Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Ав а гп!е, й|я гв йе саяе «Пй 1Ье сЬогсе Лзго = еря з". Ехвми.и. Сопя!г)ег гЬе Ьонпг)агу-ча1пе ргоЫепь гч" = $гчя, гч(0) = 4, и(1) = 1. ЕоПояч!п8 (7.3.1.2), опе Ггппв гЬе во1нПоп оГ 1Ье !ЫПа!-ча!не ргоЫегп „, )чя гч(0; з) = 4, е'(О; я) = я.
ТЬе 8гарЬ оГЕ(я):= п(1; я) — 1 п вЬовп гп Напге 15. 1г п вееп гЬаг )г(з) Ьая гпо хегов з„зз. ТЬе ЬегаПоп ассоггПп8 Го (7.3.1.3а) У!е1г)в я, = — 8.000 000 0000, уя — — — 35.858 548 7278. рганге 16 яЬогчв йе 8гарЬя оГ йе гпо ю!нПопв в,(х) = п(х„з;), 1 = 1, 2, оГ гЬе Ьоппг)вгу-на!не ргоЫегп.
ТЬе во1шгопв янезе сопгрнгег) го аЬоы геп десипа! Й8!гв. ВогЬ во!нгюпв, !пс!4епгаПу, сап Ье ехргеввед гп с1овег) Гнпп Ьу 4 'ч(х 31) (1 )Г /1 — сп(С, х — Ся ~ )гз) 1 505 7.3 Вонндагу-Ча1не Ргоыепвв Р!Ваге 16 ТЬе во!шюпв вч, апг$ вчв. вчЬеге сп(с $/с') г$епогев 1Ье 3асоЫап е!11рпс ГнпсОоп а61Ь гпог$н!ы ,,/2 +,(3 2 Гговп !Ье гЬеогу оГ е!1!рОс Гнпсйопв, апг$ Ьу нв!пп ап Ьегапче гпегЬог$ оГ Беспоп 5.2, опе оЬга!пв Гог!Ье сопвгапгв оГ Гпгеагапоп С,, С, йе ча1пев Св = 4.303 10990 ... Св = 2.334 64196. Гог йе во1пгюп оГ а 8епега1 Ьоппг(агу-ча!пе ргоЫегп (7.3.0.$а), (7.3.0.1Ь") $пчо(ч(п8 и пп(гповчп Гппсгюпв Ув(х), $ = 1, ..., и, (7.3.1.6) у' = Г'(х, у), г(у(а), у(Ь)) = О, у = (у„..., у„]г, вчЬеге Г (х, у) апг$ г(и, о) аге чес1огв оГ е Гппсг(опв, опе ргосеег(в ав гп йе ехатпр1е аЬоче. Опе гпев а8а(п Го г)егеггп(пе а вгагбп8 чес1ог в е й" $ог йе $пп)а!-ча!пе ргоЫегп (7.3.$.7) у' =Г (х, у), у(а) = в $п впсЬ а вчау йа1 йе во101$оп у(х) = у(х; в) оЬеув йе Ьошн)агу сопг$$1$опв оГ (7.3.1.6), г(у(а; в), у(Ь; в)) = г(в, у(Ь; в)) = О.
Опе 1Ьпв Ьав го йпв$ а во1пгюп в = Гггп е„..., е„]г оГ йе ег$паг(оп (7.3.1.8) Е(в) = О, $с(в); ге г(в, у(Ь; в)). ТЬ$в сап Ье г(опе, е.8., Ъу гпеапв оГ йе 8епега! $в$евчгоп'в гпеОим$ (5.1.6) (7.3.1.9) в"" = вгп — 137(ва') ' Е(внв). 7 Огй!пагу гг!ггегепйа! ециаг!опв 1п еасЬ Ьегазюп з1ер, ГЬегеГоге, опе Ьаз Го сопгрпГе гч(з"), йе ЗасоЬ|ап пгагпх Од.(.и)= ~.
'~ ГдЕ.! ~дгг„~, „„ апд гЬе зо!пгюп Н":=з" — з"" оГ йе Ипеаг зузгегп оГ егГпаг!опз Огч(зи')Р' = Цз"). г ог йе согпрпгаг!оп оГ г (згп) = г(з", у(Ь; з")) опе пгпзг гГегегпипе у(Ь; з"), г.е., зо1че йе !и!г!а1 ча1пе ргоЫегп (7.3.1.7) Гог з = з". Гог йе согпрпгазюп оГ Ог(з") опе оЬзегчез (7.3.1,10) ОГ(з) = О„г(з, у(Ь; з)) + О.г(з, у(Ь; з)) Х(Ь; з), зч!1Ь йе гпагг!сез О„г(и, и) = ' —, О„г(и, е) = У(Ь; 3) = О~у(Ь; 5) = (ду;(Ь; з)1 (7.3.1.1 1 ) Лд'(з) = !Лг гч(з), ..., Л„Е(з)), ччЬеге (7.3.1.12) 1 ЛгЦз) = — (Е(ео ..., ггг + Лггз, ... „и„) — Е(гг„..., ггз, ..., <т„)).
