе гпеап-ча!ие гЬеогепь, (7.3.8.б) Е„= (7 (г„, у(г,; х„, в„)) — г!'(гв))Ь, хв < г„, т„< хв,, Еег пои У(х) Ье гЬе во!и!!оп оГ йе 1п11!а1-ча!ие ргоЫегп (7.3.8.7) 2' = !У„Г (х, г1(х))У, У(а) = Г, апгГ гЬе гпагпх Я, во!иг!оп оГ 2', = О, Г'(х, ц(х))2„, Я„(х„) =!, ! < /с < гп — 1, 534 7 Опппагу О!!Гегепг!а! Ецпаг!опа Егогп гЬе !г)епг!гу УаХа ! ...
Уг — 6„6„, ... б, = (У, — ба)У„г ... Уг + 6,(К„, — 6„,)к,,...г, +" + 6„6„, ...6,(Л, — 6,) ап!Г !Ье Гпг!Ьег еагппагез ~!)ба!! ~< 1 + сгй !!Уа!! < 1 + сг)г 1 и /с < гп 1 сг Гпг)ерепг)еп! оГ Гг апгГ й, вЫсЬ !о!!ов Ггогп ТЬеогегп (7.1.11), ве гЬпа оЬ!агп, гп чиев оГ ГгЬ < Ь вЂ” а апгГ (7.3.8.9), ))2(х„~г) — 6„6„, ... 6,)! < с,й~ Гг(1+ сгГг)' ' < РГ!, (7.3.8.13) 1 < Ге < пг — 1, в!1Ь а сопзгап! Р !пг)ерепг)еп! оГ Гг апг) Ь.
Егопг (7.3.8.5), (7.3.8.6), (7.3.8.9), (7.3.8.12), (7.3.8.13) опе оЬга!па (7.3.8.14) Лза = (г.(х„) + 0(пг)) х Лю! + „'! (У(хг+!)+ 0(Ьг)) г(Дгг, У(г;; х,, зг)) — гг(гг)))г + 0(Гг) /=1 = У(х„) Лк, + Х(х„) ~ У(г) '(Г(г, гг(г)) — г!'(г)1 г)г + 0(й) а = ЛЗ(х„) + 0(Г!). Неге, ЛЗ(х) В ГЬе !пас!!оп Л3(х):=К(х) Л., + г(х) ~ г(г)-'(Г'(г, 1(г)) — ц(г)) Гг, (7.3.8.15) а ЛЗ(а) = Лк,. Хоге ГЬа! ЛЗ г)ерепг)а а!ао оп Ь, сбпсе Ляг г)ерепг)а оп й. ЕчЬ!епг!у, Лу В с)!ГГегепг!аЫе вггЬ гелерее! го х, апг) Ьу (7.3.8.7) ве Ьаче а м(*)=г1 )~а*,;-! г!~! '!гам)! — Ф)!а~+гп и! !) — ч() а = Р, /'(х, гГ(х)) Ла(х) + Г'(», г1(х)) — «! (х), ао ГЬа! а ЛЗ(х) = ЛЗ(а) + ~ (Р, Я, г1(г)) Лу(с) + Г'(г, г!(г)) — гГ'(г)] й.
а Ву апЬггасгш8 ЕЬья ег!паг!оп Ггоп! (7.3.8.3), ве оЬ!агп Гог гЬе ЖГГегепсе 0(х):= ЛгГ(х) — Лу(х) 535 74 ГЗНезепсе МеЗЗзоав зЬе ез!иазюп Л (7.3.8.! 6) 0(х) = 0(а) + ~ Гз,3'(г, з1(г))0(г) Й, а апз( ГигзЬег„зчзгЬ йе а!г! оГ (7.3.8.7), (7.3.8.17) 0(х) = У(х)0(а), !!0(х)!! < К/!0(а)/! Гог а < х < Ь, зчззЬ а яшзаЫе сопезапз К. 1п чзечз оГ (7.3.8.14) апз( (7.3.8.17) зг виГПсев зо яЬозч '!0(аИ = 0(Ь) зп огг)ег зо сошр!езе йе ргооГ оГ (7.3.8.4).
%!ГЬ йе Ье1р оГ (7.3.5.10) апг) (7.3.8.15) опе поиз аЬоиъ !п йе наше зчау ы (7.3.8.14) зЬаз з5гз = М(а) ваПейек ап ез!иаз!оп оГ йе Гопп (А + В(У(Ь) + 0(Ьз))] Лгз ь = -В. — В~(Ь) ~ ~(г)-'(Г(г, ц(г)) — ц(г)) Аз+ 0(Ь) а = — Š— В(М(Ь) — Х(Ь) Газ) + 0(Ь). ггош Г„= г(за е ) = г(з1(а), з!(Ь)) зг !оПочзь йаг А Ззу(а) + В ЛЯ(Ь) = — г(з!(а), зз(Ь)) + 0(6). БиЬзгасг!оп оГ (7.3.8.2), ш чзезч оГ (7.3.8.17), у)е1дя АО(а) + ВО(Ь) = (А + ВХ(Ь))0(а) = 0(Ь), апг) зЬив 0(а) = 0(Ь), зПпсе (7.3.8.1) Ъу ааашпрззоп В ипщие!у ао!чаЫе апз) Ьепсе А + ВУ(Ь) ь попяпди(аг.