Л<г! !п чгечч оГ Е(з) = г(з, у(Ь; з)), йе са!сп!аз!оп оГЬ! г(з) оГсопгзе чч!!1 гегГшге йаг у(Ь; з) = у(Ь; о и ..., е„) апгГ у(Ь; о и ..., ггг + Ли~, ..., <г„) Ье гГегеггп!пег! гЬгопаЬ йе зо1пВоп оГ гЬе соггезропгГ!па !и!г1а1-ча1пе ргоЫепгз. Гог Ипеаг ЪоппгГагу сопгГ!г!опз (7.30.1Ь), г(и, е) = — Аи + Ви — с, О„г = А, О„г= В, гЬе Гогпш1аз ягор!!Гу зопгезчЬаг. Опе Ьаз Цз) — = Аз + Ву(Ь; з) — с, ОЕ(з) га А + ВЛ(Ь; з). 1п гЫз сазе, !п огдег го Гопп Ог"(з), опе пеегГз го гГегеггп!пе йе гпагг!х ду(Ь; з) ду(Ь; з) д., ''"' д „ 1п йе сазе оГ поп1!пеаг Гппсзюпз г(и, с), Ьозчечег, опе «ч!1 поГ согпрмге Ог(з) Ьу гпеапз оГ йезе согпр!!сагегГ Гоппп!аз, Ъпг !пзгеагГ зч!1! арргохппаге Ьу гпеапз о! гГ!ГГегепсе г!иог!епгз. ТЬ«з, Ог"(з) зч!11 Ье арргохппагед Ьу гЬе пгагг!х 508 7 Ога!лагу ГГ!!Гегепг!а! Ецчаиопз 1и йе вресга! саве оГ 1!леаг ЬоигиГагу-еаГие ргоЫеглз, опе позу Ьав Гуг(з) = Лг (з) Гог а!1 з (апгГ Гог агЪ|ггагу сЬогсе оГ гЬе Ла!), во гЬа! (7.3.1.9) апгГ (7.3.1.14) Ьесопге !гГепг1са!.
Ву а !гпеаг Ьоып<Гагу-ча!ые ргоЫеп! опе шеапв а ргоЫеш гп ччЬ!сЬ Г (х, у) ю ап аГОпе Галс!!оп гп у апгГ гЬе ЪоыпгГагу сопгГ!г!опв (7.3.0.1Ь) аге !гпеаг, !.е., у' = Т(х)у+ д(х), Ау(а) + Ву(Ь) = с, зч!ГЬ ап л х л гпагпх Т(х), а Гипс!гоп д: й- й", се И", ап<Гсопвгап! л х л пгагпсев А апгГ В. 9!ге аввшпе гп гЬе Го!!озч!п8 гЬа! Т(х ) апгГ д(х) аге сопВп- ыоыв ГыпсВопв оп [а, Ь]. Ву у(х; з) зче а8агп с1епоге йе во!ыбоп оГ йе ш!г!а1-ча!ые ргоЫеш (7.32.2) у' = Т(х)у + д(х), у(а; з) = з. Гог у(х; з) опе сап 81че ап ехр!1сЬ 1огпш!а, (7.3.2.3) у(х; з) = Т(х)з + у(х; 0), чуЬеге йе л х л пгагпх г'(х) гв гЬе во!ыВоп оГ йе !п1г!а1-ча!ые ргоЫеш 1"' = Т(х)У, 'г'(а) = Г. Осло!!п8 йе п8Ы-ЬапгГ в!!Ге оГ (7.3.2.3) Ьу и(х; з), опе !и!ГеегГ Ьав и(а; з) = У(а)з+ у(а; 0) = Ге+ 0 = з, Гг„и(х; з) = и'(х; з) = г"'(хр + у'(х; 0) = Т(х)!г(х)з+ Т(х)у(х; 0) + д(х) = ТЯи(х; з) + д(х), Г.е., и(х; з) гв а во!ыВоп оГ (7.322).
8!псе, ыпгГег йе аввшпрбопв оп Т(х) апгГ д(х) шагГе аЬоче, йе !и!г!а1-ча!ые ргоЫеш Ьав а ып!сГые во!ыг!оп, и Го!!озчв !Ьа! и(х; з) = у(х; з). \Зв!п8 (7.3.2.3), опе оЪга1пв Гог йе ГыпсОоп Е(з) ш (7.3.1.8) (7.3.2.4) г(з) = Аз + Ву(Ь; з) — с = [А + ВУ(Ь)]з + Ву(Ь; 0) — с. ТЬыв, г"(з) !в а!во ап аГйпе Гыпсбоп оГ з. Сопвег!ыепг1у [сГ. (7.3.1.13)], 0Ци) = ЛЕ(з) = А + В!г(Ь) = ЛЕ(0). ТЬе во!ыВоп з оГ г(з) = 0 [аввыппп8 йе ех!в!елее оГ ог(0) '] !в 8!чеп Ьу з = — [А + ВУ(Ь)] '[Ву(Ь; 0) — с] = 0 — Лг(0) 'г"(0), ог, вВ8Ь11у шаге 8епегаПу, Ьу (7.3.2.5) , = з! ! Ь р(з<е!) р(з!е!) 23 Воипаагу-ча! ие РгоЫепи гчЬеге вел е Й" гв агЬ|ггагу. 1п ойег во!Ив, йе во!п6оп в оГ Р(в) = О, апд Ьепсе йе во!п6оп оГ йе Ипеаг Ъошм(агу-ча!пе ргоЫеюп (7.3.2.1), аИП Ье ргог(псег$ Ьу йе гпейод (7.3.1.14) ш оле Ьега6оп вгер, Гп(багеб !ч(гЬ ап агЪ|ггагу вгаг6п8 чесгог Р'. 7.3.3 Ап Ех!в!епсе апг! (Упщпепевв ТЬеогеш Гог гЬе Бо!пбоп оГ Воппг)агу-Ча1пе РгоЫешв 13пг(ег чегу гевгпс6че сопгИ6опв опе сап вЬов йе пп!гГпе во(чаЫ11гу оГ сеггаш Ъоппдагу-ча!пе ргоЫешв.
То й|в епг(, а е сопв!Иег !п йе Го!Гогчш8 Ъоппг(агу-ча!пе ргоЫешв абй поп1шеаг Ъоппг(агу сопг(!6опв: (7.3.3.1) у' = Г (х, у), г(у(а), у(Ь)) = О. ТЬе ргоЫеш 81чеп !п (7.3.3.1) юв во!чаЫе ргесгве1у !Г йе Гппс6оп Р(в) юп (7.3.1.8) Ьав а лего Гп (7.3.3.2) Р(в) = г(в, у(Ь; в)) = О. ТЬе!аггег Гв се!!а(п(у ггпе И опе сап Ипг( а попа!п8п!аг л х л шагпх Д впсЬ йа! (7.3.3.3 ) Ф(в):= в — ДР(в) Гв а сопггас6че шаррш8 ш Й"; гЬе лего в оГ Р(в) !в гЬеп а Ихег( ро(п! оГ Ф, Ф(5) = в.
%!гЬ гЬе Ье!р оГ ТЬеогегп (7.1.8), !че сап поги ргоче йе ГоПоччш8 гевп1г, ччЫсЬ Гог 11пеаг Ъошк(агу сопс66опв Гв гГпе го КеПег (1968). (7 3 3 4) ТЬеогепз. Рог йе Ьоит(агу-юа!ие рь оЫет (7.3.3.1), !е! гЬе)ЪИоччтд аввитрбопв Ье ваг!грег(: (1) Г атГ О„Гаге сопИпиоив ол $:=((х, у) ~ а < х < Ь, у е Й"). (2) ТЬеге !в а lг е С1а, Ь! адй (Ог Г(х, У)!! < Гс(х)(ог аИ (х, У) е Я. (3) ТЬе тагг!х Р(и, е):= Гу„г(и, о) + Э„г(и, и) аИт!гв Гог аИ и, о а Й" а гергевелгаиоп о( гЬе(огт Р(и, о) = Ро(Г + М(и, ю)) гч!гЬ а сопвгалг полгдпди!аг тагг!х Ро атГ а таге!х М = М(и, ю), атГ йеге аге сопвгалгв р атГ т гч!ГЬ !1М(и, оП! < !г < 1, ))Ро ГГ,г(и, о)(! < Гог аИ и, о е Й".