Весаиае оГ(7.3.8.14), (7.3.8.17),!Ыа ргочеь (7.3.8.4). П 7.4 РЛЕГЕПСЕ МЕГГ10СЬ ТЬе Ьаазс зг)еа ипз(ег!узп8 аП ГППегепсе гпеЗЬозЬ В зо гер1асе йе гППегепПа! з!иоз!епып а сППегепПа1 егГиаз!оп Ьу вшзаЫе гППегепсе с!поз!епзе апз! го яо!че зЬе з)!асгеге ез!иаз!опт йаз аге яо оЬзашед. %е зПиазгаге зЬВ аПй зЬе ГоПоичп8 ядр!е Ьоипз)агу-ча!ие ргоЫет оГ яесопз) огг)ег Гог а Гипсзюп у: (а, Ь) — й: — у" + ц(х)у = д(х), (7.4.1) у(а) = а, у(Ь) = О. \Упз)ег йе аеешпрз!опт зЬаг д, д е СГа, Ь! (з.е., д апг) д аге сопПпиоиа Гипсзюпв оп (з~ Ь1) апз( д(х) > 0 1ог х а (а, Ь1 зз сап Ье вЬозчп йаз (7.4.1) Ьаа а ипщие во!из!оп у(х).
536 7 Отгапагу Г2!дегепг!21 Еопа2!опз 1п оп1ег го йксгебге (7.4.1), ве хпЬйчЫе [а, Ь'! !пто и+ ! ег!па1 хпЬ!птегча!з, Ь вЂ” а х =а+ф, Ь:=— и+1 а=хо<х,«" х„<х„,,=Ь, апд, то!ГЬ ГЬе аЬЪгег4айоп у,:=У(х2), гер!асс ГЬе йГГегепВа1 г!пог!еп! у," = у"(х;) Гог ! = 1, 2, ..., л Ьу гЬе яесопт! 21!ГГегепсе гГпог!еп! Ун 2 2уд + У!- ! Л у:=— 1,2 %е по!о езтппаге ГЬе еггог т;(у):=у"(х!) — 2Г'у;.
Фе авхппте ГЬа! у !х Гопг т!атее сопВппопв1у г!!ГГегепт!аЫе оп !а, Ь1, у и С4!а, Ь"! ТЬеп, Ьу Тау!ог ехрапгдоп оГ у(х; + Ь) аЬоп! х;, опе йп212 Ь2 ЬЗ Ь4 Уее 2 = У; + Ьу; + —; у; + — у'," + — - у' '(х! + О,' Ь), О < О,* < 1, ап21 тЬпв 12 212У,. = Ут + Гу (х, + О;Ч + у' '(х, — О;Ь)1, %псе у'4'(х) !х 2611 сои!!опоив, Ь Го!!отея ГЬа! 1,2 (7.4.2) т;(у) = у"(х;) — Лту, = — — у'4'(х;+ О2Ь) Гог вогпе (О;! < 1. Весапхе оГ (7.4.1), ГЬе ча!пев у, = у(х;) заг!2Гу тЛе ес!паг!опх Уо = " (7.4.3) — ' — -' — ' --'-+-'- + д(х,)у; = д(х;) + т;(у), ! = 1, 2, ..., л, %!гЬ ГЬе аЪЬгеч!ат!опт ц;:= д(х,), д;:= д(х;), тЬе несгогь т(у):= Уе т„(у) У2 У2 т,(у) 22(у) а д!+!2 де-! Р де+ Ь2 537 74 РИГегепае МеГлодз апгГ !Ье хугпгпегг1с л х л !пгПаропа1 гпагпх 2+ Ч,Ь| — 1 ! 2 — 1 О (7.4.4) А:= -— 1 — 1 — 1 2+Ч Ь~ О йе егГпаГ!опх (7.4.3) аге ег!п1ча!еп! го Ау = й + г(у). (7.4.5) ТЬе гППегепсе гпеГЬогГ почч сопхьгк 1и гГгорр!п8 ГЬе еггог Гепп т(у) Гп (7.4.5) апг! гаЬ!п8 йе хо!пг!оп и = [ип ..., и„] оГ йе гехпПпщ хуяегп оГ Ппеаг ег!па!!опт, Аи=Гг, (7.4.6) ах ап арргохппагюп го у.
Юе Пгя ччапг со ьЬое зогпе ргорегПеь оГ йе гпагг!х А !п (7.4.4). %е ччП! ит!ге А < В Гог Ггчо л х л гпаГг1сез П ао < Ь„!ог Ь 7' = 1, 2, ..., и. Фе почч Ьаче гЬе ГоПочч!п8: (7.4.7) ТЬеогепх (ГЧ; ) О Гог ! = 1„..., и, г Вел А !и (7.4.4) Ь роя гпе дели!ге, лиг!О < А ' < А ' в!гЬ йе рог!г!ие гГефл!ге и х и та гГх 2 — 1 — 1 — 1 — 1 2 А:= 1 (7.4В) — 2 — 1 — 1 А„— 41 = Раоог.
Юе Ье8!п Ьу зЬоаПп8 гЬаг А Ь роя!и е дейл!ге. г ог гЬ!з, юе сопи!гГег йе л х л гпагг1х А„:= Ь~А. Ассогг(!пц Го ОегзЬ8ог1пЬ йеогегп (63Ь4), ае Ьаче Гог йе е18епча!пез гЬе еяппаге !Л; — 2 ! < 2, апд Ьепсе О < Л; < 4. ГГ Л; = О ччеге ап е!8епча!пе оГ А„, П гчоп16 ГоПочч гЬаг с$ег А„= О; Ьоюечег, г1ег А„= л+ 1, аз опе еая!у чег16ез Ьу гпеапз оГ гЬе геспггепсе Гоппп!а де! А„„= 2 гГе! А„— де! А„, (ччЬ1сЬ Ь оЬ!а!пег! а! опсе Ьу ехрапеПп8 де! А„ч, а1оп8 йе Пгя гоп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