511 7.3 Вонпдату-Ча!ие РгоЫепы Кешаг$с. ТЬе соп6!Попа оГ йе йеогетп аге оп1у язГПсГепг апс1 аге а!во чету геяпс6че. Авяппргюп (3), Гог ехашр!е, а!геаГ(у !п ГЬе саве л = 2, гв пот ва6вйет) 1ог впсЬ яшр!е Ъоппт)агу сопсПгюпв ав у,(а) = с,, у,(Ь) = с, (вес Ехегс1ве 20). Ечеп ГЬопаЬ вотпе о! ГЬе авяппрГюпв, 1ог ехатпр1е (3), сап Ье тчеа(сепеГГ, опе печегйе!евв оЬга!пв оп! у ГЬеогешв тчЬове сопс66опв аге чету гаге1у ваг!вйед !и ргас6се.
7.3.4 13!Йсп!6ев !и 1Ье Ехеси1юп оГ1Ье Б(гпр!е БЬообпд Мейот) Ггош а шетЬтх) Гог во(ч!па ГЬе Ьоппт(агу-ча!пе ргоЫеш у' =Г (х, у), т(у(а), у(Ь)) = 0 опе тчП! гетГп1ге йаг Гог еасЬ хо ш йе геа!оп оГ с(ейп!6оп оГ а во!пбоп У П чч1П ргос1псе ап арргохипаге ча!пе Гог у(хо). !и ГЬе вЬоо6па птегЬос1 61вспввет1 пр го почч, оп1у 1Ье пп6а! ча1пе у(а) = в алП Ье т1егегпппет1.
Опе соп!6 ЬеПече йаг ГЬе ргоЫеш гв Пшв во1чес1, япсе йе ча!пе у(хо) оГ ГЬе во!п6оп аг ечегу ойег рошг хо сап Ье (арргохипаге1у) ГГегеппшет( Ъу ггеа6па 1Ье пп6а1-ча!пе ргоЫеш (7.3.4.1) = Г(х, у), у(а) вау, тч)й йе шегЬтх)в оГ Яесбоп 7.2. ТЬ1в, Ьоччечег, гв оп!у ггие ш рппс!р!е. 1п ргас6се, йеге ойеп аосте сопв)с)егаЫе шасспгас!ев !Г йе во!п6оп у(х) = у(х; 3) оГ (73.4.1) т)ерепГ(в чету вепябче!у оп в. Ап ехашр!е тчП1 т(ешопвтгаге ГЫв. ЕхАмчсв !. ТЬе!1пеат вувтеш оГ сПГГетепт1в! еоиаиоив (7.3.4.2) Ьав ГЬе аеиета! во!иооп (7343) у(х) = = с1е 1о" + сне '* с,, се атЬ!!тату.
Еет у(х; в) Ье йе во!ипоп оГ (7.3.4.2) вабвГуГпд йе Го!Па! соисПОоп у(0) = е = Опе четГйев аГ овсе йат 7.3 Воппдагу-Ча|пе Ргояепы 513 $х — а~. ТЬе тП!епнпа игои1|$ йив Ье еПшшагег$ Я опе $гпечч йе ча!иев в„= у(х„), $г = 1, 2, ..., пг, оГ йе во1и6оп у(х) а| вепега1 виГЯс1еп|1у с!ове роги|в хг иг!й а=хг<хг« - х =Ь. СЬоояпи х„висЬ йа| е" |"" ' "' ь по| |оо 1агае, опе сап |Ее|егпипе у(с) Гог еасЬ с и [а, Ь], вау с и [х„, х„, г], |о виГПс!епг ассигасу Ъу во!чша йе ш|6а1-ча!ие ргоЫеш у' =Е(х, у), у(х„) = в„ очег йе япаП (пгегча1 [х„, с] гч1й йе шейо|$в оГ Бесбоп 7.2. ТЬе ргоЫеш йив апвев оГ Ьогч йе ча1ие у(х„) = в, сап Ье сошри|е|$ Гог а раг6си!аг х„. тот й|в, Ьогчечег, ав Гог йе |и|ба! ча!ие 3 = у(а), опе сап ааа1п арр!у йе яп|р!е вЬоо6па шейо|$. !и|!ее|1, |$епо6па Ьу у(х; х,, в) йе во!ибоп оГ |Ье пиба1-ча!ие ргоЫеш (7.3.4.7) у' = Г(х, у), у(х„) = в, в„1в погч а хего оГ йе Гипс|юп го'(в): = т(у(а; х,, в), у(Ь; х„, в)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
